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普通高考(天津卷)适应性测试数学试题

2020年普通高考(天津卷)适应性测试数学本试卷分为第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第I 卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题上并在规定位置粘贴考试用条形码,答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共9小题,每小题5分,共45分. 参考公式:如果事件A ,B 互斥,那么如果事件A ,B 相互独立,那么()()()⋃=+P A B P A P B 如果事件A ,B 相互独立,那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =,其中S 表示棱柱的底面面积,h 表示棱柱的高棱锥的体积公式13V Sh =,其中S 表示棱锥的底面面积h 表示棱锥的高一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{2,1,0,1,2}U =--,集合{2,0,1,2}=-A ,{1,0,1}B =-,则U A C B =I ( ) A. {0,1} B. {2,2}-C. {2,1}--D. {2,0,2}-【答案】B 【解析】 【分析】先利用补集的定义求出U C B ,再利用交集的定义可得结果. 【详解】因为全集{2,1,0,1,2}U =--, {1,0,1}B =-,所以{2,2}U C B =-, 又因集合{2,0,1,2}=-A ,所以U A C B =I {2,2}-. 故选:B.【点睛】研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合A 且不属于集合B 的元素的集合.2.设a R ∈,则“2a ≥”是“2320-+≥a a ”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简2320-+≥a a ,再由充分条件与必要条件的定义可得结果. 【详解】“2320-+≥a a ”等价于 “1a ≤或2a ≥”,“2a ≥”能推出“1a ≤或2a ≥”,而“1a ≤或2a ≥”不能推出“2a ≥”, 所以“2a ≥”是“2320-+≥a a ”的充分非必要条件, 故选:A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意:首先弄清条件p 和结论q 分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题;对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3.函数2=x x y e的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数有两个极值点,可排除选项C 、D ;利用奇偶性可排除选项B ,进而可得结果.【详解】因为2=x x y e ,所以22'xx x y e-=, 令'0y =可得,0,2x x ==,即函数有且仅有两个极值点,可排除选项C 、D ;又因为函数2=x x y e即不是奇函数,又不是偶函数,可排除选项B ,故选:A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.4.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是36,点E 在棱1CC 上,且12CE EC =,则三棱锥E -BCD 的体积是( )A. 3B. 4C. 6D. 12【答案】B 【解析】 【分析】由锥体的体积公式可得三棱锥的体积为119BC CD CC ⋅⋅,结合长方体1111ABCD A B C D -的体积是36可得结果.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是36,点E 在棱1CC 上,且12CE EC =, 所以136BC CD CC ⋅⋅=,三棱锥E -BCD 的体积是1132BC CD EC ⎛⎫⨯⨯⋅⋅ ⎪⎝⎭111121136432399BC CD CC BC CD CC ⎛⎫=⨯⨯⋅⋅=⋅⋅=⨯= ⎪⎝⎭ 故选:B.【点睛】本题主要考查柱体的体积与锥体的体积,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题.5.某市为了解全市居民日常用水量的分布情况,调查了一些居民某年的月均用水量(单位:吨),其频率分布表和频率分布直方图如图,则图中t的值为()分组频数频率[0,0.5) 4 0.04[0.5,1)8 0.08[1,1.5)15 a[1.5,2)22 0.22[2,2.5)m 0.25[2.5,3)14 0.14[3,3.5) 6 0.06[3.5,4) 4 0.04[4,4.5) 2 0.02合计100 1.00A. 0.15B. 0.075C. 0.3D. 15【答案】C 【解析】 【分析】由频率和为1可求得0.15a =,再除以组距即可得结果. 【详解】因为0.04+0.08+a +0.22+0.25+0.14+0.06+0.04+0.02=1, 所以0.15a =, 又因为组距等于0.5, 所以t 的值为0.150.30.5=, 故选:C.【点睛】直方图的主要性质有:(1)直方图中各矩形的面积之和为1;(2)组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率;(3)每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值;(4)直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数. 6.已知()f x 是定义在R 上的偶函数且在区间[0,)+∞单调递减,则( ) A. ()()221log log 23f f f ππ-⎛⎫>> ⎪⎝⎭B. ()()221log 2log 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ C. ()()2212loglog 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ D. ()()2212log log3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性判断出22log lo 2g 3ππ->> ,再利用函数()f x 的单调性与奇偶性可得结果.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数,所以()()2221log log 3log 33f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 根据对数函数单调性可得2223log 1l g 2o log π>=>, 根据指数函数的单调性可得01022π-<=<,所以22log lo 2g 3ππ->>,因为()f x 在区间[0,)+∞单调递减, 所以()()()222log 3log f f f ππ->>,即()()2212loglog 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ 故选:C.