，

5 1.253 2 4
可见，同一测量条件下， 与 有着完全确定的关系，对应着相同的误差 分布曲线。因此，也可用平均误差作为精 度估计的标准。
33
§5.精度评定
三、平均误差 例 2: 以 例 1 中 第 一台经纬仪数据 为例，求观测值 的平均误差。
ˆ 1.5 0.7 0.5 9
34
§5.精度评定
2
中误差： ˆ

n
①各真误差必须对应同一测量条件。 ②可将表示测量条件的中误差附于观测值之后。 注 如： 50 3432.6 1.8 258.45m 2mm 意 “±”并不代表该误差范围，而是测量上约定 俗成的习惯。
28
§5.精度评定
二、方差和中误差
结论：
f(Δ)
0.5
' 503354.1''
30
§5.精度评定
二、方差和中误差
第一台经纬仪 第二台经纬仪
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Σ
观测值L 50°33′52.6″ 54.8 53.6 55.0 52.2 53.8 54.7 58.1 56.2
Δ -1.5 +0.7 -0.5 +0.9 -1.9 -0.3 +0.6 +4.0 +2.1
i / n d
偶然误差的四个特性
Δ
1.8 1.6 1.6 1.4 1.4 1.2 1.2 1 1 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 - 0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.2 -1.4 -1.4 -1.6 -1.6 -1.8
13
§2.偶然误差的规律性
•或然误差
26
§5.精度评定
二、方差和中误差
方差：随机变量与其数学期望之差的平方数学期望。
由数学期望定义：
[] lim n n
2
2 1 2 2
[] ˆ n
2
2 n
27
[]
§5.精度评定
二、方差和中误差
[] ˆ 方差： n
乙
丙
精度表示的是观测值 与其数学期望的接近程度。 （2）特征：精度是衡量 偶然误差大小程度的指标。
甲
19
§4.精度、准确度与精确度
基本概念 2. 准确度
（1）定义：指随机变量的 ~ 真值 L与其数学期望 E ( L) 之差。
丙 乙
~ L E ( L)
（ 2）特征 ： 准确度是衡
量系统误差大小程度的指标。
第一台经纬仪 编号 1 2 3 4 观测值L 50°33′52.6″ 54.8 53.6 55.0 Δ
5 6 7 8 9
52.2 53.8 54.7 58.1 56.2 2.1
0.99
-1.5 +0.7 -0.5 +0.9 -1.9 -0.3 +0.6 +4.0 +2.1
ˆ 4 4 1.77 1.42 ˆ 5 5
0.295 0.320
0.235 0.240 0.180 0.190 0.085 ……. 0.055 0.010 0 0
21 21
16 16 13 13
0.064 0.059
0.045 0.043 0.036 0.040 0.014 …… 0.006 0.005 0 0 0.495 0.501
0.320 0.295
观测值L和偶然误差△均为随机变量，其方差为：
17
§4.精度、准确度与精确度
基本概念
精度： 观测值与其数学期望的接近程度
准确度： 观测值数学期望与其真值的接近程度 精确度： 观测值与其真值的接近程度
18
§4.精度、准确度与精确度
基本概念 1. 精度
（ 1 ）定 义 ： 描述 误差 分 布的密集或离散程度，即离 散度的大小；
Δ2 11.56 30.25 0.01 2.25 13.69 7.84 0.04 5.29 0.81
71.74
ˆ 1 28.27 / 9 1.77
ˆ 2 71.74 / 9 2.82
ˆ ˆ 因 1 2，故第一台经纬仪所得观测值的精度比第二台高。
31
§5.精度评定
§5 衡量精度的主要指标
§1.概述
几个概念：
~ L
~ L
L
3
§1.概述
4 4
§1.概述
^ L
L
5
§1.概述
常用符号向量表示——观测值
真值向量
平差值向量 观测向量
误差向量
改正数向量
β1 S2
S3
β2 S1
6
β3
§1.概述
常用符号的向量表示——未知数
真值向量
