导数的应用二、典型例题题型一 未定式及其逆问题的求解 例1、求下列极限（∞∞）：（1）0ln tan 2lim ln tan 3x xx +→　（2）0lim ln x x x +→　（3）arctan lim (1)x x x a x x a a x →∞->+ （4）ln(1)lim an n e n→∞+ （1）解：原式2'2002cot 2sec 22tan 3lim lim 13cot 3sec 33tan 2L H x x x x xx x x ++→→===． （2）解：原式1'ln 1lim lim 0t xL H t t t tt =→+∞→+∞-==-=．（3）提示：arctan 1()arctan lim lim 11()x x x x x x a x x x a xa x x a →+∞→+∞--==++； arctan ()arctan lim lim ()12x x x x x x a x x a x x a x a x π→-∞→-∞--==++． （4）提示：0a ≤，原式0=；0a >，原式ln(1)lim an n an e a n-→∞++==（不能用'L H ）．注：ln (1),ln ,(1),ln()(1),ln ,,,x x x xx x x a b a x x a x ββαββα><+>无限增大之速渐快； ln (1),ln ,(1),ln()(1),ln ,,,!,n n n n n n n a b a n n a n n ββαββα><+>无限增大之速渐快． 例2、求下列极限（0000,,1,,0∞⋅∞∞-∞∞，）：（1）4301sin sinlim tan x x x x x x →-+；（2）20(1)ln(1)lim 1x x x x x e →-++-；（3）01lim(cot )1x x x e →--； （4）21lim[ln(1)]x x x x →∞-+；（5）2arctan lim ()xx x π→+∞；（6）101lim()x kx nx k e n→=∑；（7）2122lim()x x x a →∞+． （1）提示：原式330032000tan ~sin 11cos 1lim lim sin lim 36x x x x x x x x x x x x →→→--=+==． （2）提示：解：原式2200'2001~(1)ln(1)ln(1)1lim lim 22x L H x x e xx x x x x x →→--++-+===-． （3）提示：原式2'20001tan 1tan sec 1lim lim lim (1)tan 22x x x L H xx x x e x e x e x e x x x →→→-----====-． （4）提示：原式1'20ln(1)1lim 2t xL H t t t t =→-+==． （5）提示：原式2222ln arctan arctan 12[(1)]2lim1limlim 111x x x xx x xxx eeee ππππ∞→+∞→+∞→+∞-+--====（令2arctan 1x t π-=）．（6）提示：原式110011ln()111lim1'limlim2nnkx kx nkxk k x x x k e n e n n ke L Hn xxeeee∞==→→→=-+∑∑∑====．（7）提示：原式0∞=22222ln()2()'limlim21x x x a x x a L Hx x ee→∞→∞++==．注1：对1n =，不能直接使用L’H 法则，先求01lim 1xx x∞→+∞=，而000lim 1xx x +→=．注2：01lim (1)1xx x e ∞→+∞+=≠．例3、设()1f a ''=，求2lim [()()2()]h h f a h f a h f a -→++--．解：原式0'()'()lim2h f a h f a h h →+--=00'()'()'()'()lim lim 122h h f a h f a f a h f a h h→-→+---=+=-．例4、设lim )0x ax b →+∞-=，求b a ,．提示：由题意知lim )1x a →+∞==；1lim )1)]23x tx t b x t +=→+∞→===． 例5、当0→x 时，xx33tan -是关于x 的k 阶无穷小，则3=k ．提示：tan tan 00003331tan lim lim lim3ln 3lim x x x x xk k k x x x x x x x x x -→→→→---==2031'0tan ln 3ln 3lim 3k k L H x x kx =-→==．例6、设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有一阶连续导数,且,0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小,则a =2，b =1-．提示： 由题设条件知00lim[()(2)(0)](1)(0)h af h bf h f a b f →=+-=+-，有01=-+b a ；'00()(2)(0)0lim lim[()2(2)](2)(0)L H h h af h bf h f af h bf h a b f h→→+-'''==+=+，有02=+b a .例7、若 30lim [()sin 6]0x x xf x x -→+=，则20lim [()6]x x f x -→+=36.提示：由33lim [()sin 6]lim [(()6)(sin 66)]0x x x xf x x x xf x x x x --→→+=++-=，知 230lim [()6]lim (6sin 6)x x x f x x x x --→→+=-=2lim2(1cos6)36x x x -→-=．例8、()130lim 1(),xx x f x x e →++=''(0)f 存在，求)0(),0(),0(f f f '''．