题型一 正项级数敛散性的判定判定下列级数的敛散性.1) );0(11>⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∞=a n na nn 2) )0(!1>∑∞=a nn a n n n3) ;)cos1(1∑∞=-n n π4) ;)11ln()1(1∑∞=+-+n p n n n解 1）a n nau n n n n =+=∞→∞→1limlim ，则（1）当10<<a 时，原级数收敛； （2）当1>a 时，原级数发散； （3）当1=a 时，01)1(lim lim ≠=+=∞→∞→en n u n n n n ，原级数发散。

2） e an n a n a n n n a u u n n n n n n n n n n =+=⋅++=∞→++∞→+∞→)1(lim !)1()!1(lim lim 111 （1）当e a <<0时，原级数收敛； （2）当e a >时，原级数发散； （3）当e a =时，1)11(lim lim1=+=∞→+∞→nn n n n ne u u ，但n n )11(+是单调增趋于e 的，则1)11(1>+=+nnn neu u ，即n u 单调增，又0>n u ，则0lim ≠∞→n n u ，原级数发散。

3）由于)(21~cos 12∞→-n n n ππ，而∑∞=121n n收敛，则原级数收敛. 4）由于)(1~)11ln(∞→+n nn ，而 p pp n n n n ]111[)1(2-+=-+，nn 21~111-+则原级数与级数∑∞=+12121n pp n同敛散，故原级数在0>p 时收敛，在0≤p 时发散。

判定下列级数敛散性. 1) ∑⎰∞=+1102d 1n n x x x 2) ∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11112n n n 3) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1)11ln(1n n n解 1）由于⎰⎰=≤+<n n ndx x dx xx 10231213210， 而∑∞=1231n n收敛，则原级数收敛.2）由于232221ln 11ln 1ln ~11212n nn n n n n e n nnn=<<+-=-++，故原级数收敛. 3）方法1° 由不等式)0(,)1ln(1><+<+x x x x x知 21)1(11111111)11ln(10n n n n n n n nn n <+=+-=+-<+-<.而∑∞=121n n 收敛，则原级数收敛.设∑∞=1n n u 为正项级数,下列结论正确的是(A) 若∞→n lim 0=n nu ,则∑∞=1n n u 收敛;(B) 若存在非零常数λ,使∞→n lim λ=n nu ,则∑∞=1n n u 发散.(C) 若∑∞=1n n u 收敛,则∞→n lim 02=n u n .(D) 若∑∞=1n n u 发散,则存在非零常数λ,使得∞→n lim λ=n nu .解法1 直接法. 由0lim ≠=∞→λn n na 知，01lim ≠=∞→λna nn ，由比较法的极限形式知，级数∑∞=1n n a 与∑∞=11n n 同敛散，则∑∞=1n n a 发散，故应选（B ）.解法2排除法. 考虑n n a n ln 1=，级数∑∞=2ln 1n nn 发散.但0ln 1limlim ==∞→∞→nna n n n ，则（A ）和（D ）都不正确.考虑21n a n =，显然级数∑∞=1n n a 收敛，但01lim 2≠=∞→n n a n ，则（C ）不正确.故应选（B ）.题型二 交错级数敛散性判定判定下列级数的敛散性 (1) ∑∞=-1ln )1(n n nn(2) ∑∞=+122)sin(n a n π解 （1）本题中的级数为交错级数，且nn u n ln =，考虑函数xx x f ln )(=.由于 )0(2ln 1)(>-='x xxx xx f)(,02ln 22e x xx x ><-=又 xx xx x x 211limln lim+∞→+∞→=02lim==+∞→xx ，故nn u n ln =单调减且趋于零，由莱不尼兹准则知原级数收敛.2）由于)sin()1()](sin[)sin(222222ππππππn a n n a n n a n n -+-=-++=+ na n a n++-=222sin)1(π此时na n a ++222sin π单调减且0sinlim 222=++∞→na n a n π.由莱不尼兹准则知原级数收敛.