数学分析课本(华师大三版)-习题集与答案解析第十二章
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第十二章 数项级数
证明题
1． 证明下列级数的收敛性,并求其和: (1) ++-+++1)
4)(5n (5n 111.1616.1111.61; (2) +⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 22312
131213121; (3) ∑++2)
1)(n n(n 1; (4) ∑++-+)n 1n 22n (; (5) ∑-n
212n . 2. 证明:若级数∑n u 发散,则∑n Cu 也发散(c ≠0).
3. 证明:若数列{a n }收敛于a,则级数a -a )a (a 11n n =+∑+.
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4． 证明: 若数列{b n }有+∞=∞
→n n b lim ,则 (1)级数)b (b n 1n ∑-+发散;
(2)当b n ≠0时,级数∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+11n b 1b 1n 1
5. 证明级数∑n u 收敛的充要条件是:任给正数ε,有某自然数N,对一切n>N 总有
|u N +u n+1+…+u n |<ε
6. 设∑∑n n v 、u 为正项级数,且存在正数N 0,对一切n>N 0,有
n
1n n 1n v v u u ++≤ 7. 设正项级数∑n a 收敛,证明级数∑2
n a 也收敛;试问反
之是否成立?
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8. 设a n ≥0,且数列{na n }有界，证明级数∑2
n a 收敛.
9. 设正项级数∑n u 收敛,证明级数∑+1n n u u 也收敛.
10. 证明下列极限: (1) 0)(n!n lim 2
n
n =∞→; (2) 1)0(a a )(2n!lim n!
n >=∞→. 11. 设{a n }为递减正项数列,证明:级数∑∞=1n n a 与∑∞=0
m 2m
m a 2同时收敛或同时发散.
12. 设a n >0, b n >0, C n =b n 1
n n a a +b n+1,证明: (1) 若存在某自然数N 0及常数K,当n>N 0时,有C n ≥k>0,则级数∑∞
=1n n a 收敛;
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(2) 若n>N 0时有C n ≤0,且∑=∞→+∞=n
1k k n b 1lim ,则级数∑∞=1n n a
发散.
13. 设级数∑2
n a 收敛,证明级数∑
>0)(a n a n n 也收敛. 14. 设a n >0,证明数列{(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n )}与级数∑n a 同时收敛或同时发散.
15. 应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性: (1) ∑>+-0)(x ,x
1x n 1)(n n
n ; (2) ∑>∈0)(α(0,2π0,x ,n sinnx α
; (3) ∑-n
n cos 1)(2n . 16. 设a n >0,a n >a n+1(n=1,2,…)且∞
→n lim a n =0,证明级数
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∑+++--n a a a 1)(n 211
n 是收敛的.
17. 设2
u |u |g ,2u |u |p n n
n n n n -=+=,证明:若∑n u 条件收敛,则级数∑n p 与∑n q 都是发散的.
二、计算题
1. 试讨论几何级数(也称为等比级数)
a+r+ar 2+…+ar n +…(a ≠0)
的敛散性.
2. 设级数∑n u 与∑n v 都发散,试问)v (u n n ∑+一定发散吗?又若u n 与v n (n=1,2,…)都是非负数,则能得出什么结论?
3.求下列级数的和:
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 (1)∑+-+n)
1)(a n (a 1; (2) ∑++-+1)n(n 12n 1)(1
n ; (3) ∑++++1]
1)1)[(n (n 12n 22. 4. 应用柯西准则判别下列级数的敛散性: (1) ∑n n 2sin2; (2) ∑+1
2n n (-1)221-n ; (3) ∑n (-1)n ; (4) ∑+2n
n 1. 5. 应用比较原则判别下列级数的敛散性. (1) ∑
+22a n 1; (2) ∑n n 3πsin 2; (3) ∑+2n 11
;
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8 (4) ∑∞
=2n n
(lnn)1; (5) ∑⎪⎭⎫ ⎝
⎛-n 1cos 1; (6) ∑n n n 1
; (7) ∑>⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+0)(a ,2n 1a n 1a ; (8) ∑
∞
=2n lnn (lnn)1. 6. 用积分判别法讨论下列级数的敛散性: (1) ∑
+1n 12; (2) ∑+1n n 2; (3) ∑∞=3n )
nlnnln(lnn 1;
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9 (4) ∑∞
=3n q
p (lnlnn)n(lnn)1. 7. 判别下列级数的敛散性: (1) ∑n n n
n!3; (2) ∑
++2n 2n n 2; (3) ∑∞=2
n lnn 1; (4) ∑≥-1)(a 1),a (n ; (5) ∑
+⋅-⋅12n 12n 421)(2n 31 ; (6) ∑>++0)(x ,n)
(x 1)(x n! . 8. 求下列极限(其中P>1): (1) ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++++∞→p p p n (2n)12)(n 11)(n 1lim ;
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10 (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++++∞→2n 2n 1n n p 1p 1p 1lim . 9. 下列级数哪些是绝对收敛,条件收敛或发散的: (1) ∑
n!
sinnx ; (2) ∑+-1n n 1)(n ; (3) ∑+-n 1
p n
n 1)(; (4) ∑-n 2sin
1)(n ; (5) ∑+-)n 1n
1)((n ; (6) ∑++-1
n 1)(n l 1)(n n ; (7) ∑++-n n )1
3n 1002n (1)(; (8) ∑n )n
x (n!;
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sinnx π; (10) ∑-n n 1
1)(.
10. 写出下列级数的乘积:
(1) ()()∑∑----1n 1n 1n nx 1)(nx ; (2) ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n 0n n!1)(n!1 三、考研复习题
1. 证明:若正项级数∑n u 收敛,且数列{u n }单调,则0u lim n n =∞→.
2. 若级数∑n a 与∑n C 都收敛,且成立不等式
a n ≤
b n ≤C n (n=1,2,…) 证明级数∑n b 也收敛.若级数∑n a ,∑n C 都发散,试问∑n b 一定发散吗?
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3. 若0k b a lim n
n n ≠=∞→,且级数∑n b 收敛,证明级数∑n a 也收敛.若上述条件中只知道∑n b 收敛,能推得∑n a 收敛吗?
4. (1) 设∑n u 为正项级数,且n 1n u u +<1,能否断定级数∑n u 收敛?
(2) 对于级数∑n u 有|
n 1n u u +|≥1,能否断定级数∑n u 不绝对收敛,但可能条件收敛.
(3) 设∑n u 为收敛的正项级数,能否存在一个正数ε,使得
0C n 1
u lim ε
1n n >=+∞→
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5. 证明: 若级数∑n a 收敛,∑-+)b (b n 1n 绝对收敛,则级数n n b a ∑也收敛.
6. 证明级数∑
+bn
a 1是发散的. 7. 讨论级数
∑∞=2n p n(lnn)1,(p>0) 的敛散性.
8. 设a n >0,证明级数
∑+++)a (1)a )(1a (1a n
21n
是收敛的.
9. 证明:若级数∑2
n a 与∑2n b 收敛,则级数∑n n b a 和
∑+2n n )b (a 也收敛,且
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n 2n 2
n n b a b a ()()()()212n
212n 212n n b a b a ∑∑∑+≤+ 10. 证明:(1)设∑n a 为正项级数,若
0,a a u u lim 1n n 1n n n >⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++∞→ 则正项级数∑n u 收敛,
(2)若级数∑n
a 1发散,且 0a a u u lim 1n n 1n n n <⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++∞→, 则正项级数∑n u 发散.。