【点睛】解答比较大小问题,常见思路有两个:一是判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ );二是利用函数的单调性直接解答;数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7.抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线,则p 的值为( )A.152B.403C.203D.3【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点,再利用直线垂直斜率相乘等于-1可得结果.【详解】抛物线22(0)x py p =>的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,双曲线221169x y -=的右焦点为()15,0F ,所以110FF p k =-,又因为双曲线的渐近线为34y x =?,所以134011043FF p k p =-⨯=-⇒=, 故选:B.【点睛】本题主要考查抛物线与双曲线的焦点,考查了双曲线的渐近线方程以及直线垂直斜率之间的关系,属于基础题.8.已知函数()sin cos f x x x =+,则下列结论错误的是( ) A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()y f x =的图象关于直线54=x π对称 C.74π是()f x 的一个零点 D. ()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再利用正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数零点的定义逐一判断即可. 【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,对于A ,()f x 的最小正周期为221ππ=,正确; 对于B ,54=x π时,1y =-为最小值,()y f x =的图象关于直线54=x π对称,正确; 对于C , 74x π=时,0y =,74π是()f x 的一个零点,正确;对于D ,()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调函数,错误, 故选:D.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断,综合考查正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数的零点的定义,属于中档题.这种题型综合性较强,也是高考的命题热点,同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”,因此做这类题目更要细心、多读题,尽量挖掘出题目中的隐含条件,另外,要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手,然后集中精力突破较难的命题.9.已知函数22,0()24,0x x x f x x x x⎧+⎪=⎨->⎪⎩…,若函数()()|1|=--F x f x kx 有且只有3个零点,则实数k 的取值范围是( ) A. 90,16⎛⎫⎪⎝⎭B. 9,16⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.19,00,1616⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】画出函数图象,分两种情况讨论,分别求出直线与曲线()240x y x x-=>相切时的斜率,结合函数图象的交点个数,即可判断函数()()|1|=--F x f x kx 有且只有3个零点时实数k 的取值范围. 【详解】0k >时,1y kx =-过()0,1-,设1y kx =-与()240x y x x -=>切于11124,x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因为24'y x =,214k x ∴=,则111211241489,,0316x x x k x x -+=⇒==- 画出()f x 的图象,由图可知,当90,16k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()y f x =与1y kx =-有三个交点 k 0<时,11y kx y kx =-==-+,1y kx =-+过()0,1,设1y kx =-+与()240x y x x -=>切于22224,x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因为24'y x =,所以224k x -=, 可得222222241411801616x x x k k x x --=⇒=⇒-=⇒=--, 画出()f x 的图象,由图可知,当10,16k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,即1,016k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()y f x =与1y kx =-有三个交点,综上可得,19,00,1616k ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,()y f x =与1y kx =-有三个交点,即()()1F x f x kx =--有三个零点. 故选:D.【点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用,属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,.函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来,图象的应用常见的命题探究角度有:1、确定方程根的个数;2、求参数的取值范围;3、求不等式的解集;4、研究函数性质.第II 卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题,共105分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5份,共30分10.i 是虚数单位,复数321+=-ii________________.【答案】1522i + 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简求解即可.【详解】()()()()32132151112i i i i i i i ++++===--+1522i +, 故答案为:1522i +. 【点睛】复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.11.已知直线250x y +-=与圆229x y +=交于点A ,B 两点,则线段AB 的长为____________. 【答案】4 【解析】 【分析】求出圆心与半径,利用点到直线的距离公式,结合勾股定理可得结果. 【详解】因为229x y +=的圆心为()0,0,半径3r =,()0,0到直线250x y +-=的距离d ==,所以线段AB 的长为4=, 故答案为:4.