提示：由题意知0lim[())]0x f x x →=，则()0(0)lim ()0f x x f f x →==连续；且()0(0)lim{[()(0)]}lim[())]0f x x x f f x f x f x x →→'=-==可导；又()120lim [()]1lim[()]13lim 1(),x x x x f x x f x x xx e x f x x ee-→→++→=++==知20lim ()2x x f x -→=，则''(0)'2000()'()'()'(0)12lim limlim ''(0)222f L H x x x f x f x f x f f x x x →→→-====存在，则''(0)4f =． 注1：本题也可换为3lim[11(1)],n n n nf n e →∞++=''(0)f 存在，求(0),(0),(0)f f f '''．提示：若令1n t =，仿例8可求出(0),(0),f f '但对2lim ()2t t f t -→=左式切勿使用'L H ．题型二 函数性态的判定、求解与证明例1、设)(x f y =由1)cos(2-=-+e xy eyx 所确定，则曲线)(x f y =在点)1,0(处的法线方程为022=+-y x ．例2、对螺旋线θρe =在(,)(,2)eπρθπ=处的切线的直角坐标方程为2x y e π+=．例3、求ln(1)y x e x =+ （0>x ）的渐近线方程． 提示：由1'(0)lim [ln()]0x tL Ht y e t =+→+∞+==，知0x =不是该曲线的铅直渐近线；又1'0lim 1,lim ()lim[ln()1]1x tL Hx x t y x y x e t t e +=→+∞→+∞→=-+-== ，故1y x e =+为其斜渐近线．例4、设函数)(x f 连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得(C)（局部保号性） (A) )(x f 在（0，)δ内单调增加 (B) )(x f 在)0,(δ-内单调减少(C) 对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f > 例5、下列命题中正确的是(C)(A) 若)(x f 在),(b a 上可导，且严格单调递增，则必有0)(>'x f (B) 若0()()0f x x x '->对00(,)x U x δ∈成立，则0()f x 为极小值(C) 若00(,())x f x 是函数)(x f 的拐点，则必有0)(0=''x f 或0()f x ''不存在 (D) 0()()f x x x ''-在00(,)U x δ上不变号，则00(,())x f x 是)(x f 的拐点例6、设3()()lim 11cos()x a f x f a x a →-=---，则函数()f x 的一个极大值必为)(a f ．（局部保号）例7、数列21{(12)}n n +中的最大项为916．提示：设21()(12),[1,)x f x x x +=∈+∞，令()0f x '=，则在2ln 2x =处()f x 取得最大值，又22ln 23<<，而(2)12,(3)916f f ==，故该数列的最大值为第三项：916． 例8、设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中()y f x ''=的图形如下图所示，则()f x 所示曲线的拐点个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3提示：0x >时， ()f x ''与x 轴有一个交点，且在交点处左邻右舍所对应的的()f x ''值异号； 在点0x =处左邻右舍所对应的的()f x ''值异号，且()f x 连续，故()f x 有两个拐点.例9、设)(x y y =由⎩⎨⎧+-=++=131333t t y t t x 确定，则曲线)(x y y =向上凸的x 取值范围为]1,()1,(-∞-∞或.提示：令323''()['()'()]()[()()()()]()4(1)30y x d y t x t dx t y t x t y t x t x t t t -'''''''==-=+=得0t =，而2()3(1)0x t t '=+>，说明x 关于t 单增，故0t <，既1x <时，''()0y x <. 注：(1,1)也为该曲线拐点，且该曲线在点(5,2)-处的曲率为16K =. 例10、设)(x f 二阶导数连续,且xe xf x x f x --='--''-11)()1(2)()1(，试问（1）若)1( ≠=a a x 是极值点时,是极小值点还时极大值点？（2）若1=x 是极值点时,是极大值点还是极小值点? 提示：（1）将0)(='a f 代入xe xf x x f x --='--''-11)()1(2)()1(，得0a ≠时，1()(1)1)0af a e a -''=-->，则)(x f 在a x =取极小值；（2）由1()2()(1)(1)xf x f x ex -'''-=--，知11lim ()2lim ()1x x f x f x →→'''-=则,01)1(>=''f 又0)1(='f ，故1=x 为)(x f 的极小值点. （)(x f 在1=x 邻近处为凹） 注：设)(x f 满足2(1)()2()1xx f x x f x e-'''--=-，问(0,(0))f 是否为)(x f 的拐点？提示：(0)0f ''=，因212()xex f x -'-+可导，则()f x ''也可导，对原方程两端求导，得1(1)'''()''()2[2()''()]x x f x f x x f x xf x e -'-+-+=，则'''(0)1f =-，故(0,(0))f 为拐点.