第一章函数 极限 连续§1函数1． 解：（1） 要使24sin x -有意义，必须.2,042≤≥-x x 即使所以定义域为[-2，2].（2）当时，且13≠≠x x 3412+-x x 有意义;而要使2+x 有意义，必须,2-≥x 故函数的定义域为：).,3()3,1()1,2[+∞-、、（3）,1010.101110ln 110ln arccos e x ee x e x x ≤≤∴≤≤≤≤-，即有意义，则使要使即 定义域为].10,10[e e（4）要使)1(+x tg 有意义，则必有.,2,1,0,21 ±±=+≠+k k x ππ;即函数定义域为.,2,1,0,12⎭⎬⎫⎩⎨⎧±±=-+≠∈ k k x R x x ππ且 （5）当有意义，时有意义；又当时xarctgx x x 1033≠-≤故函数的定义域为： ].3,0()0(、，-∞（6）x k k x k sin )2,1,0()12(2时当 ±±=+≤≤ππ有意义；有要使216x -有意义，必须有.44≤≤-x 所以函数的定义域为：].,0[],4[ππ、-- 2． .2)21(,2)21(,2)0(,1)2(,2)3(21-=-====f f f f f3． 解：3134,34)]([22≤≤-+--+-=x x x x x x g f 有意义；必须因此要使，即[])(x g f 的定义域为[1，3]。

4．解⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=;0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1)]([x x x e e e x g f x x x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<==,1,1,1,1,1,)]([)(x ex x e e x f g x f 。

5．有意义，时当)(sin 1sin 0x f x ≤≤故其定义域为).2,1,0]()12(,2[ ±±=+k k k ππ。

6．⎩⎨⎧-<++-≥+=+⎩⎨⎧<+-≥-=-;1,52,1,32)1(;1,52,1,12)1(22x x x x x x f x x x x x x f故 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+<≤-+-<+=++-.1,24,11,8,1,102)1()1(22x x x x x x x f x f 。

7解：设222()1()1(38)()1(,)(ax c x b x a x x f x f c bx ax x f -++++=+=-+++=由.4)(14,3,82,2)2c x x x f b a b a a b a ax c bx +-=∴-===+=++=++，，即得8.()()()f f x f f x f f x -=-=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()f f x ∴⎡⎤⎣⎦为奇函数 ()()()g f x g fx g f x -=-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()g f x ∴⎡⎤⎣⎦为偶函数9．证：当;21111;111,12424242≤+≤++<≤++≤≥x xx x x x x x x 时，当因此时，所以对任意)(,2)(),,(x f x f x 即≤+∞-∞∈有界。

10．解：（1）由.2,2,1)2ln(1)2ln(11-==+-=+++=--y y e x e x y x x y 即得1)2ln(++=∴x y 的反函数为.21-=-x e y（2）由.1log ,1log ,1212222x xy y y x y y y x x x -=-=-=+=反函数为即得（3）当.00;10<<≥≥y x y x 时，时反函数为：⎩⎨⎧<≥-=.0,,1,13x x x x y11．解：（1）.21,sin ,);21sin(,33x v v u u y x u u y +===+== （2）;12,,10;)12(,1022-===-==x v v u y x u y uu；（3）22222,();,,();,,x x y arctgu u tg a e y arctgu u v v tg a e y arctgu u v ⎡⎤==+⎣⎦===+==.),(2x e w w a tg v =+=12．设证圆锥的高为.31:,2h R V V R h π=，由立体几何学知，体积为底半径为 又利用两直角三角形相似可得：),2(,)2(3,2)2(,22222222+∞∈-=-=-=∴--=r h r h h r V r h h r r h h h r R h R rh Rr π.§2 数列极限定义及性质1． 解：（1）（错）例如;23,12)1(1=+-+=a n n x n n （2）（对） （3）（对）.２．（１）证：nn n n n 185)34(25213412<<+=-+-.213412lim .1213412],1[0=+-<<-+->=∴∞→n n n n n N n N n 由定义：时，有当，取〉任给εεε（２）证：时，当取任给N n N nnn n n >=>∴<-+=-+],1[,0,11112εε.0)1(lim .11=-+∴<<-+∞→n n nn n n ε３．证：εε<->>>∴=∞→a x N n N a x n n n 时，有当存在任给,0,0,lim ，又≤-a x n.lim )(a x N n a x n n n =∴><-∞→，时ε４．证：n n x ∞→lim 存在，).,2,1(,0 =≤>∴n M x M n 有存在.sin2n M n x nx n n n≤≤ 又 ∴<≤->=>∴,0sin],[,02εεεn Mnx a N n MN n 时，有当取任给0sin lim 2=∞→n x n n n . ５．证：{}n x 有界，).,2,1(,0 =≤>∴n M x M n 使得存在又0lim =∞→n n y ，,0>∴ε任给 ∴=⋅≤=<>>.,,0εεεMM y x y x My N n N n n n n n 而时有当存在0lim =∞→n n n y x .数列极限运算法则及存在准则１．解：（１）（对）（２）（错）例如：.0sin 1lim sin lim ,01lim ,sin ,1存在不存在，但====∞→∞→∞→n n n n n y nx n n n n n（３）（错）例如：.01lim 11lim ),,2,1(,1,1122==+=<=+=∞→∞→n n n v u n v n u n n n n n n 但 ２．证：n n n n n n nn n nn n n n n u u v v u v a v u u v a v u ⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴==∴≠=∞→∞→∞→有界，而,11lim lim ,0lim 由数列极限的定义及性质和上节习题5可知0lim =∞→n n v 。

