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导数及其应用经典题型总结

《导数及其应用》经典题型总结
一、知识网络结构 题型一 求函数的导数及导数的几何意义

点一 导数的概念,物理意义的应用

1.(1)设函数()f x 在
2x =处可
导,且(2)1f '=,求
0(2)(2)
lim
2h f h f h h
→+--;
(2)已知()(1)(2)
(2008)f x x x x x =+++,求(0)f '.
考点二 导数的几何意义的应用
例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1,1),且在点Q(2,-1)处与直线y=x-3相切,求实数a 、b 、c 的值
例3:已知曲线y=.3
43
13+x (1)求曲线在(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点(2,4)的切线方程. 题型二 函数单调性的应用
考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状
例1 如果函数y =f(x)的图象如图,那么导函数y =f(x)的图象可能是( ) 考点二 求函数的单调区间及逆向应用
例1 求函数522
4
+-=x x y 的单调区间.(不含参函数求单调区间)
例2 已知函数f (x )=1
2x 2+a ln x (a ∈R ,a ≠0),求f (x )的单调区间.(含参函数求单调区间)
练习:求函数x
a
x x f +
=)(的单调区间。

例3 若函数f(x)=x 3
-ax 2
+1在(0,2)内单调递减,求实数a 的取值范围.(单调性的逆向应用) 练习1:已知函数0],1,0(,2)(3
>∈-=a x x ax x f ,若)(x f 在]1,0(上是增函数,求a 的取值范围。

2. 设a>0,函数ax x x f -=3
)(在(1,+∞)上是单调递增函数,求实数a 的取值范围。

3. 已知函数f (x )=ax 3+3x 2-x+1在R 上为减函数,求实数a 的取值范围。

总结:已知函数)(x f y =在),(b a 上的单调性,求参数的取值范围方法: 1、利用集合间的包含关系
2、转化为恒成立问题(即0)(0)(/
/≤≥x f x f 或)(分离参数) 3、利用二次方程根的分布(数形结合) 例4 求证x x <sin ,(π∈x )(证明不等式) 练习:已知x>1,证明x>ln(1+x). 题型三 函数的极值与最值
考点一 利用导数求函数的极值。

例1 求下列函数的极值:(1)f(x)=x +1
4x ;(2)f(x)=ln x +1x
.(不含参函数求极值)
例2 设a>0,求函数f(x)=x 2+a
x
(x>1)的单调区间,并且如果有极值时,求出极值.(含参函数求极值)
例3设函数f(x)=a
3x 3+bx 2+cx +d(a>0),且方程f ′(x)-9x =0的两个根分别为1,4.若f(x)在(-∞,
+∞)内无极值点,求a 的取值范围.(函数极值的逆向应用)
例4 已知函数f(x)=x 3
-3ax -1,a ≠0. (利用极值解决方程的根的个数问题) (1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x =-1处取得极值,直线y =m 与y =f(x)的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围. 题型四 函数的最值 例1 求函数[]2,2,1
4)(2
-∈+=
x x x
x f 的最大值与最小值。

(不含参求最值) 例2 已知函数f(x)=ax 3-6ax 2+b ,试问是否存在实数a 、b ,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29,若存在,求出a ,b 的值;若不存在,请说明理由.(最值的逆向应用) 例3 已知f(x)=xlnx ,g(x)=x 3+ax 2-x +2. (1)求函数f(x)的单调区间.
(2)若对任意x ∈(0,+∞),2f(x)≤g ′(x)+2恒成立,求实数a 的取值范围.(利用极值处理恒成立问题)
练习1 已知f (x )=x 3-1
2
x 2-2x +5,当x ∈[-1,2]时,f (x )<m 恒成立,求实数m 的取值范围。

(2)f (x )=ax 3-3x +1对于x ∈[-1,1]恒有f (x )≥0成立,则a =________.
二、知识点
1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率:
()()
2121
f x f x x x --.
2、导数定义:()f x 在点0x 处的导数记作x
x f x x f x f y x x x ∆-∆+='='
→∆=)()(lim
)(000
00

3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()
y f x =在点
()()
00,x f x P 处的切线的斜率.
4、常见函数的导数公式:
①'
C 0=;②1')(-=αααx
x ; ③x x cos )(sin '
=;④x x sin )(cos '
-=;
⑤a a a x
x ln )('
=;⑥x
x e e ='
)(; ⑦a x x a ln 1)(log '
=
;⑧x
x 1)(ln '
= 5、导数运算法则:
()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦;
()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '
''⋅=+⎡⎤⎣⎦;
()3()()()()()()
()()()2
0f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦.
6、在某个区间(),a b 内,若()0f x '>,则函数()y f x =在这个区间内单调递增; 若()0f x '<,则函数()y f x =在这个区间内单调递减.
7、求解函数()y f x =单调区间的步骤:
(1)确定函数()y f x =的定义域; (2)求导数'
'
()y f x =; (3)解不等式'
()0f x >,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式'()0f x <,解集在定义域内的部分为减区间.
8、求函数()y f x =的极值的方法是:解方程()0f x '=.当()00f x '=时:
()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么()0f x 是极大值;
()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么()0f x 是极小值.
9、求解函数极值的一般步骤:
(1)确定函数的定义域 (2)求函数的导数f ’(x) (3)求方程f ’(x)=0的根
(4)用方程f ’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格 (5)由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是:
()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值;
()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ,()f b 比较,其中最大的一个是最大值,最
小的一个是最小值.。

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