2.实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交；
3.设 为n阶实对称矩阵， 是 的特征方程的 重根，则矩阵 的秩 ，从而对应特征值 恰有 个线性无关的特征向量.
1．定理：设A为n阶实对称矩阵，则必存在n阶正交矩阵P，使得 = = ，其中 是 的n个特征值.
2．合同矩阵：给定两个n阶方阵 和 ,若存在可逆矩阵 ，使 = ，则称矩阵 与矩阵 合同，或 ， 是合同矩阵.
例2.设矩阵 是3阶实对称阵， 的特征值为 1，2，2， = 与 = 都是矩阵 的属于特征值2的特征向量.求 的属于特征值1的特征向量，并求出矩阵 .
例3.设某城市共有30万人从事农、工、商的工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：
(1)在这30万就业的人员中，目前约有15万从事农业、9万人从事工业、6万人从事商业；
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第5章第2节相似矩阵
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件
教学难点
矩阵可相似对角化的方法
参考教材
同济版《线性代数》
作业布置
课后习题
大纲要求
理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件。
推论2.若n阶矩阵 与对角矩阵 = 相似，则 是 的全部n个特征值.
二．方阵的相似对角化
1.相似对角化:若方阵 能与一个对角阵 相似，则称 可以相似对角化，简称 可对角化.
2．定理：n阶方阵 可以相似对角化的充要条件是 有n个线性无关的特征向量．
推论1.如果n阶方阵 的n个特征值互不相等，则 与对角阵相似.
第5章矩阵的特征值与特征向量
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第5章第1节特征值与特征向量
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质以及矩阵的特征值和特征向量的求法
教学难点
矩阵的特征值和特征向量的求法
参考教材
同济版《线性代数》
参考教材
同济版《线性代数》
作业布置
课后习题
大纲要求
了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，掌握用相似变换化矩阵为对角矩阵的方法。
教 学 基 本 内 容
一.实对称矩阵的特征值与特征向量
实对称矩阵的特征值、特征向量除具有一般矩阵的特征值、特征向量的性质外，还具有以下性质.
1.实对称矩阵的特征值一定为实数；
3．合同矩阵的性质：
(1)自反性：对任意方阵n阶方阵 ， 与 合同；
(2)对称性：若 与 合同，则 与 合同；
(3)传递性：若 与 合同， 与 合同，则 与 合同.
推论：设 为n阶实对称矩阵，则必存在n阶正交矩阵 ，使得 = = ，其中 是 的n个特征值.
三．例题讲解
例1.设A＝ ， 求一个正交矩阵 ，使 = 为对角阵.
作业布置
课后习题
大纲要求
理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。
教 学 基 本 内 容
一．特征值与特征向量的概念
1．设 是n阶方阵，如果存在数 和n维非零列向量x，使关系式 = 成立，那么，称 为方阵 的特征值，非零列向量 称为 的对应于特征值 的特征向量.
2．特征方程：称 ，即 = 为方阵A的特征方程.
例3．求解一阶线性常系数微分方程组
授课序号03
教 学 基 本 指 标
教学课题
第5章第3节实对称矩阵及其对角化
课的类型
复习、新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
实对称矩阵的特征值和特征向量的性质以及用相似变换化矩阵为对角矩阵的方法。
教学难点
用相似变换化矩阵为对角矩阵的方法。
3．特征多项式与特征矩阵： 是关于 的n次多项式，称为方阵 的特征多项式，记作 . 称为 的特征矩的特征值为 ，则
(1) ；
(2) .
2．矩阵的迹：设矩阵 ,称 为 的迹，记为tr .
3．矩阵 和 有相同的特征值.
4．设 是n阶可逆矩阵，则
(1) 的特征值都不为零；
教 学 基 本 内 容
一．相似矩阵的定义及性质
1．相似矩阵:设 ， 都是n阶方阵，若存在可逆矩阵 ，使 ，则称 是 的相似矩阵，或称矩阵 与 相似，记作 ~ .对 进行运算 称为对 进行相似变换，可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵.
2. 相似矩阵的性质：
(1)自反性：对任意方阵n阶方阵 ， 与 相似；
(2)若 是 的特征值，则 是 的特征值.
5．设 是关于 的多项式， 是n阶方阵，此时 ，若 是 的特征值，则 是 的特征值，此时 称为 的特征多项式.
6．定理：设 是n阶方阵 的m个特征值, 依次是与之对应的特征向量.如果 互不相等，则 线性无关.
三．例题讲解
例1．求A 的特征值和特征向量.
例2．求矩阵A 的特征值和特征向量.
(2)对称性：若 与 相似，则 与 相似；
(3)传递性：若 与 相似， 与 相似，则 与 相似.
(4)若 ~ ，则 ~ .
(5)若 ~ ，设 是一个多项式，则 ~ .
(6)若 ~ ，且A可逆，则B也可逆，且 ~ .
3.定理:若n阶方阵 与 相似，则 与 的特征多项式相同.
推论1.若 与 相似，则 与 的特征值相同；进而 与 的行列式相等.
推论2.n阶方阵 可对角化的充分必要条件是对应于 的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即设 是方阵 的 重根，则 与对角阵 相似，当且仅当
.
3． 的n个线性无关的特征向量 所构成的矩阵 ，恰好就是 到 的相似变换矩阵.
三．例题讲解
例1．设 与 相似，则 与 相似.
例2．已知 ，(1) 求可逆矩阵 , 使 为对角阵；(2) 计算 .
例3．求矩阵 的特征值和特征向量.
例4．设 是n阶方阵 的特征值, 证明： 的特征值.
例5．已知3阶方阵 的特征值为 ，1，2，求 .
例6．已知 为n阶方阵， 是A的两个不同的特征值， 是 的分别对应于 的特征向量，证明： 不是A的特征向量.
例7．设 分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平. 分别为该地区t年后的环境污染水平和经济发展水平，有关系式如下： ，试预测该地区t年后的环境污染水平和经济发展水平之间的关系.