E[[ A − E[ A]][ B − E[ B]]] = E[ AB] = 0 ，所 因为 AB 零均值且不相关，所以协方差为： C[ AB] =
以上式化简为：
RX (t + τ , t= ) E[ A2 ]cos(t + τ ) cos(t ) + E[ B 2 ]sin(t + τ ) sin(t )= 5[cos(t + τ ) cos(t ) + sin(t + τ ) sin(t )]
RX (t + τ , t ) ) X (t )] E{[ A cos(t + τ ) − B sin(t + τ )][ A cos(t ) − B sin(t )]} = E[ X (t + τ = = E{[ A2 cos(t + τ ) cos(t ) − AB cos(t + τ ) sin(t ) − AB cos(t ) sin(t + τ ) + B 2 sin(t + τ ) sin(t )]}
= 5cos(τ ) ，故 X(t)是平稳的，同理 Y(t)也是平稳的。
= E[ X (t + τ= )Y (t )] E{[ A cos(t + τ ) − B sin(t + τ )][ B cos(t ) + A sin(t )]} （2） RXY (t + τ , t ) = E[ A2 cos(t + τ ) sin(t ) − B 2 sin(t + τ ) cos(t ) + AB cos(t + τ ) cos(t ) − AB sin(t + τ ) sin(t )]
t
解： （1） P[V (t ) = +2 ]= P[V (t ) = +1] = P[V (t ) = −1] = P[V (t ) = −2 ]=
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a2 C X (t= RX (t1 , t2 ) − E[ X (t1 )]E[ X = (t2 )] cos ω0 (t1 − t2 ) + δ (t1 − t2 ) 1 , t2 ) 2
五、 考虑两个各态历经的噪声电压的和： n= ( t ) n1 (t ) + n2 (t ) , n1 (t ) 的功率为 5 瓦， n2 (t ) 的功率为 10 瓦， n1 (t ) 的直流分量为 −2 伏， n2 (t ) 的直流分量为 +1 伏，确定在以下条件下 n(t ) 的功率： （a） n1 (t ) 和 n2 (t ) 是正交的。 （b） n1 (t ) 和 n2 (t ) 是互不相关的。
1
EZ = E ( X + Y ) = EX + EY = 2 EX 14 1 = = 1 12 6
三、 设有一脉冲数字通信系统，它传送的信号是脉宽为 T 的脉冲信号，每隔 T 发出一个脉冲。 脉 冲 的 幅 度 V (t ) 是 一 个 随 机 变 量 ， 它 可 能 的 取 值 有 四 个 ：
1 P[V (t ) = +2 ]= P[V (t ) = +1] = P[V (t ) = −1] = P[V (t ) = −2 ]= 。不同周期内脉冲幅度是相互独立的，图中 4
（c） n1 (t ) 和 n2 (t ) 的互相关在 τ = 0 时为 2。
0。 t1 )n2 (t2 ) ] R = 解： （a） n1 (t ) 和 n2 (t ) 是正交的，有 E [ n1 (= n n (t1 , t 2 )
1 2
（10 分）
n2 ( t ) = E [ n1 (t ) + n2 (t ) ] P= E
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……….……密…..……….封……..……线………..…以………..…内………....答…………...题…………..无……. …….效…..……………..
]
)
t1 t2 当 t1 , t2 在同一周期内时，即 时： = T T
R (t1 , t2= ) E[V (t1 )V (t2 )] = E[V 2 (t1 )] =
1 (+2) 2 + (+1) 2 + (−1) 2 + (−2) 2 = 2.5 4
{
2
} = E n (t ) + 2n (t )n (t ) + n (t )
2 1 1 2 2 2
1 2 1 2
2 2 =E 5 + 10 = 15 watts n1 ( t ) +E n2 ( t ) =
Rn n (t1 , t2 ) − E [ n1 (t1 ) ] E [ n2 (t2 ) ] = 0 （b） n1 (t ) 和 n2 (t ) 是互不相关的， Cn n (t1 , t2 ) =
= φ X (u ) E = (exp( juX ))
1
∫
∞
∞
f X ( x)e jux dx
ju − 3 jue ju + 2e ju − 2 1 jux = ∫0 ( x + 2 )e dx = 2u 2
EX =
∫
∞
∞
Байду номын сангаас
xf X ( x)dx =
1 7 ( ) x x + dx = ∫0 2 12
RX (t1 , t2 ) E = ( a cos (ω0t1 + Θ ) + N (t1 ) ) ( a cos (ω0t2 + Θ ) + N (t2 ) )
2 = E a cos (ω0t1 + Θ ) cos (ω0t2 + Θ ) + a cos (ω0t1 + Θ ) N (t2 ) + a cos (ω0t2 + Θ ) N (t1 ) + N (t1 ) N (t2 )
∫ ∫
∞
∞
∞
∞
f XY ( x, y ) dxdy = 1= A ∫ ∫ A( x + y)dxdy =
0 0
1 1
（2）
X 的边缘概率密度函数：
∞ 1 1 f X ( x) = ∫ f XY ( x, y )dy = ∫ ( x + y )dy = x + , 0 < x ≤ 1 ∞ 0 2
X 的特征函数：
= E ) N (t2 ) cos (ω0t1 + Θ ) cos (ω0t2 + Θ ) + a cos (ω0t1 + Θ ) N (t2 ) + a cos (ω0t2 + Θ ) N (t1 ) + N (t1=
a2 co ω0 (t1 s − t2 ) + δ (t1 − t2 ) 2
]
)
= X (t ) a co s 四、 若随机信号 (ω0t + Θ ) + N (t ) ，其中 a和ω0 是常数，随机变量 Θ U [0, 2π ) 。高斯白噪声 N (t )
满足： N (t ) N (0,1) ，且与 Θ 独立。试求： a) 随机信号 X (t ) 的均值函数； b) 随机信号 X (t ) 的协方差函数 C (t1 , t2 ) 和相关函数 R(t1 , t2 ) 。 解：
= E[ X (t )] E[a cos (ω0t + = Θ ) + N (t )] 0 （1）
（2） N (t ) 是高斯白噪声，所以 RN (t1 ,= t2 ) δ (t1 − t2 )
cos (ω0t + Θ ) N (t ) 由于 N (t ) 与 Θ 独立，所以 a与独立 cos (ω0t + Θ ) N (t ) 又因为 E[ N (t )] = 0 ，所以 a与不相关，正交
选课号______________
……….……密…..……….封……..……线………..…以………..…内………....答…………...题…………..无……. …….效…..……………..
1 [δ (v − 2 + δ)(v − 1) + δ (v + 1) + δ (v + 2 4 1 1 1 1 （2） E[V (t )] = ⋅ (+2 + ) ⋅ (+1) + ⋅ (−1) + ⋅ (−2 =) 0 4 4 4 4 ) ∴ f (v; t=
卷 （ 120 分钟） 考试形式：一页纸开卷 10 分， 实验 卷面 成绩 0 期中 成绩
分， 期中
分， 期末 期末 成绩 平时 成绩
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
X (t ) A cos t − B sin t ， = Y (t ) B cos t + A sin t ，其中 A，B 是零均值、方差 一、 已知两个随机信号：=
2 2 2 P= E E n ( t ) = n1 ( t ) + 2n1 (t )n2 (t ) + n2 ( t ) 2 2 E = n1 ( t ) + 2 E [ n1 (t1 ) ] E [ n2 (t2 ) ] + E n2 ( t ) 5 + 2 × (−2) × (1) + 10 = 11 watts =