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数学物理方法习题

第一章 分离变量法1、求解定解问题:200000000,(01),||0,,(0),|(),(),|0,(0).tt xx x x l t t u a u x u u n hl x x l n u h ll x x l l n l n u x l ====-=<<==⎧≤≤⎪⎪⎪=⎨-≤≤⎪-⎪⎪⎩=≤≤(P-223) 2、长为l 的弦,两端固定,弦中张力为T ,在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开,然后撤出这力,求解弦的震动。

[提示:定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),|0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T lu x F x l x x x l T lu =-=<<==-⎧<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩= ] (P-227)3、求解细杆导热问题,杆长l ,两端保持为零度,初始温度分布20|()/t u bx l x l ==-。

[定解问题为220200,()(0),||0,|()/.txx x x l t k u a u a x l C u u u bx l x l ρ===⎧-==≤≤⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩] (P-230) 4、求解定解问题2220,0,0220,0.03sin ,0.00u u a x l t t x u u x x l x u u A t l t t π⎧∂∂⎪-=<<>⎪∂∂⎪==⎨==⎪∂⎪===⎪∂=⎩4、长为l 的均匀杆,两端受压从而长度缩为(12)l ε-,放手后自由振动,求解杆的这一振动。

[提示:定解问题为20000,(0),||0,2|2(),|0.tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u x l u ε====⎧-=<<⎪==⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩] (P-236) 5、长为l 的杆,一端固定,另一端受力0F 而伸长,求解杆在放手后的振动。

[提示:定解问题为2000000,(0),|0,|0,(,0),|0.tt xx x x x l x x t t u a u x l u u F u u x dx dx x YS u ===⎧-=≤≤⎪==⎪⎪⎨∂==⎪∂⎪=⎪⎩⎰⎰] (P-238) 6、长为l 的杆,上端固定在电梯天花板,杆身竖直,下端自由、电梯下降,当速度为0v 时突然停止,求解杆的振动。

[提示:定解问题为2000,(0),(0,)0,(,)|0,(,0),(,0)|0.tt xx x x l t t v a v x l v t v l t v x v v x ==⎧-=<<⎪==⎪⎨=⎪⎪=⎩] (P-242) 7、求解细杆导热问题,杆长l ,初始温度均匀为0u ,两端分别保持温度为1u 和2u 。

[提示:定解问题为201,2000,||,|.t xx x x l t u a u u u u u u u ===⎧-=⎪==⎨⎪=⎩] (P-251) 8、在矩形区域0,0x a y b <<<<上求解拉氏方程0u ∆=,使满足边界条件00|(),|0.|sin,|0.x x a y y b u Ay b y u xu B u aπ=====-===(P-265)9、均匀的薄板占据区域0,0x a y <<<<∞,边界上温度000|0,|0,|x x a y u u u u ======,lim 0y u →∞=。

[提示:泛定方程为:0.xx yy u u +=](P-269)10、矩形膜,边长1l 和2l ,边缘固定,求它的本征振动模式。

[提示:定解问题为1221200()0,(0,0),|0,|0,|0,|0.tt xx yy x x l y x l u a u u x l y l u u u u ====-+=<<<<====] (P-271) 11、细圆环,半径为R ,初始温度分布已知为()f ϕ,ϕ是以环心为极点的极角,环的表面是绝热的。

求解环内温度变化情况。

[提示:其定解问题为20,02,(),(2)().t t u a u u f u u ϕϕϕπϕϕπϕ⎧-=≤<⎪=⎨⎪+=⎩] (P-274) 12、在圆形域内求解0u ∆=使满足边界条件(1)|cos ,(2)|sin a a u A u A B ρρϕϕ====+。

[提示:泛定方程为20110,.02a u u u ρρρϕϕρϕπρρ<<⎛⎫++= ⎪<<⎝⎭] (P-275) 13、半圆形薄板,板面绝热,边界直径上温度保持零度,圆周上保持0u ,求稳定状态下的板上温度分布。

[提示:定解问题为200110,(0,0),|0,|0,(0),|,0).R u u u R u u R u u ρρρϕϕϕϕπρρϕπρρρϕπ===⎧++=<<<<⎪⎪⎪=⎨⎪=<<⎪=<<⎪⎩] (P-276) 14、在以原点为心,以1R 和2R 为半径的两个同心圆所围城的环域上求解20u ∇=,使满足边界条件1211|(),|()R R u f u f ρρϕϕ====。

[提示:泛定方程为122110,.02R R u u u ρρρϕϕρϕπρρ<<⎛⎫++= ⎪<<⎝⎭] (P-282) 15、两端固定的弦在线密度为(,)()sin f x t x t ρρω=Φ的横向力作用下振动,求解其振动情况,研究共振的可能性,并求共振时的解。

