绝密★启用前
广东省2021届新高考适应性测试卷
数学（ 一 ）
本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题纸上 ．
2. 回答选择题时， 选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上 对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷无效．
3. 考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的． 1. 已知复数4
1i
z =
-，则|i |z -＝
A.
B. C ．2
D.
2. 已知集合{|12},{|A x x B x y =<<==，若A
B A =,则m 的取值范围是
A.(0,1]
B.(1,4]
C.[1，+∞)
D.[4,+∞)
3. 《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺， 深一丈八尺，问受粟儿何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”(古制1丈= 10尺，1斛≈1.62立方尺， 圆周率π≈3),则该圆柱形容器大约能放米 A. 900 斛
B.2 700斛
C.3 600斛
D.10 800斛
4. 在一项调查中有两个变量x 和y ,下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，则选项中适宜作为y 关于的回归方程的函数类型是
A.y = a +bx
B.y = c +d x
C.y = m +nx 2
D.y = p +qc x (q >0)
5. 曲线y ＝ x l n x 在点M (e,e)处的切线方程为
A.y = 2x +e
B.y =2x -e
C.y = x +e
D.y =x -e 6. (1— x )(l+x )3的展开式中，x 3 的系数为
A.2
B. - 2
C.3
D. -3
7. 若πcos()cos 24
αα-=，则sin2α＝
A.-1
B.
12
C. -1或
12
D. -
12或14
8. 若对圆(x -1)2+(y -1)2＝ l 上任意一点P (x ,y ), ｜3x - 4y +a ｜+｜3x - 4y -9｜的取值与x ,y 无关，则实数a 的取值范围是
A ．(-∞，-4］ B.[ -4，6] C. (-∞，-4］U [6，＋∞） D. [6，＋∞）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一 点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和22，则p 的值可以是
A.2
B.6
C.4
D.8
10. 函数π
()cos()(0,0,||)2
f x A x A ωϕωϕ=+>><
的部分图像如图所示，则f (x ) ＝
A.
1πcos(2π)23x + B. 1πcos(2π)26x + C. 1πsin(2π)23x -+ D. 1πsin(2π)23
x --
11. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御” “书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则 A.某学生从中选 3门，共有30种选法
B.课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C.课程 “礼”“书”“数” 排在相邻三周，共有144种排法
D.课程“乐” 不排在第一周，课程“御” 不排在最后一周，共有504种排法 12. 设三个函数y = 2x +x -2,y = log 2x +x - 2和y = x 3- 3x 2+3x - l 的零点分别为x 1 ,x 2,x 3,则有
A ．x 1x 2<x 3 B. x 1x 2＞x 3
C. x 1+x 2=2x 3
D. x 1+x 2≥2x 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数222,0,
(),0,
x
x f x x x ⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩若f (a )=4，则a ＝ ．
14. 已知向量a ,b 满足｜b ｜ =5, ｜a +b ｜ =4, ｜a — b ｜=6,则向量a 在向量b 方 向上的投影为 ．
15. 已知直线y ＝a 与双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一条渐近线交于点P , 双曲线C 的左、
右顶点分别为A 1.A 2，若|PA 2|
=
2
A 1A 2| ，则双曲线C 的离心率为 ．
16. 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，动点P 在对角线BD 1上，过点P 作垂直于BD 1的平面γ,记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为y ,设BP = x ,则当x 323[,]33
a a ∈时，函数y ＝f (x )的值域为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (10分) 在①
sin sin sin sin A C A B
b a c
--=
+，② 2cos cos cos c C a B b A =+这两个条件中任选
一个，补充在下面问题中的横线上，并解答． 在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , ． (1)求角C;
(2)若5,11c a b =+=，求△ABC 的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. (12分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=8，且满足2(1)2(*)n
n n a S n n
-=+∈N . (1)求证数列{
}n
a n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设(21)n
n n a b n
-=，求数列{b n }的前n 项和T n .
19. (12分）
如图， E 是以AB 为 直径的 半圆O 上异于A ,B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于半圆O 所在的平面，且AB ＝2AD ＝2． (1)证明：EA ⊥EC ;
(2)若异面直线AE 和DC 所成的角为π
6
，求平面DCE 与平面AEB 所 成的锐二面角的余弦值．
20. (12分）
某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得 10分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是2
3
，回答第三个问题正确的概率为
1
2
，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．
(1)求至少回答对一个问题的概率； (2)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列； (3)求这位挑战者闯关成功的概率．
21. (12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,短轴长为 23，A ,B 在椭圆
C 上，且22AF BF +=0.△AEF 1的周长为 8. (1) 求椭圆C 的标准方程 ；
(2)过椭圆C 上的动点 M 作C 的切线l ,过原点O 作OP ⊥l 于点P ,求△OMP 的面积的最大值.
22. (12分）
设函数2
()e 4
x
x f x x =--． (1)证明：函数f (x )在区间(0,＋∞)内单调递增； (2)当x <0时，f (x )<a 恒成立，求整数a 的最小值．。