【点睛】本题主要考查点到直线距离公式以及圆弦长的求法,求圆的弦长有两种方法:一是利用弦长公式12l x =-,结合韦达定理求解;二是利用半弦长,弦心距,圆半径构成直角三角形,利用勾股定理求解.12.在42x ⎫⎪⎭的展开式中,常数项是________.【答案】8- 【解析】【分析】写出42x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式,让x 的指数为零,求出常数项.【详解】因为42x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为:44431442()(2)rrrr r rr T C C x x--+=⋅-=⋅-⋅,所以令44013r r -=⇒=,常数项为114(2)8C ⋅-=-. 【点睛】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的问题,考查了运算能力. 13.已知某同学投篮投中的概率为23,现该同学要投篮3次,且每次投篮结果相互独立,则恰投中两次的概率为:_____________;记X 为该同学在这3次投篮中投中的次数,则随机变量X 的数学期望为____________. 【答案】 (1). 49(2). 2 【解析】 【分析】由独立重复试验的概率公式可得恰投中两次的概率;分析题意可得随机变量2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,利用二项分布的期望公式可得结果.【详解】由独立重复试验的概率公式可得,恰投中两次的概率为223213943C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; X 可取0,1,2,3, 3032(0)332117P X C ︒⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭; 21321)2(1339P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 223(22)33914P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭30332(3)327831P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则随机变量2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以2323EX np ==⨯=, 故答案为:4,29. 【点睛】“求期望”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望.对于某些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(),X B n p ~),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得.因此,应熟记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速度.14.已知0,0a b >>,则2233224++a b a b a b的最小值为______________. 【答案】4 【解析】 【分析】 化简原式为2214ab b a++,两次运用基本不等式可得结果. 【详解】22332222414a b a b ab a b b a++=++ab ≥44ab ab =+≥=, 当且仅当22144b a ab ab ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即21a b =⎧⎨=⎩等号成立,所以,2233224++a b a b a b 的最小值为4,故答案为:4.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值,属于中档题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数是否在定义域内,二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).15.如图,在ABC V 中,3,2,60︒==∠=AB AC BAC ,D ,E 分别边AB ,AC 上的点,1AE =且12⋅=u u u r u u u r AD AE ,则||=uuu r AD ______________,若P 是线段DE 上的一个动点,则⋅u u u r u u u r BP CP 的最小值为_________________.【答案】 (1). 1 (2). 116- 【解析】 【分析】由12⋅=u u u r u u u r AD AE 利用数量积公式可求||AD u u u r 的值为1,设DP 的长为x ,则1PE x =-,2,1BD EC ==,利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则,可得⋅u u u r u u u r BP CP 22x x =-,再利用配方法可得结果【详解】11cos60122AD AE AD AE AD ⋅=⋅⋅=⨯⨯=ou u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ,1AD ∴=u u u r ;又因为1AE =且60BAC ︒∠=,∴ADE ∆为正三角形,1DE AD AE ∴===,120BDP CEP ∠=∠=o ,2,1BD EC ==,设DP 的长为x (01x ≤≤),则1PE x =-,,()()BP CP BD DP CE EP ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rBD CE BD EP DP CE DP EP =⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()()1112121111222x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+--+⋅⋅-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111,241616x x x ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭14x =时取等号,BP CP ∴⋅u u u r u u u r 的最小值为116-.故答案为:1,116-. 【点睛】向量的运算有两种方法,一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运算法则是:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和)平面向量数量积的计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用.三、解答题:本大题共5小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知223()32-=-a c b ac (1)求cos B 的值 (2)若53a b = (i )求sin A 的值 (ii )求sin 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】(1)23;(2)(i ;(ii . 