OFE CBAOE DCBA和圆有关的角与圆有关的角我们学习了圆心角、圆周角、弦切角以及它们的大小与它们所对（或夹）的弧的度数之间的关系.角的顶点和边与圆位置关系在运动和变化过程中也可能形成另外的两种角.•如果角的顶点在圆内,则称这样的角为圆内角,如图1中所示的∠AEB 即为圆内角.圆内角的大小究竟与弧有何关系呢?延长AE 、BE 分别交圆于C 、D 两点,再连结AD,•则∠AEB=∠A+∠D.∵∠A 的度数等于12CD ,∠D 的度数等于12AB ,∴∠AEB 的度数等于12(•AB +CD ).即圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两弧度数和的一半,其中圆心角是特殊的圆内角.E DCBAEDCBA（1） (2)如果角的顶点在圆外,且角的两边都与同一个圆相交,则称这样的角为圆外角,•如图2所示,∠AEB 即为圆外角,圆外角又有什么性质呢?连结AD,则∠E=∠CAD-∠D,•∵∠CAD 的度数等于12CD ,∠D 的度数等于12AB ,∴∠E 的度数等于 12(CD -AB ).即圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差的绝对值的一半.圆心角、圆周角、弦切角、圆内角和圆外角，弧是联系它们的中介，即“由角看弧，由弧看角”是促使它们互相转化的基本方法。

例1 已知:如图,△ABC 内接于⊙O,∠A=60°,∠B=80°,E 是BC 上一点,F•是AC 的中点,求∠BEF 的度数.解析 ∵∠C=∠AEB,∠C=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-(60°+80°)=40°, ∴∠AEB=40°. ∵AF FC ,∴∠ABF=12∠ABC=40°. 又∵∠AEF=∠ABF=40°. ∴∠BEF=∠AEB+∠AEF=80°.点评若所求的角是与圆有关的角,如圆心角、圆周角、弦切角、•内接四边形的内角和外角，要设法利用相关的定理进行计算，若所求的角与圆无关，要设法转化为与圆有关的角去解决。

例2 如图,设P 为正三角形ABC 外接圆⊙O 的劣弧BC 上一点,AP 交BC 于点D.证明:PB 、PC 是方程x 2-PAx+PA ·PD=0的两个根.POFD C BAPOF ED CBA证明 延长BP,作等边△PEC,在△APC 和△BFC 中, ∵ AC=BC,∠CAP=∠CBF,∠PCA=∠FCB, ∴△APC ≌△BFC. ∴PA=BF=BP+PF=BP+PC.∵∠BAP=∠PCD,∠APC=∠APB,∠ABP=∠CDP, ∴△ABP ∽△CDP.∴有PA PBPC PD=. ∴PB ·PC=PA ·PD.∴PB 、PC 是方程x 2-PAx+PA ·PD=0的两个根. 点评利用圆中的全等三角形,相似三角形证明几何命题,是最基石,•最重要的一种方法,应当引起重视,本题证明PA=PC+PB 时还可用托勒密定理证明.证明如下:∵四边形ABPC 是圆内接四边形, ∴AB ·PC=AC ·PB=BC ·PA∵AB=BC=CA,∴PC+PB=PA 得证.中考真题已知,如图13-7,C 为半圆上一点,AC EC =,过点C•作直径AB 的垂线CP,P 为垂足,弦AE 分别交PC,CB 于点D,F. (1)求证:AD=CD; (2)若DF=54,tan ∠ECB=34,求PB 的长. 解析 (1)证明:连结AC,∵AC EC =,∴∠CEA=∠CAE,∵∠CEA=∠CBA, ∴∠CBA=∠CAE,∵AB 是直径,∴∠ACB=90°.∵CP ⊥AB,∴∠CBA=∠ACP. ∴∠CAE=∠ACP,∴AD=CD(2)解 ∵∠ACB=90°,∠CAE=∠ACP, ∴∠DCF=∠CFD.∴AD=CD=DF=54, ∵∠ECB=∠DAP,tan ∠ECB=34,∴tan ∠DAP=DP PA =34,∵D P 2+PA 2=DA 2,∴DP=34,PA=1,∴CD=2.