线性代数教学教案
第5章 矩阵的特征值与特征向量
授课序号01 教 学 基 本 指 标
教学课题 第5章 第1节 特征值与特征向量 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质以及矩阵的特征值和特征向量的求法 教学难点 矩阵的特征值和特征向量的求
法
参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题 大纲要求 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。
教 学 基 本 内 容
一．特征值与特征向量的概念
1．设是n 阶方阵，如果存在数和n 维非零列向量x ，使关系式=成立，那么，称为方阵的特征值，非零列向量称为的对应于特征值的特征向量.
2．特征方程：称，即=为方阵A 的特征方程. 3．特征多项式与特征矩阵：是关于的n 次多项式，称为方阵的特征多项式，记作. 称为的特征矩阵.
二．特征值与特征向量的性质
1．设矩阵A 的特征值为，则
(1) ；
(2) .
2．矩阵的迹：设矩阵,称为的迹，记为tr .
A λAx x λλA x A λ0-=A E λ111212122212n n n n nn a a a a a a a a a λ
λλ
---
0||λ-A E λA ()A f λλ-A E A ()n n ij a ⨯=n ,,λλλ 21121122n nn a a a λλλ+++=+++ 12n A λλλ= A ()n n ij a ⨯=1122nn a a a +++ A A
3．矩阵和有相同的特征值.
4．设是n 阶可逆矩阵，则
(1) 的特征值都不为零；
(2) 若是的特征值，则是的特征值.
5．设是关于的多项式，是n 阶方阵，此时，若是的特征值，则是的特征值，此时称为的特征多项式.
6．定理：设是n 阶方阵的m 个特征值, 依次是与之对应的特征向量. 如果互不相等，则线性无关.
三．例题讲解
例1．求A 的特征值和特征向量. 例2．求矩阵A 的特征值和特征向量. 例3．求矩阵 的特征值和特征向量. 例4．设是n 阶方阵的特征值, 证明：的特征值.
例5．已知3阶方阵的特征值为，1，2，求.
例6．已知为n 阶方阵，是A 的两个不同的特征值，是的分别对应于的特征向量，证明：不是A 的特征向量.
例7．设分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平. 分别为该地区t 年后的环境污染水平和经济发展水平，有关系式如下：，试预测该地区t 年后的环境污染水平和经济
发展水平之间的关系.
A T A A A λA 1-λ1-A 10()m m f x a x a x a =+++ x A 10()m m f a a a =+++ A A A E λA ()f λ()f A ()f A A 12,,,m λλλ A 12,,,m x x x 12,,,m λλλ 12,,,m x x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=2134⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100031111211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
λA 22λ是A A 1-325A A -A 12,λλ12,x x A 12,λλ12+x x 00,x y ,t t x y ()-1-1-1-1=3+=1,2,,=2+2t t t t t t x x y t k y x y ⎧⎨
⎩
授课序号02 教 学 基 本 指 标
教学课题 第5章 第2节 相似矩阵 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件
教学难点 矩阵可相似对角化的方法
参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题 大纲要求 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件。
教 学 基 本 内 容
一．相似矩阵的定义及性质
1．相似矩阵:设，都是n 阶方阵，若存在可逆矩阵，使，则称是的相似矩阵，或称矩阵与相似，记作~. 对进行运算称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵.
2. 相似矩阵的性质：
(1)自反性：对任意方阵n 阶方阵，与相似；
(2)对称性：若与相似，则与相似；
(3)传递性：若与相似，与相似，则与相似.
(4)若~，则~.
(5)若~，设是一个多项式，则~.
(6)若~，且A 可逆，则B 也可逆，且~.
3.定理:若n 阶方阵与相似，则与的特征多项式相同.
推论1. 若与相似，则与的特征值相同；进而与的行列式相等.