三、课后练习1、计算下列极限（（1）--（6）为(A)；（7）--（12）为(B)）（1）2244ln()lim ln()x x x e x e x →∞+=+12（2）1ln(1)lim (0)n n n n αα+→∞+>=0（3）0x →=14- （4）x x →=1（5）30arctan limln(12)x x x x →-=+16- （6）sin sin 022lim 33x x x arc x x →-=-ln 2ln 3- （7）201cot lim()x x x x →-=13（8）22201cos lim()sin x x x x →-=43（9）1lim[]ln(11)n n n →∞-=+12- （10）10(1)lim x x x e x →+-=2e -（11）ln(1)0lim(tan )x x x +-→=1（12）1lim(tan )21n n n n π→∞=+1 2(A)、设22lim [ln(1)()]2x x x ax bx -→+-+=，则(,)a b =(1,52)-.3(A)、已知2)13(lim 2=++-+∞→bx ax x x ，则(,)a b =(9,12)-.4(A)、设当)1(,02++-→bx ax e x x 是比2x 高阶的无穷小，则(,)a b =(12,1).5(B)、设函数()arcsin f x x =，若)(')(ξxf x f =，则220lim[]x x ξ→=1.提示：2222arcsin(arcsin )x x x ξ---=-.6 (A)、设()1,'()ln 2f a f a ==，则lim[(1)()]nn f a n f a →∞+= 2．7 (B)、若2)0(,1)0(='=f f ，则1(1)lim[tan(1)]n f n n n n -→∞=16e-.（先求0tan 11lim[1()]6x x x x f x →-=--）8(B)、若lim (1)0n nf n →∞=，''(0)4f =，则lim[1(1)]n n nf n →∞+= 2e .（先求20lim ()2x x f x -→=）9(B)、设'()f x 在x = 0处连续，又21lim[sin ()]2x x x x f x --→+=，则(0)f =1-，(0)f '=2．提示：21212lim[sin ()]lim (sin )lim [()1]x x x x x x f x x x x x f x ----→→→=+=-++．10 (B)、当n →∞，444ln ,ln ,ln ,4nn n n 趋于无穷大速度最慢与最快的分别是(D)(A) 4ln ln ,4nn (B) 44ln ,n n (C) 4ln ln ,4nn (D) 44ln ,n n提示：ln ln 44n n =．11 (A)、设10()ln f x x =，()g x x =,10()x h x e =,则当x 充分大时有（C ） （A ）()()()g x h x f x << （B ）()()()h x g x f x << （C ）()()()f x g x h x << （D ）()()()g x f x h x <<12(B)、设)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(≠f ，0)0(≠'f ，(0)0f ''≠， 求证： 存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．13（A ）、曲线⎩⎨⎧==te y te x tt cos 2sin 在点)1,0(处的法线方程为012=-+x y . 14（A ）、若曲线b ax x y ++=2和312xy y +-=在点)1,1(-处相切，则 (,)a b =(1,3)--.15（A ）、设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有公切线，则()lim (2)n nf n n →∞+=2-．16（A ）、曲线极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6θπ=处的切线与法线的直角坐标方程（切线：(540x y -+-=，法线：(140x y ++=）. 17（A ）、证：1(0)yx x 上任一点处切线与两坐标轴所围的直角面积恒为2.18（A ）、证明： 23223x y a +=上任一点的切线在,x y 轴上截距的平方和为常数. 19（A ）、求曲线 x x y arctan =的渐近线（有两条斜渐近线 21y x π=±-）. 20（B ）、若)(x f 连续，且周期为5，当0x →，)(8)sin 1(3)sin 1(x x x f x f α+=--+，其中)(x α是x 的高阶无穷小，且)(x f 在1=x 处可导，求曲线)(x f y =在点(6,(6))f 处的切线方程.（提示：'(6)'(1)f f =，切线方程为)6(2-=x y ）21（A ）、设()(1)f x x x =-, 则(C)(A)0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点 (B)0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点 (C)0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点(D)0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点 22（A ）、设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是（B ）（A ）(0)f 是极大值，(2)f π是极小值. （B ）(0)f 是极小值，(2)f π是极大值. （C ）(0)f 是极大值，(2)f π也是极大值. (D) (0)f 是极小值，(2)f π也是极小值. 23（A ）、设)(x f 满足22()[()]1f x f x x '''+=+，且'(0)0f =，则(B) (A)(0)()f f x 为的极大值 (B)(0)()f f x 为的极小值 (C) ))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点(D))0(f 不是)(x f 极值，))0(,0(f 也不是曲线)(x f y =的拐点24（A ）、设()f x 有二阶连续导数，且(0)0f '=，0lim[()]1x f x x →''=，则（B ）（A ）(0)f 是()f x 的极大值 （B ）(0)f 是()f x 的极小值 （C ）(0,(0))f 为曲线()y f x =的拐点（D ）(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点25（A ）、设函数()f x ,()g x 具有二阶导数，且''()0g x <。