设正项数列}{n a 单调减少,且∑∞=-1)1(n n n a 发散,试问级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+111n nn a 是否收敛?为什么?解 由于n a 单调减，且0>n a ，即下有界，则n n a ∞→lim 存在，设a a n n =∞→lim ，则0≥a ，若0=a ，由莱不尼兹准则知级数∑∞=-1)1(n n n a 收敛，这与题设矛盾，因此0>a ，此时，对正项级数∑∞=+1)11(n nn a 用根值法，得 11111lim <+=+=∞→a a u n n n n ， 则级数∑∞=+1)1(1n nna 收敛.题型三 任意项级数敛散性判定判定∑∞=12)!sin(2tann nn n π的敛散性.解 因nnn n n 2tan|)!sin(2tan|22ππ≤，又nn2~2tanππ，则级数n n n 2tan 12π∑∞=与∑∞=122n n n π同敛散.对级数∑∞=122n n n 用根值法得 1212)(limlim 2<==∞→∞→n n n n n n u . 则∑∞=122n n n 收敛，则原级数绝对收敛，故原级数收敛. 讨论∑∞=11n pn n a 是绝对收敛,条件收敛还是发散? 解 先考绝对值级数∑∞=11n pn na . 由于 an a n a pn p n n 1||)1(1lim1=++∞→，1）当1>a 时，原级数绝对收敛. 2）当10<<a 时，原级数发散。

由于11>a ，当n 充分大时，pn p n n a n a 1)1(11>++， 则01→/p n n a ，从而01→/p n n a ，故级数∑∞=11n p n na 发散. 3）当1=a 时， 若1=a ，原级数为1,11>∑∞=p nn p时收敛，1≤p 时发散.若1-=a ，原级数为∑∞=-1)1(n p nn.该级数在1>p 时绝对收敛；在10≤<p 时条件收敛，在0≤p 时发散.设常数0>k ,则级数∑∞=+-12)1(n nnnk （A ）发散; (B) 绝对收敛;(C) 条件收敛; (D) 敛散与发散与k 取值有关.解 ∑∑∑∞=∞=∞=-+-=+-11212)1()1()1(n nn n n nn n k n n k ， 显然∑∞=-12)1(n n n 绝对收敛，而∑∞=-1)1(n nn条件收敛，则原级数条件收敛，故应选（C ）.设级数∑∞=1n n u 收敛,则必收敛的级数为(A)∑∞=-1)1(n n nn u ; (B) ∑∞=12n n u ; (C)∑∞=--1212)(n n n u u ; (D)∑∞=++11)(n n n u u .解法1直接法. 由于∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11n n u 也收敛. 从而有)(11∑∞=++n n n u u 收敛，故应选（D ）.解法2排除法. 1）取n u nn ln )1(-=，由交错级数的莱不尼兹准则知∑∞=1n n u 收敛，但∑∑∞=∞==-22ln 1)1(n n n nn n n u 发散. 则（A ）不正确. 2）取nu n n 1)1(--=，显然∑∞=1n n u 收敛，∑∑∞=∞==1121n n nn u 发散，则（B ）不正确，而∑∑==-+-=-11212)212()(n n n n nn u u，≥=，而∑∞=12n n 发散，则∑∞=--1212)(n n n u u 发散，（C ）不正确，故应选（D ）.设0≠n u ,),2,1(⋅⋅⋅=n 且1lim=∞→nn u n,则级数∑∞=+-+-111)11()1(n n n n u u . (A) 发散; (B) 绝对收敛; (C) 条件收敛; (D) 敛散性不定. 解 由0≠n u ，1lim=∞→nn u n 知，01lim 1lim =⋅=∞→∞→n u n u n n n n . 令 ∑=+++-=nk k k k n u u S 111)11()1( )11()1()11()11()11(11433221+++-+-+++-+=n n n u u u u u u u u 111)1(1++-+=n n u u ，则 11lim u S n n =∞→. 由级数定义知原级数收敛，但由于02)(lim 1)11()1(lim111≠=+=+-+∞→++∞→n n n n n n n u nu n nu u ，而∑=1n n 发散，则∑=+++-111)()1(n n n n u u 发散，故原级数条件收敛.设∑∞=-12)1(n nn na 收敛,则级数∑∞=1n n a .(A)条件收敛; (B) 绝对收敛; (C)发散; (D)敛散性不定. 