３．解：（１）.22124lim 132124lim 332233=-++-=-++-∞→∞→n n n n n n n n n n（２）.31]1)32[(3]1)32[(3lim 3)2(3)2(lim 1111=+-+-=+-+-++∞→++∞→n n n nn n n n n n （３）1)1111(2lim112lim)11(lim 222222=-++=-++=--+∞→∞→∞→nn n nn n n n n n n n n（４）2212)12(1lim 21)12(31lim =+-+=+++-+++∞→∞→n n nn nn n n （５）)11)(11()311)(311)(211)(211(lim )11()311)(211(lim 222n n n n n +-+-+-=---∞→∞→.21)121(lim )11454334322321(lim =+⋅=+⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n n （６）.)11()11(lim )11(lim 22e nn n n n n n n =++=+∞→∞→（７）.)111()111(lim )111(lim 11e n n n n n n n =++++=++-+∞→∞→； （８）记.212252312,2122523211232--++++=-++++=n nn n n S n S 则 2211315321232121()()()2222222n n n n n nn n n S S S -----∴=-=+-+-++--21121111....lim 1 3.122212n n n n n S -→∞-=++++-∴=+=-４．证：单调增加，且}{n x n x =+++<++++++=n n 21212112112112122 .}{.1211])21(1[21极限单调增加有上界，故有n n x ∴<--５．证,↑n x 0<12x <, 设 2,n x <则12n x +=<，∴数列n x 有界,∴{}n x 有极限，设极限为.2lim 1,2,2,21=∴-==+=∞→n n x a a a a a （舍去），解得则６．解：,0,20,0,,0.2n x x x ππ⎧>⎪⎪==⎨⎪⎪-<⎩ ７．解：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=+---∞→.0,1,0,0,0,111limx x x e e nxnxn§3 函数极限的定义及性质１．解：（1）使当存在任给,0,0>>M ε.2)(成立时，恒有ε<--<x f M x （2）使当存在任给,0,0>>M ε.1)(成立时，恒有ε<+>x f M x （3）使当存在任给,0,0>>δε.1)(20成立时，恒有εδ<-<-<x f x （4）使当存在任给,0,0>>δε.4)(2成立时，恒有εδδ<-<+<-x f x ２．解：（１）时，当，取任给M x M >=>,102εε∴<<=-.1sin 0sin 成立εxxx xx ;0sin lim=+∞→xxx（２）),12(21,0.122122122321121+=>∴-<-<-=--+εεM x x x x x 取任给,12221121ε<-<--+>x x x M x 时，有当 ;21121l i m=-+∴∞→x x x （３）)12(01,2,0.121)12(-<-<-=>∴-=--x x x x 时，有当取任给δεδε.1-x 21ε<=-;1)12(lim 1=-∴-→x x（４）时，，当取任给δεδε<-<=<<∴-<+-=-40210,24242x x x x x .242ε<-<-x x 有;2lim 4=∴→x x3．（3）可知：.)(lim ,00lim )(lim ,1)12(lim 1111不存在，图略而x f x f x x x x x →→→→∴===-++-4证：时，有当存在由极限定义，取δδε<-<>=>=→00,0,2,0)(lim 0x x AA x f x x ，).0.(0)(,2)(220,2)(0δ<-<>∴+<<-=<<-x x x f AA x f A A A A A x f 即：§5 函数极限运算法则１．解：（１）D. （２）B. （3）D. （4）D （5）B.2． 解：（1）.583)25()18()13(lim )25()18()13(lim100307010030701003070=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x（2）()32222(1)1lim()lim .2121421(21)x x x x x x x x x x →∞→∞+-==-+-+ （3）limlim1.x x ==（4）.1cos 11sin 11lim cos sin lim =-+=-+∞→∞→x xxx x x x x x x （5）.211lim)1(lim 22=++=-++∞→+∞→x x xx x x x x（6）.31)12)(1(lim 112lim121=-+-=---→→x x x x x x x x （7）.2111lim )1211(lim 2121-=--=---→→tt t t t t （8）2.3x x →→== 3.()()3211lim 10lim 41140,4x x x x ax x a a →-→-+=∴--+=--++==()()2321115444lim lim 10,1011x x x x x x x x m x x →-→-+-+--+===++ 4．