【解析】 【分析】(1)化简原式,直接利用余弦定理求cos B 的值即可;(2)(i )由(1)可得sin 3B =,再利用正弦定理求sin A 的值;(ii )利用二倍角的余弦公式求得sin 5A =,可得25cos A =,再由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果. 【详解】(1) 在ABC ∆中,由()22332a c b ac -=-,整理得222223a cb ac +-=,又由余弦定理,可得2cos 3B =; (2)(i )由(1)可得5sin 3B =,又由正弦定理sin sin a b A B =, 及已知53a b =,可得sin 355sin 535a B Ab ==⨯=; (ii )由(i )可得23cos 212sin 5A A =-=,由已知53a b =,可得a b <,故有A B <, A ∴为锐角,故由5sin 5A =,可得25cos 5A =,从而有4sin 22sin cos 5A A A ==,4331433sin 2sin 2cos cos 2sin 666552A A A πππ+⎛⎫∴+=+=⨯+⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】以三角形为载体,三角恒等变换为手段,正弦定理、余弦定理为工具,对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题,一般难度不大,但综合性较强.解答这类问题,两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式,一定要熟练掌握并灵活应用,特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 17.如图,在四棱锥P 一ABCD 中,已知5,4,22=====AB BC AC AD DC ,点Q为AC 中点,PO ⊥底面ABCD ,2PO =,点M 为PC 的中点.(1)求直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值; (2)求二面角D -AM -C 的正弦值;(3)记棱PD 的中点为N ,若点Q 在线段OP 上,且//NQ 平面ADM ,求线段OQ 的长.【答案】(1)755;(2)110;(3)43.【解析】 【分析】以O 为原点,分别以向量,,OB OC OP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向,可以建立空间直角坐标系,(1)求出直线PB 的方向向量,利用向量垂直数量积为零列方程求出平面ADM 的法向量,可求直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值;(2)由已知可得OB ⊥平面AMC ,故OB uuu r是平面AMC 的一个法向量,结合(1)中平面ADM 的法向量,利用空间向量夹角余弦公式可求二面角D -AM -C 的余弦值,从而可得正弦值;(3)设线段OQ 的长为()02h h ≤≤,则点Q 的坐标为()0,0,h ,由已知可得点N 的坐标为()1,0,1-,利用直线NQ uuu r与平面的法向量数量积为零列方程求解即可.【详解】依题意,以O 为原点,分别以向量,,OB OC OP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向,可以建立空间直角坐标系(如图),可得(0,0,0),(0,2,0),(1,0,0),(0,2,0)O A B C -,(2,0,0),(0,0,2),(0,1,1)D P M -.(1)依题意,可得(2,2,0),(0,3,1)AD AM =-=u u u u ru u u r ,设(),,n x y z =r 为平面ADM 的法向量,则00n AD n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v , 即22030x y y z -+=⎧⎨+=⎩,不妨设1y =,可得()1,1,3n =-r ,又()1,0,2PB =-u u u r , 故755cos ,||||PB n PB n PB n ⋅==u u u r r u u u r r u u u r r ,∴直线PB 与平面ADM(2)由已知可得,OB AC OB PO ⊥⊥, 所以OB ⊥平面AMC ,故OB uuu r是平面AMC 的一个法向量,依题意可得()1,0,0OB =u u u r,因此有cos ,||OB n OB n OB n ⋅==u u u r ru u u r r u u u r r,于是有sin ,OB n 〈〉=u u u r r ,∴二面角D -AM -C(3)设线段OQ 的长为()02h h ≤≤,则点Q 的坐标为()0,0,h ,由已知可得点N 的坐标为()1,0,1-,进而可得()1,0,1NQ h =-u u u r,由//NQ 平面ADM ,故,0NQ n NQ n ⊥∴⋅=u u u r r u u u r r,即()1310h --=,解得[]40,23h =∈, ∴线段OQ的长为43. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,点3⎛ ⎝⎭T 在椭圆上 (1)求椭圆的方程; (2)已短直线m =+y 与椭交于A 、B 两点,点P 的坐标为0),且1PA PB ⋅=-uu r uu r,求实数m 的值.【答案】(1)22193x y +=;(2)3m =-. 【解析】【分析】(1)根据题意,结合性质222a b c =+ ,列出关于a 、b 、c 的方程组,求出a 、b ,即可得椭圆的方程;(2)直线与曲线联立,根据韦达定理,利用平面向量数量积公式,结合条件1PA PB ⋅=-uu r uu r列方程求解即可.【详解】(1)设椭圆的焦距为2c ,由已知有2223c a =,又由222a b c =+,可得223a b =,由点3⎛ ⎝⎭T 在椭圆上,有228113a b +=, 由此可得229,3a b ==,∴椭圆的方程为22193x y+=;(2)设点A 的坐标()11,x y ,点B 的坐标()22,x y ,由方程组22193y mx y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,消去y,整理可得227390x m ++-=,①由求根公式可得2121239,77m x x x x -+=-=,② 由点P的坐标为(),可得()()1122,PA x y PB x y =-=-u u u r u u u r,故()12121212128PA PB x xy y x x x x y y ⋅=-+=-+++-u u u r u u u r,③又1122,y m y m =+=+Q,()21212122y y x x x x m ∴=++,代入上式可得()2121238PA PB x x x x m ⋅=+-+++u u u r u u u r ,由已知1PA PB ⋅=-uu r uu r ,以及②,可得()22339817m m -+=-,整理得2690m m ++=,解得3m =-,这时,①的判别式2122521440m ∆=-+=>,故3m =-满足题目条件,3m ∴=-.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组,解出,,a b ,从而写出椭圆的标准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单. 19.