解 由于级数∑∞=-12)1(n n n n a 收敛，由级数收敛的必要条件知02)1(lim =-∞→n n n n a ，则数列n n n a 2)1(-有界，即存在0>M ，对一切的n 有M a n n n ≤-|2)1(|，从而有nn Ma 2||≤. 而级数∑∞=12n n M收敛，则级数∑∞=1n n a 绝对收敛，故应选（B ）.题型四 求收敛域求下列幂级数的收敛域 (1) ∑∞=-1!)1(n nnn x n (2) n n n n x n )1()2(31--+∑∞= (3) ∑∞=--12)1(2)1(n nn nx n (4) n n n n x n ∑∞=-+1])1(3[解（1）01111lim !)!1(1lim lim1=++=⋅++=∞→∞→+∞→n n n n n n u u n n nn n ，则+∞=R .故原幂级数收敛域为),(+∞-∞.（2）n n n n n n n n n n nn n n n u u )2(3)2(3lim )2(31)2(3lim lim 11111-+-+=-+⋅+-+=++∞→++∞→+∞→ 3)32(1)32(23lim=-+--=∞→nnn . 或3)32(1lim 3)2(3lim||lim =-+=-+=∞→∞→∞→nn n nnnn n n n n nu . 则31=R . 当311=-x 时，原级数为∑∑∑∞=∞=∞=-+=-+1111)32(131)2(3n n n nn n n n n n ， 由于∑∞=11n n发散，∑∞=-11)32(n n n 收敛，则原幂级数在311=-x 处发散.当311-=-x 时，原级数为∑∑∑∞=∞=∞=+-=--+111)32(1)1(3)1()2(3n n n n nn n n n n n n ，则原幂级数在311-=-x 处收敛，故原幂级数收敛域为)34,32[.（3）212lim||lim ==∞→∞→nn n n n n u ，由于该幂级数只有偶次项，则2=R . 当21±=-x 时，原级数为∑∞=-1)1(n n n 发散.则原幂级数收敛域为)21,21(+-. （4）nnn n n n nu )1(3lim||lim -+=∞→∞→不存在，而n n n n n nn n nn u u ])1(3[1])1(3[lim lim 111-+⋅+-+=++∞→+∞→， 由于11lim =+∞→n n n ，且1])1(3[])1(3[lim 1=-+-++∞→nn n n n ，但])1(3[lim 1+∞→-+n n 不存在，则nn n u u 1lim+∞→不存在.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=为奇数，为偶数，n nn n n u nnn n n ,2,4])1(3[ 因此，分别考虑幂级数∑∞=---11212122k k k x k 和∑∞=12224k kk x k. 容易求得幂级数∑∞=---11212122k k k x k 的收敛半径211=R ，而幂级数∑∞=12224k k k x k 的收敛半径412=R ，则原幂级数收敛半径为41. 当41±=x 时，∑∞=---11212122k k k x k 收敛，∑∞=12224k k k x k发散，则原幂级数发散，故原幂级数收敛域为)41,41(-.设幂级数∑∞=-1)1(n n n x a 在0=x 收敛,在2=x 发散,则该幂级数收敛域为____.解 由于幂级数∑∞=-1)1(n n n x a 在0=x 处收敛，在2=x 处发散，由阿贝尔定理知当|10||1|-<-x ，即1|1|<-x ，原幂级数收敛. 当|12||1|->-x ，即1|1|>-x ，原幂级数发散. 则该幂级数收敛域为).2,0[已知∑∞=-1)(n n n a x 在2-=x 处条件收敛，则n n a x n )(12-∑∞=在21ln =x 处(A) 绝对收敛 （B ）条件收敛（C ）必发散 （D ）敛散性由a 确定 （A ）题型二 将函数展开为幂级数例7.24将下列函数展开为x 的幂级数.(1)223)(x x x f +=; (2)256512)(xx xx f ---=; (3)xxx f -+=11arctan )(解（1）)2,2(,23)1()2()1(2321123)(0011222-∈-=-=+=∑∑∞=∞=++x x x x x xx f n n n n n nn . （2）∑∑∞=∞=+-=-++=--+=00)6()1(116111166)(n n n n n x x x x x x x f∑∞=-∈+-=0)1,1(,)16)1((n n n nx x .