2.3 幂函数自主学习1．掌握幂函数的概念．2．熟悉α＝1,2,3，12，－1时幂函数y ＝x α的图象与性质．3．能利用幂函数的性质来解决一些实际问题．1．一般地，幂函数的表达式为________________；其特征是以幂的________为自变量，________为常数．2．幂函数的图象及性质在同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象如图．结合图象，填空．(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义．(2)若α>0时，幂函数图象过点________________，且在第一象限内________；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象________．(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调________，在第一象限内，当x 从＋∞趋向于原点时，函数在y 轴右方无限地逼近于y 轴，当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴．(4)当α为奇数时，幂函数图象关于________________对称；当α为偶数时，幂函数图象关于________对称．(5)幂函数在第________象限无图象．对点讲练理解幂函数的概念【例1】 函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．规律方法 幂函数y ＝x α (α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．变式迁移1 已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．幂函数单调性的应用【例2】 比较下列各组数的大小 (1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78与－⎝⎛⎭⎫1978.规律方法 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式迁移2 比较下列各组数的大小：(1)⎝⎛⎭⎫－23－23与⎝⎛⎭⎫－π6－23； (2)4.125，(－1.9)35与3.8－23.幂函数性质的综合应用【例3】 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围．规律方法 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y ＝x α，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式迁移3 已知幂函数y ＝xm 2－2m －3 (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，且画出它的图象．1．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数nm中的m 是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数n m 中的m 、n 是奇数还是偶数．y ＝x α，当α＝nm (m 、n ∈N *，m 、n 互质)时，有：2.幂函数y ＝x n m 的单调性，在(0，＋∞)上，n m >0时为增函数，nm <0时为减函数．课时作业一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤ 2．下列函数中，不是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x －1 C ．y ＝x D ．y ＝x 23．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 4．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( ) A ．y ＝x 12B ．y ＝x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝x －15．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1 二、填空题6．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫9，13，则f (25)＝________. 7．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2.若对任意的x ∈[t ，t ＋2]，不等式f (x ＋t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是____________．8. 如图所示是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α依次为________________．三、解答题9．已知点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )； (2)f (x )＝g (x )； (3)f (x )<g (x )．10．已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求其解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．§2.3 幂函数 答案自学导引1．y ＝x α 底数 指数2．(1)(1,1) (2)(0,0)，(1,1) 递增 下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点(0,0) y 轴 (5)四 对点讲练【例1】 解 根据幂函数定义得 m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 变式迁移1 解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.【例2】 解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝⎛⎭⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝⎛⎭⎫1878>⎝⎛⎭⎫1978， 从而－8－78<－⎝⎛⎭⎫1978. 变式迁移2 解 (1)⎝⎛⎭⎫－23－23＝⎝⎛⎭⎫23－23， ⎝⎛⎭⎫－π6－23＝⎝⎛⎭⎫π6－23，∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π6，∴⎝⎛⎭⎫－23－23＝⎝⎛⎭⎫23－23<⎝⎛⎭⎫π6－23 ＝⎝⎛⎭⎫－π6－23. (2)4.125>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，(－1.9)35<0，所以(－1.9)35<3.8－23<4.125.【例3】 解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3，又m ∈N *，∴m ＝1,2. 又函数图象关于y 轴对称， ∴3m －9为偶数，故m ＝1， ∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.变式迁移3 解 由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3，当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不符合题意． ∴m ＝－1,1,3.当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图①所示． 当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图②所示．课时作业1．D 2.A 3.A 4.B5．B [由已知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0得m ＝1或m ＝2.] 6.15解析 设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12.∴f (25)＝25－12＝15.7．[2，＋∞)解析 f (x ＋t )≥2f (x )，即(x ＋t )2≥2x 2. 即x 2－2tx －t 2≤0在x ∈[t ，t ＋2]上恒成立， 又对称轴为x ＝t ，只须g (t ＋2)≤0，∴t ≥ 2. 8．2，12，－12，－29．解 设f (x )＝x α，由题意得：2＝(2)2⇒α＝2， ∴f (x )＝x 2.同理可求：g (x )＝x －2，在同一坐标系内作出y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，如图所示． 由图象可知：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )． (2)当x ＝±1时，f (x )＝g (x )．(3)当－1<x <0或0<x <1时，f (x )<g (x )． 10．解 由幂函数的性质，知m 2－2m －3<0， ∴(m ＋1)(m －3)<0.∴－1<m <3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝0,1,2.当m ＝0或2时，y ＝x －3，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵(－x )－3＝－x －3， ∴y ＝x －3是奇函数．又∵－3<0，∴y ＝x －3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数． 当m ＝1时，y ＝x －4，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵(－x)－4＝1(－x)4＝1x4＝x－4，∴函数y＝x－4是偶函数．∵－4<0，∴y＝x－4在(0，＋∞)上是减函数．又∵y＝x－4是偶函数，∴y＝x－4在(－∞，0)上是增函数．综上，当m＝0或2时，y＝x－3，此函数是奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数；当m＝1时，y＝x－4，此函数为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．。