解：20001lim ()lim sin 0,lim ()lim(21) 1.lim ()..x x x x x f x x f x x x x f x --++→→→→→===+-=-∴不存在.2)(lim ,211lim )(lim ,2)12(lim )(lim1211211=∴=--==-+=→→→→→++--x f x x x f x x x f x x x x x§6 极限存在准则 两个重要极限１． 解：（1）,112111+<++++++<+n n n n n n nn n,1lim=+∞→nn n n 而,11l i m=+∞→n nn 1)12111(l i m =++++++∴∞→nn n n n .（2）;1lim ,1211(222222222=++<++++++<+∞→ππππππn n n n n n n n n n n n n n 而 .1,1lim 22=∴=+∞→原式πn n n （3），而2123lim ,232)1(22121=≤-+≤=∞→nn n n n n n .212)1(2lim =-+∴∞→n n n n （4）.111sinlim 1sinlim ==∞→∞→xx x x x x（5）则令,1t x =-.22sin2lim22sinlim2sec)1(lim 01ππππ===-→→→tttt xx t t x（6）.)31(lim )31(lim 333120202e x tg x tg xtg x xctgx =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=+→→ （7）.31)341(lim )31(lim 414432----+∞→+∞→=⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-e x x x x x x x x x （8）.1111lim 111lim )1()1(lim )1(lim 22=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+-=-∞→∞→∞→∞→xx xx xx x x x x x x x x x x x （9）原式=3320001tan sin 1sin sin .cos 1sin 1cos 11lim lim lim ..22cos 2cos 4x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→=---===(10)33sin ln 1sin ln 133lim sin ln 1lim lim ln 113ln 1x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+==+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭=.3333lim ln 1lim ln 13xxx x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同理 1lim sin ln 11x x x →∞⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以原极限=3-1=2.§7 无穷小的比较１． 解：（1）);0(21sin ,1sin lim→+∴=+→x x x x xx x x 阶无穷小的是（2）阶无穷小；的是时210,1)1(lim lim 2132610212120x x x x x x x x x x -→∴-=-=-→→ ；（3）阶无穷小；的时原式是310,1)31(lim 3lim3143803533x x x x xx x x x x →∴=+-=+-→→ （4）阶无穷小；的时原式是30,21cos )cos 1(sin lim sin lim3030x x xx x x x x tgx x x →∴=⋅-=-→→ ２． 解：（1）22lim sin cos 1lim2200==-→→xx x x x x x ； （2）原式= 200013sin cos3sin 113limlim lim cos 2222x x x x x x x x xx x →→→+=+=（3）4322lim 32)cos cos 1)(cos 1(lim 2sin cos 1lim22022030==++-=-→→→x x x x x x x x x x x x ； （4）02lim sin sin lim )1sin 1(lim 22000==-=-→→→x x xtgx x tgx tgxx x x x ；（5）22lim )1ln(1lim 020==+-→→xxx e x x x ；（6）220013lim 3x x x x →→==； （7）1ln 1)1)0a nn n n e→∞=-==； （8）原式= 22222222222000ln 1ln 1lim lim limx x x x a x x a a a x x x a →→→⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===- 3.解：())()()()()300000lim 10,lim10,lim sin 201sin 2122lim lim ,lim 633x x x x x x x x e f x x f x x f x f x x →→→→→→→-=∴=∴=∴===∴= 4.解：（1）1)1)(1()1)(1(lim111lim 11=-++-=-+-→→x x x x x x xx x .1111x x x x -+-→∴～时 （2）∴==-→→.0)21(lim sin )cos 1(lim 2220220xx x x x x 2)cos 1(x -为比x 2sin 高阶的无穷小；（3）11lim(1 3.x x x →→→=== ∴无穷小x -1是31x -的同阶无穷小.。