又∵∠ACB=90°,CP ⊥AB,∴△APC ∽△CPB. ∴PA PCPC PB= ,∴PB=4. 点评充分利用与圆有关的角,直角三角形中互余的角,便能迅速解决问题.竞赛样题例1 (2001年全国初中数学竞赛“创新杯”广西赛区试题)如图,•已知⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直,C 为优弧AMB 上的点,且BC 2=AB 2+OB 2.求∠OAC 的度数.解析 设⊙O 的半径为r,则AB=2r,于是BC=22AB OB +=3r,以B 为圆心, 3r 为半径作圆,•与⊙O•交于两点C,C ′.连结BC,BC ′,AC,AC ′,延长OB 交⊙O 于点 D.连结CD,则CD=22BD BC -=r,即BD=•2CD,∴∠CBD=30°. ∵∠ACB=12∠AOB=45°, ∴∠OAC=180°-∠ACB-∠ABC-∠BAO=180°-45°-75°-45°=15°.∴∠OAC ′=∠OAC+∠CAC ′=∠OAC+∠CBC ′=15°+60°=75°. 综上可得,•∠OAC 为15°或75°.点评 以B 为圆心,BC 长为半径画圆交⊙O 于C,C ′,C 点的位置确定了,•从而使条件与结论互相靠拢,为解题创造了条件.一般地,几何图形中有半径或直径这一条件,•常添加辅助线,使其构成直角三角形.例2 (2002年江苏省第17届数学竞赛题)如图,⊙O 为△ABC 的外接圆,•∠BAC=60°,H 为边AC 、AB 上的高BD,CE 的交点,在BD 上取点M,使BM=CH.(1)求证:∠BOC=∠BHC;(2)求证:△BOM ≌△COH;(3)求证:MH:OH 的值.证明 (1)∵∠BAC=60°,∴∠BOC=2∠BAC=120°,∠BHC=∠DHE=360°-(90°+•90°+∠BAC)=120°,∴∠BOC=∠BHC;(2)∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB. 又∵∠BOC=120°,∴∠OBC=12(180°-120°)=30°. 而∠HBC=90°-∠BCA,∴∠OBM=∠OBC-∠HBC=30°-(90°-∠BCA)=∠BCA-60°.又∵∠OCH=∠HCB-∠BCO=∠HCB-12(180°-120°)=∠HCB-30°, 但∠HCA=90°-•∠BAC=90°-60°=30°,∴∠OCH=∠HCB+∠HCA-30°-30°=∠BCA-60°, ∴∠OBM=∠OCH.又∵BM=CH,OB=OC,∴△BOM ≌△COH; (3)由(2)得OH=OM,且∠COH=∠BOM,C 'OMDCBA H P O M E DC B A从而有∠OHM=∠OMH,∠MOH=∠BOC=120°,∠OHM=12(180°-120°)=30°.在△OMH中,作OP⊥MH,P为垂足,则OP=12OH,由勾股定理,得(12MH)2=OH2-OP2=OH2-(2OH)2;MH:OH=3.全能训练A卷1.如图,四边形ABCD内接于以AD为直径的⊙O,且AD=4cm,AB=BC=1cm,•求CD的长.O DC BA2.如图,△ABC内接于⊙O,AH⊥BC于H,求证:OA.AH=12AB·AC.HOCBA3.如图,△ABC的顶点A、B在⊙O上,⊙O的半径为R,⊙O与AC交于点D,•如果点D既是AB 的中点,又是AC的中点.(1)求证:△ABC是直角三角形.(2)求2ADBC的值.ODCBAB 卷1.如图,在△ABC 中,已知AB 为⊙O 的直径,AB 、CD 交于点P,P 是OB 的中点,求tanC ·tanD 的值.PODCBA2.如图,由△ABC 的顶点A 作高AD,以垂足D 为圆心,AD 长为半径作圆,分别交AB 、AC 于E 、F,若AE=2,AF=3,AB=5.求AC 的长.QF E DCBA3.如图,在半径为1的⊙O 中,PE 是直径,PC PB ,点A 在BP 的延长线上,CD•⊥AB,垂足为D,且AC.CE=PE.CD.