[提示:定解问题为2000()sin ,|0,|0,|0,|0.tt xx x x l t t t u a u x t u u u u ω====⎧-=Φ⎪==⎨⎪==⎩] (P-292) 16、两端固定弦在点0x 受谐变力0(,)sin f x t f t ρρω=作用而振动,求解振动情况。

[提示:外加力的线密度课表为00(,)sin ()f x t f t x x ρρωδ=-,所以定解问题为200000sin (),|0,|0,|0,|0.tt xx x x l t t t u a u f t x x u u u u ωδ====⎧-=-⎪==⎨⎪==⎩] (P-297) 17、在矩形域0,22b bx a y <<-<<上求解22u ∇=-且u 在边界上的值为零。

(P-303)第二章 球函数1、在本来是匀强的静电场0E u r中放置导体球,球的半径为a ,试研究导体球怎样改变了匀强静电场。

[提示:定解问题为20,u ∇= (1)000|cos ,(||.r r r a u E z E r u u C θ→∞→→≈-=-⎧⎨=⎩设导体放入前,=0),(2)和(3)] (P-369) 2、在点电荷04q πε的电场中放置导体球,球的半径为a ,球心与点电荷相距()d d a >,求解这个静电场。

[提示:定解问题为20,,|0,|0.r a r v q u v D v v =→∞⎧∇=⎪⎪=+⎪⎨⎪=⎪=⎪⎩] (P-370) 3、求解220,(),|cos .r u r a u θ=⎧∇=<⎨=⎩(P-372) 4、 在球坐标系中利用分离变量法求下列定解问题。

220(0)14sin cos sin 2r a r u r a u u θϕϕ==⎧∇=<<⎪⎪⎛⎫=+⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩有限(08~09)5、用一层不导电的物质把半径为a 的导体球壳分隔为两个半球壳,使半球各充电到电势为1v 和2v ,试解电场中的电势分布。

[提示:定解问题为20120,(),|,(0)(01),2|.,()(10)2i i r i r a u r a u v x u v x πθπθπ==⎧⎪⎪⎪⎪∇=<⎪⎨⎪⎧⎪≤<≤<⎪⎪⎪=⎨⎪⎪<≤-<≤⎪⎪⎩⎩有限,(自然边界条件)或或 (P-373) 6、半球的球面保持一定温度0u ,半球底面(1)保持0C ︒,(2)绝热,试求这个半球里的稳定温度分布。

[提示:定解问题为20020,(),||,|0.r r a u r a u u u u πθ===⎧∇=<⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩有限,](P-375) 第三章 柱函数1、半径为R 的圆形膜,边缘固定,初始形状是旋转抛物面220|(1/)t u R H ρ==-,初速为零,求解膜的振动情况。

[提示:定解问题为2020021()0,||0,|(1),|0.ttR t t t u a u u u u u H u R ρρρρρρρ====⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-=⎪⎩有限,] (P-399) 2、利用递推公式证明2001()()()J x J x J x x'''=-并计算41()x J x dx ⎰3、半径为R 的圆形膜,在00,ρϕ受到冲量K 作用,求解其后的振动。

[提示:定解问题为220,tt u a u -∇= (1)0|0,|R u u ρρ===⎧⎪⎨⎪⎩(膜边缘固定), 有限, (2) 000|0,|t t t u u δρρδϕϕρ===⎧⎪⎨⎪⎩g 00(初位移为零),k =(-)(-)。

p (3)](P-401) 4、半径为R 的圆形膜,边缘固定,求其本征频率和本征振动。

[提示:定解问题为22000,(0,0),||0,||0.tt R u a u R u u u u ρρϕϕπϕπρ====⎧-∇=≤≤≤≤⎪=⎨⎪==⎩有限,] (P-403) 5、半径为R 而高为H 的圆柱体下底和侧面保持零度,上底温度分布为2()f ρρ=,求柱体内各点的稳恒温度。

[提示:定解问题为22000,|0,|,||0.Z Z H R u u u u u ρρρ====⎧∇=⎪==⎨⎪=⎩有限,] (P-404) 6、圆柱体半径为R ,高为H ,上底有均匀分布的强度为0q 的热流流入,下底有同样热流流出,柱侧保持为0C ︒,求柱内的稳恒温度。

[提示:定解问题为2000,|()|()|0.Z Z H R u u qz z Rq u z z Ru ρ===⎧∇=⎪∂⎪=⎪∂⎨∂⎪=⎪∂⎪=⎩热流方向与轴反向,热流方向与轴同向,] (P-409)7、确定球形铀块的临界半径。

[提示:铀块厚度超过临界厚度,则中子浓度奖随着时间而增长以致铀块爆炸,其定解问题为22,|0.t r Ru a u u u β=⎧-∇=⎨=⎩] (P-422) 8、均质球,半径为0r ,初始温度分布为()f r ,把球面温度保持为零度而使它冷却,求解球内各处温度变化情况。

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