活动坐标系
以极坐标系下任意点P(r,θ)为原点，建立一个活动坐标系，该坐标系的两个主方向分别为径向(radial)和横向(transverse)。

径向与OP
⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向一致。

横向与径向垂直且朝向θ增加的方向。

该坐标系下的任一点或物理量可以通过主方向上的两个单位矢量（基）表示出来。

例如，假设P是一运动质点，则它的速度和加速度可以分解为
v P=v r e r+vθeθ,a P=a r e r+aθeθ
其中e r是径向单位矢量，eθ是横向单位矢量。

e r的直角坐标表示可以通过对OP
⃗⃗⃗⃗⃗ 单位化获得。

e r=
OP
⃗⃗⃗⃗⃗
|OP|
=(cosθ,sinθ)
而eθ的直角坐标表示可将e r逆时针旋转90°获得。

eθ=(−sinθ,cosθ)
可以看出，{e r,eθ,P(r,θ)}刚好也是一个右手系。

并且该活动坐标系是与r的取值无关的（只要r≠0）。

所以当点P径向运动时，活动坐标系不发生改变；只有当点P有横向运动分量时活动坐标系才会发生改变。

e r,eθ关于θ的导数
d
dθ
e r=(−sinθ,cosθ)=eθ
d
dθ
eθ=−(cosθ,sinθ)=−e r
极坐标系下的速度
方法一
设质点P(r,θ)的运动方程为{r=r(t)
θ=θ(t)。

以时刻t为起点，建立活动坐标系{e r,eθ,P(r(t),θ(t))}，则经过∆t时刻质点运动到
P′=[r(t+∆t)−r(t)]e r+[θ(t+∆t)−θ(t)]r(t)eθ
因此，在时刻t，质点速度在坐标系{e r,eθ,P(r(t),θ(t))}下可以表示为
v P=lim
∆t→0PP′
∆t
=ṙe r+rθeθ
其中，径向速度为ṙ，横向速度为rθ。

方法二
以r P代表质点P的坐标。

r P(t)就代表了质点P的运动方程。

由于
r P(t)=(r(t)cosθ(t),r(t)sinθ(t))=r(t)e r(t)所以
d dt r P(t)=
d
dt
(r(t)e r(t))=(
d
dt
r(t))e r(t)+r(t)(
d
dt
e r(t))
其中
d dt
e r=
de r
dθ
·
dθ
dt
=θeθ
这一项可以理解为由质点位置矢量的方向(e r)改变所引起的。

所以整理以上可得：v P=ṙe r+rθeθ。

极坐标系下的加速度
d dt v P=
d
dt
(ṙe r)+
d
dt
(rθeθ)
第一项
d dt (ṙ
e r)=
dṙ
dt
e r+ṙ
de r
dθ
dθ
dt
=r̈e r+ṙθeθ
第二项
d dt (rθeθ)=
dr
dt
θeθ+r
dθ
dt
eθ+rθ
deθ
dθ
dθ
dt
=ṙθeθ+rθeθ−rθ2e r
整理可得
a P=(r̈−rθ2)e r+(2ṙθ+rθ)eθ
其中2ṙθ+rθ=1
r d
dt
(r2θ)，所以径向加速为r̈−rθ2，横向加速度为1
r
d
dt
(r2θ)=2ṙθ+rθ。