已知数列{}n a 是公差为1的等差数列,数列{}n b 是等比数,且347a a a +=,245⋅=b b b ,4234=-a b b 数列{}n c 满足212,32,31,3m n m mb n mc b n m a n m -=-⎧⎪==-⎨⎪=⎩其中*m ∈N .(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式(2)记()*3231313331n n n n n n n t c c c c c c n N---+=++∈,求数列{}nt 的前n 项和.【答案】(1)1,2n n n a n b -==;(2)262816415315n n n -⨯+⨯+. 【解析】 【分析】(1)利用341+=a a a ,245⋅=b b b ,4234=-a b b 列方程求出,等差数列的首项、等比数列的首项与公比,从而可得结果;(2)先根据212,32,31,3m n m mb n mc b n m a n m -=-⎧⎪==-⎨⎪=⎩得222121243212222232n n n n n n n t n n n -----=⋅+⋅+⋅=+⋅,再根据分组求和与错位相减求和法,结合等比数列的求和公式可得结果.【详解】(1)设数列{}n a 的公差为d ,数列{}n b 的公比为q ,则1d =,由347a a a +=,可得11a d ==,由245⋅=b b b ,可得24411b q b q ⋅=⋅,又10,0b q ≠≠Q ,故可得11b =,再由4234=-a b b ,可得2440q q -+=,解得2q =,()1,2n n n a n b n N -*∴==∈;(2)22212,322,31,3m m n n m c n m m n m --⎧=-⎪==-⎨⎪=⎩,其中n *∈N ,222121243212222232n n n n n n n t n n n -----∴=⋅+⋅+⋅=+⋅,记4321111,2,2nnnk k nk n n k k k T t A B k --======⋅∑∑∑,则()()442122161221612151515nnn nA ⨯--===⨯--, 2112283322n n B n -=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯,①故有2121418232(1)22n n n B n n -+=⨯+⨯++-⨯+⨯L ,② ①-②可得21213283222n n n B n -+-=++++-⨯L ()21214214n n n +-=-⨯-262433n n -=⨯-, 由此可得6223433n n n B -=⨯+, 由3n n n T A B =+,故可得262816415315n n n n T -=⨯+⨯+. 【点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点:①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件(一个等差数列与一个等比数列的积);②相减时注意最后一项 的符号;③求和时注意项数别出错;④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.20.已知函数2()2ln =-f x x x x ,函数2()(ln )=+-ag x x x x,其中a R ∈,0x 是()g x 的一个极值点,且()02g x =. (1)讨论()f x 的单调性 (2)求实数0x 和a 的值 (3)证明()*11ln(21)2=>+∈nk n n N【答案】(1)()f x 在区间()0,∞+单调递增;(2)01,1x a ==;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)求出()'f x ,在定义域内,再次求导,可得在区间()0,∞+上()'0f x ≥恒成立,从而可得结论;(2)由()'0g x =,可得20002ln 0x x x a --=,由()02g x =可得()220000ln 20x x x x a --+=,联立解方程组可得结果;(3)由(1)知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增,可证明ln x>,取*21,21k x k N k +=∈-,可得ln(21)ln(21)k k >+--=,利用裂项相消法,结合放缩法可得结果.【详解】(1)由已知可得函数()f x 的定义域为()0,∞+,且()22ln 2f x x x '=--,令()()'h x f x =,则有()21'()x h x x-=,由()'0h x =,可得1x =,可知当x 变化时,()()',h x h x 的变化情况如下表:()()10h x h ∴≥=,即()'0f x ≥,可得()f x 在区间()0,∞+单调递增;(2)由已知可得函数()g x 的定义域为()0,∞+,且22ln ()1a x g x x x'=--, 由已知得()'0g x =,即20002ln 0x x x a --=,①由()02g x =可得,()220000ln 20x x x x a --+=,②联立①②,消去a ,可得()20002ln 2ln 20x x x ---=,③ 令2()2(ln )2ln 2t x x x x =---,则2ln 22(ln 1)'()2x x x t x x x x--=--=, 由(1)知,ln 10x x --≥,故()'0t x ≥,()t x ∴在区间()0,∞+单调递增,注意到()10t =,所以方程③有唯一解01x =,代入①,可得1a =,01,1x a ∴==;(3)证明:由(1)知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增,故当()1,x ∈+∞时,()()11f x f >=,2222ln 1()1()0x x x f x g x x x'---==>, 可得()g x 在区间()1,+∞单调递增,因此,当1x >时,()()12g x g >=,即21(ln )2x x x +->,亦即22(ln )x >,0,ln 0x >>ln x >,取*21,21k x k N k +=∈-,ln(21)ln(21)k k >+--=,故11(ln(21)ln(21))ln(21)nk nk k k π==>+--=+∑11ln(21)()2ni x n N *=∴>+∈.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明,属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点,利用导数证明不等主要方法有两个,一是比较简单的不等式证明,不等式两边作差构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出函数的最值即可;二是较为综合的不等式证明,要观察不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等式变形,并运用已证结论先行放缩,然后再化简或者进一步利用导数证明.。

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