（3）)1,1(,)1(11)(022-∈-=+='∑∞=x x x x f n n n .⎰∑⎰∑∞=∞=++-=-='=-x n xn n n nnx x dx x dx x f f x f 000012212)1()1()()0()(，又41arctan )0(π==f ，则)1,1(,12)1(4)(012-∈+-+=∑∞=+x n x x f n n n π.题型五 级数求和例7.27求下列幂级数的和函数(1) ∑∞=+1)1(n n n n x (2) 221212-∞=∑-n n n x n(3) n n n x n n ∑∞=+02!21 (4) 120)!12(1)1(+∞=∑++-n n nx n n 解 （1）易求得该幂级数收敛域为]1,1[-.令∑∞=-∈+=1]1,1[)1()(n nx n n x x S . 当0=x 时，0)(=x S .当10≤<x 时，∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=++---=+-=+=1111111)1ln(1)1()(n n n n n n n n n x x x n x n x n n x x S)1ln()11(1])1ln([1)1ln(x xx x x x --+=------=，故 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--+==.10),1ln()11(1,0,0)(x x x x x S（2）21212lim ||lim =-=∞→∞→nn n n n n u ，则2=R . 当2±=x 时，原级数为∑∞=-1212n n 发散. 则原级数收敛域为)2,2(-. 令 221212)(-∞=∑-=n n nx n x S ， )2,2(-∈x ， 当0=x 时，21)(=x S . 当20<<x 时， ))2(1()21()2(212)(1212112221'='='=-=∑∑∑∑∞=∞=∞=--∞=n nn n n n n n n n n x x x x x x n x S222222)2(2)2(2121x x x x x x x -+='-='⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅， 故 )2,2(,)2(2)(222-∈-+=x x x x S .（3）∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+-=+=+010202!)2()2()!1()2(!1!21n n n n n n n n n n x x n n x n n x n n ∑∑∞=∞=+-+-=212)2()!1(1)2()!2(1n n xn n e xn x n),(,)124(24222222+∞-∞∈++=++=x e xx e e x e x xxxx.（4）易求得该级数收敛域为),(+∞-∞.∑∑∞=∞=++'+-=++-=002212))!12()1(21()!12(1)1()(n n n n n nx n x n n x S)sin 2())!12()1(2(012'='+-=∑∞=+x xx n x n n n ),(),cos (sin 21+∞-∞∈+=x x x x .求下列常数项级数的和.(1) ∑∞=-222)1(1n n n (2) ∑∞=+--022)1()1(n nn n n 解 （1）令∑∞=-=221)(n nn x x S ， )1,1(-∈x ，则∑∑∑∑∞=+∞=-∞=∞=+--=+--=21212212112121121)(n n n n n n n n n x x n x x n x n x x S]2)1ln([21)]1ln([22x x x x x x -------=)0,1|(|),1ln(21422≠<--++=x x x xx x故2ln 4385)21(2)1(122-==-∑∞=S n n n. 注：这里用到∑∞=--=1)1ln(n nx n x ，这是一个常用的结论. （2）∑∑∑∞=∞=∞=-+--=+--0102)21()21)(1(2)1()1(n n nn n nn n n n n ， 322111)21(0=+=-∑∞=n n. 令 ∑∑∑∞=∞=∞=-''=-=-=0222)()1()1()(n n n n n nx x xn n xx n n x S322)1(2)11(x x x x -=''-=， ∑∞==-=--0274)21()21)(1(n n S n n . 故 2722274322)1()1(02=+=+--∑∞=n nn n n .。