A B P 1-P AP =B B A A B A B A 1-P AP A P A B A A A A B B A A B B C A C A B T A T B A B ()f x ()f A ()f B A B -1A -1B A B A B A B A B A B
推论2. 若n 阶矩阵与对角矩阵=相似，则是的全部n 个特征值. 二．方阵的相似对角化 1. 相似对角化:若方阵能与一个对角阵相似，则称可以相似对角化，简称可对角化.
2．定理：n 阶方阵可以相似对角化的充要条件是有n 个线性无关的特征向量．
推论1. 如果n 阶方阵的n 个特征值互不相等，则与对角阵相似.
推论2. n 阶方阵可对角化的充分必要条件是对应于的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即设是方阵的重根，则与对角阵相似，当且仅当
.
3．的n 个线性无关的特征向量所构成的矩阵，恰好就是到的相似变换矩阵. 三．例题讲解
例1．设与相似，则与相似.
例2．已知，(1) 求可逆矩阵, 使为对角阵；(2) 计算. 例3．求解一阶线性常系数微分方程组
A Λ12n λλλ⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
12,,,n λλλ A A ΛA A A A A A A A i λA i k A Λi i r n k λ-=-()A E ),,2,1(n i =A 12,,,n x x x 12(,,,)n P = x x x A 12n λλλ⎡⎤⎢
⎥⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
A B 2A 2B ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163053064A P Λ=-AP P 110A 12233123d d d d d 6116d x x t x x t
x x x x t ⎧=
⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=---⎪⎩
授课序号03 教 学 基 本 指 标
教学课题 第5章 第3节 实对称矩阵及其对角化 课的类型 复习、新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质以及用相似变换化矩阵为对角矩阵的方法。
教学难点 用相似变换化矩阵为对角矩阵
的方法。
参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题 大纲要求 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，掌握用相似变换化矩阵为对角矩阵的方法。
教 学 基 本 内 容
一. 实对称矩阵的特征值与特征向量
实对称矩阵的特征值、特征向量除具有一般矩阵的特征值、特征向量的性质外，还具有以下性质.
1.实对称矩阵的特征值一定为实数；
2.实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交；
3.设为n 阶实对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩，从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量.
二．实对称矩阵的正交相似对角化
1．定理：设A 为n 阶实对称矩阵，则必存在n 阶正交矩阵P ，使得==，其中是的n 个特征值.
2．合同矩阵：给定两个n 阶方阵和 , 若存在可逆矩阵，使=，则称矩阵与矩阵合同，或，是合同矩阵.
3．合同矩阵的性质：
A λA r λ-A E ()r n r -=-A E λλr 1-P AP Λ12n λλλ⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
12,,,n λλλ A A B P T P AP B A B A B
(1) 自反性：对任意方阵n 阶方阵，与合同；
(2) 对称性：若与合同，则与合同；
(3) 传递性：若与合同，与合同，则与合同.
推论：设为n 阶实对称矩阵，则必存在n 阶正交矩阵，使得==，其中是的n 个特征值.
三．例题讲解
例1.设A ＝， 求一个正交矩阵，使=为对角阵.
例2.设矩阵是3阶实对称阵，的特征值为 1，2，2，=与=都是矩阵的属于特征值2的特征向量. 求的属于特征值1的特征向量，并求出矩阵.
例3.设某城市共有30万人从事农、工、商的工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：
(1) 在这30万就业的人员中，目前约有15万从事农业、9万人从事工业、6万人从事商业；
(2) 在从事农业的人员中，每年约有20%改为从事工业、10%改为从事商业；
(3) 在从事工业的人员中，每年约有20%改为从事农业、10%改为从事商业；
(4) 在从事商业的人员中，每年约有10%改为从事农业、10%改为从事工业.
先预测1、2年后从事各行业人员的人数，以及经过若干年以后，从事各行业人员总数的发展趋势. A A A A B B A A B B C A C A P T P AP Λ12n λλλ⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦ 12,,,n λλλ A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡120210003P 1-P AP ΛA A 1p ()1,1,0T 2p ()0,1,1T
A A A。