平差值向量 近似向量
改正数真值
Δ2 2.25 0.49 0.25 0.81 3.61 0.09 0.36 16.00 4.41
28.27
观测值L 50°33′50.7″ 59.6 54.2 52.6 57.8 51.3 53.9 56.4 55.0
Δ -3.4 +5.5 +0.1 -1.5 +3.7 -2.8 -0.2 +2.3 +0.9
⊿服从参数N(0,σ 2)的正态分布。
有界性
渐降性 补偿性
偶然误差的四个特性
对称性
14
§2.偶然误差的规律性
15
§3.随机变量的数字特征
1.数学期望
总体分布
数字特征
——反映随机变量集中位置 的数字特征
丙 乙
甲
16
§3.随机变量的数字特征
2.方差
——反映随机变量偏离集中位置 的离散程度
数理统计定义随机变量X的方差
11
§2.偶然误差的规律性
i / n
d
Δ
1.8
1.6 1.6 1.4 1.4 1.2 1 1 0.8 0.8 0.6
0.4 0.4
0.2 0.2 0 - 0.2 - 0.4 - 0.4 - 0.6 - 0.8 - 0.8 -1 - 1.2 - 1.2 - 1.4 - 1.4 - 1.6 - 1.8 - 1.8
测绘工程专业基础核心课程
误差理论与测量平差基础
Error Theory and fundation of surveying Adjustment
韦 建 超 湖南科技大学建筑学院
第二章：误差分布与精度指标
1
2 3
§1 概述
§2 偶然误差的规律性
§3 随机变量的数字特征
§4 精度、准确度和精确度
4
5
改正数平差值
β1 S2
S3
β2 S1
β3
X2,Y2
7
§2.偶然误差的规律性
三角形闭合差的例子
在某测区，在相同的 观测条件下，独立的观测了 358个平面三角形的全部内 角，因观测存在误差，各三 角形三个内角观测值之和不 等于其理论真值180°
b
a c
△i=(La+ Lb+ Lc) i -180° （i=1,2, ··· ··· ··358）
(K/n)/d△ (K/n)/d△
0.440 0.640 0.425 0.575 0.345 0.460
31 33
0.074 0.092
0.370 0.460
25 23
17 20 13 16
0.059 0.064
0.047 0.048 0.036 0.038 0.017 …… 0.011 0.002 0 0 0.505 0.499
0
+0.4 +0.8 +1.2 +1.6
-2.4 -2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4
0 +0.4 +0.8 +1.2 +1.6 +2.0 +2.4
23
§5.精度评定
一. 衡量观测值精度
f(Δ)
f(Δ)
Δ
左图误差分布曲线陡峭，对应的精度高 右图误差分布曲线平缓，对应的精度低
Δ
24
§5.精度评定
1.0
越小，误差曲线
越陡峭，误差分布越 密集，精度越高。相 反，精度越低。
1.5
Δ
29
§5.精度评定
二、方差和中误差 例1: 设某一角度，用两台经纬仪各观测了9次， 其观测值见表。该角已用精密经纬仪预先精确 测定，其值为 50 3354.1
' ''
(看作真值）。求
出两台经纬仪观测值的中误差并比较精度高低。
0.40~0.60 0.40~0.60 0.60~0.80 0.60~0.80 0.80~1.00 0.80~1.00 1.00~1.20 1.00~1.20 1.20~1.40 1.40~1.60 2.40~2.60 >1.60
421个三角形内角和闭合差 358个三角形内角和闭合差
+△ +△ 个数K 个数K 46 46 41 41 33 33 频率K/n 频率K/n 0.088 0.128 0.085 0.115 0.069 0.092
一. 衡量观测值精度
给出确定的数值，用以表示一定测量条件下测量 结果的精度，即为精度评定。
注意:
①只有从误差的总体分布中，才能得出反映测量 结果精度的真实数据。 ②在实用上，只能是通过对有限个误差进行统计， 所以精度评定又称为精度估计。
25
§5.精度评定
一. 衡量观测值精度
常用的精度估计的标准：
•方差和中误差（重点） •平均误差