(1)判断点P 是否为线段AB 的中点,并证明你的结论;(2)如果点B 是半圆CMF 上的动点(不与定点C 和F 重合),设PB=x,AC=y,求y 与x 的函数关系式,写出自变量x 的取值范围.POFED CBA4.如图,已知M 是⊙O 的半径OA 的中点,MB ⊥OA 交⊙O 于点B,弦AC ⊥OB 于N•点,交BM 于点D,连结DO 并延长交⊙O 于点F. (1)求∠CFD 的度数;(2)若⊙O 的半径为3cm,求CD 和CF 的长.O FN MD CBAA卷答案1..如图,连结OB、AC,设OB交AC于点H,∵AB=BC,OB⊥AC.设OH=x,则BH=2-x,•在Rt△OAH中,A H2=OA2-OH2=22-x2=4-x2,①在Rt△HAB中,AH2=AB2-BH2=12-(2-x)2,•②由①、②得4-x2=1-(2-x)2,∴x=74.∵OB⊥AC,DC⊥AC,∴OH∥CD.又∵OA=OD,∴CD=•2OH=2×74=72。

2.延长AO交⊙O于M,连结BM.∵AM为⊙O的直径, ∴∠ABM=90°.又∵∠M=∠C,•∴△ABM∽△ACH,∴ ,∴AB.AC=AM.AH. AB AM AH AC=，∵AM=2AO,∴OA·OH= 12 AB·AC.3.如图,(1)作直径DE,交⊙O于E,交AB于F. ∵D为BA的中点,∴AB⊥DE,AF=BF.•∵AD=DC,∴DF∥BC,即AB⊥BC,∴△ABC为直角三角形.(2)连结AE,∵DE为⊙O的直径,∴∠DAE=90°,而且AB⊥DE,∴△ADF∽△EDA.•∴AD DF DE AD= ,∴AD2=DE·DF.∵DE=2R,DF=12BC,∴AD2=2R·12BC,∴AD2=R·BC,∴2ADBC=R.B卷答案1.连结BC,BD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,∵∠ACD=∠ABD,∠ADC=•∠ABC,∴tanC·tanD=tan∠ABD·tan∠ABC=ADBD·AC AD ACBC BD BC= ,作AE⊥CD于E,作BF⊥CD于F,则△AEC•∽△ADB,HO DCBAOFEDCB AQF EDCBA∴AC ABAE AD=,∴AC ·AD=AE ·AB. 同理,BD ·BC=BF ·AB.∴tanC ·tanD=AE AB AEBF AB BF= ,∵△APE ∽△BPF,•∴AE APBF BP=, ∵P 为半径OB 的中点,∴31AP BP =,∴AEBF=3 , ∴tanC ·tanD=3.2.如图,连结EF,AQ,则△ADQ 为等腰三角形,∠AQD=45°, ∴∠C=45°-∠QAC=12(AQ-FQ)=∠AEF. 又∵∠BAC=∠FAE,∴△AEF ∽△ACB,∴AE AF AC AB = ,∴AC=103. 3.(1)如图,连结PC 、BC,BC 交EP 于Q.由CE BE =,CQ=BQ,PC=PB,EP ⊥BC,得∠1=•∠2. ∵AC CDPE CE= ,∠ECP=∠ADC=90°, ∴Rt △ACD ∽△Rt △PEC,得∠A=∠1,∴∠A=∠2,得PE•∥AC,而CQ=QB,故AP=PB. (2)由Rt △ABC ∽Rt △PEC,得AC ABPC PE=. ∵AB=2PB=2x,AC=y,PE=2,∴y=x 2(0<x<2). 4.(1)连OC,AB,证△BMO ≌△BMA,∴AB=BO, ∴△AOB 为正三角形,∠BOA=60°.•又∵AN ⊥OB,∴D 为正三角形AOB 的中心, ∴∠BOD=30°.又∵△CON ≌△AON,∴∠CON=∠AON=60°,∴∠DOC=∠BOD+∠CON=90°, ∴∠FOC=90°.∵OC=OF,∴∠CFD=45°.(2)Rt △COF 中,CF=22CO OF +=6 ;Rt △OCD 中,CD=22OD OC +=2223()(3)32⨯+=2.21QPOF ED CBA。