2 2


DXX E X E( X )X E( X )

T

§2.1

正态分布
正态分布曲线的性质:
1、曲线关于 x=u 对称； 成反比； 2、当x=u时，f(x)具有最大值，且与 3、当X离 u越远，f(x)的值越小； 4、曲线x=u± 处有拐点； 5、 越小，曲线顶点越高，曲线形状越陡峭
§2.4 方差—协方差阵
三、互协方差阵：
Y X 观测值向量 n 关于 的互协方差阵： 1 n1
nm

DXY E X E ( X )Y E (Y ) E X Y
T


T

x1 y 2 x2 y2 xn y 2 x1 y m x2 y m xn ym
逆矩阵的性质:
(1)( AB) B A (2)( A ) A 1 T 1 1 T (3)( I ) I (4)( A ) ( A ) (5)对称矩阵的逆仍为对称矩阵。 (6)对角矩阵的逆仍为对角矩阵且：
1 1 1
1 1
A (diag (a11, a22 , ann )) 1 1 1 diag ( , ) a11 a22 ann



x2
xn

§2.4 方差—协方差阵
观测值向量 X的自协方差阵DXX：
n1
DXX特点： 对称可逆方阵 主对角线上元素为 对应观测值的方差; 非主对角线上元素 为对应两个观测值 的协方差
E (2x1 ) E ( x1 x2 ) E (2x2 ) E ( x2 x1 ) E ( x x ) E ( x x ) n 1 n 2
§2.1
正态分布
偶然误差表现： 在相同的观测条件下进行一系列观测， 单个误差在大小和符号上都没有任何规 律，表现出随机性，每个误差对总体的影响 很小，没有哪个误差在整个误差中占优势， 但大量误差的总体却呈现出一定的统计 规律。
§2.1
正态分布
X1
（1）相互独立的随机变量：无论这些随机变量原来服从什么 分布，也无论他们是同分布或不同分布，只要它们具有有限 的均值和方差，且其中每一个随机变量对其总和的影响都是 均匀地小，那么，其总和将是服从或近似服从正态分布的随 机变量。 （2）许多种分布都是以正态分布为其极限分布的。
c11 c21 c c22 12 T C n m c1n c2 n cn1 cn 2 cnm
矩阵转置的性质：
(1)C D , 则：D C
T
T
(2)( A ) A
T T
(3)( A B) A B
T T
T
一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。 不同组观测值，分布不同，精度也就不同。 提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各 不相同。精度不代表个别误差的大小,反映的是一组 观测值的观测质量 的好坏.
二、精度指标：
1、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的误差的绝对值的数学 期望。
(5)对于 对角阵，若a11=a22=……=ann =1，称为单位 阵，一般用E、I表示。
(6)若aij=aji，则称A为对称矩阵。
(7)转置矩阵
对于任意矩阵Cmn:
c11 c12 c1n c c c 22 2n C 21 m n c c c mn m1 m 2 将其行列互换，得到一个n×m阶矩阵，称为C的转置矩阵, 记为CT
§2.2 偶然误差的统计规律性
实验表明：
（1）闭合差在数值上不会超出一定界限，或者说 超出一定界限的闭合差出现的概率为零； （2）绝对值小的闭合差比绝对值大的闭合差出现 的概率要大； （3）绝对值相等的正负闭合差个数大致相等。
§2.2 偶然误差的统计规律性
1、在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定 的限值（界限性 ）；
由概率论知道:
k
k
( x E ( x))2 f ( x)dx exp dx 2 k 2 2 1
k
p( x ) 0.683
p( 2 x 2 ) 0.955
(4)( kA)T kAT (5)( AB)T BT AT
（6）若 A A
T
,则A为对称矩阵。
(8)逆矩阵
给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶方阵 B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。 记为：
B A1

A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件:A的行 列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否则 为奇异矩阵
2 x 1 x2 x1 xn x1
E ( x1 xn ) E ( x 2 x n ) 2 E ( xn )
x1 x2 2
x2
xn x2
x x 1 n x x 2 n 2 xn
p( 3 x 3 ) 0.997
限 2或3
5、相对误差
p( ) 68.3% p( 2 2 ) 95.5% p( 3 3 ) 99.7%
中误差与观测值之比，用1/N表示。
2
[] n

3、或然误差
p( ) 50%
f()
2 3
1
50%
1
0
闭合差
4、极限误差
正态随机变量出现在给定区间 ( k , k ) 内的概率是：
P( k x k )
§2.4 方差—协方差阵
二、观测值向量的方差-协方差阵：
观测值向量
n1
X:
X 的自协方差阵： 观测值向量 n 1
D XX E X E ( X )X E ( X )T E X X T nn
x1 x2 E xn x1 x1 x1 x2 x1 E x x n 1 x1 x2 x2 x2 xn x2 x1 xn x2 xn xn xn
国际上选用中误差作为精度评定指标
矩阵知识
（1）由m n 个数有序地排列成m行n列的数表叫矩阵 通常用一个大写字母表示，如：
a11 a12 a a22 21 A m n am1 am 2
a1n a2 n amn
(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、 a22……ann 称为对角元素。
x1 x2 ＝E y1 xn

y2
ym

x1 y1 x2 y1 E x y n 1
§2.4 方差—协方差阵
E ( x1 y1 ) E ( x1 y 2 ) E ( x2 y1 ) E ( x2 y 2 ) ＝ E ( x y ) E ( x y ) n 1 n 2 E ( x1 y m ) E ( x2 y m ) E ( xn y m )
n 2
1 T 1 X X exp X X D XX 2
N维正态随机变量的数学期望和方差是:
E ( X ) f ( X ) XdX X


D( X ) E X E ( X ) f ( X )X E ( X ) dX DXX


中误差：
[] lim n n
2
面积为1
2 1
-0.8 -0.6 -0.4 0 0.4 0.6 0.8
1 2
闭合差
提示： σ越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相 反，精度越低。

方差的估值：当观测值n有限时,
[] n
1
1
矩阵的基本运算：
（1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则：
A B
（2）具有相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、 B相同，其元素等于A、B对应元素之和、差。且具有可交换 性与可结合性。 （3）A为m×s的矩阵，B为s×n的矩阵, C=AB，C的阶数为 m×n。
OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，

E ( x) f ( x) xdx


D( x) E x E ( x) f ( x)x E ( x) dx 2
2 2


§2.1
f (X )
正态分布
1 D XX
1 2
服从N维正态分布的随机向量X的概率密度函数是：
2
(3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。
n (4)对于 n 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为 对角 矩阵。如：
a11 0 0 a 22 A mn 0 0 0 0 diag (a11 amn a22 ann )
E( )


f ()d lim
n
n
与中误差的关系：
4 5


[] n
2、方差/中误差
f()
方差：
[] lim D() E (2 ) n n
2
2 1 f () e 2 2
2
2 f ()d