例1. 设
A
1 5
62,
u
65,
v
3 2
.
判断 u,v是否是 A 的特征向量？
y Au
Av
解：容易验证
Au 4u, Av v
v
x
u
所以u是对应于特征值-4的特征向量。
v不是A的特征向量.(也可从图看出)
-7-
例2. 设 n 阶方阵 A 满足：A2 A, 求 A 的特征值.
解： 设是A的 特 征 值,是A属 于的特征向 量, A .
第一节
矩阵的特征值与特征向量
1.概念的引入 2.特征值与特征向量的求法 3.特征值与特征向量的性质 4.矩阵的对角化 5.小结 6.思考与练习 7.背景材料
第五章
介绍性实例——动力系统与斑点猫头鹰
1990年,在利用或滥用太平洋西北部大面积森林问 题上,北方的斑点猫头鹰称为一个争论的焦点。如果 采伐原始森林的行为得不到制止的话,猫头鹰将濒临 灭绝的危险。
0 1 1 x1 1 2 1 x2 0
1 1 0 x3
ห้องสมุดไป่ตู้同解方程组为
x2 x1
x3 x2
0 0
- 14 -
1
得基础解系为：2 1
1
即为 2 1 时的线性无关的特征向量。
同理得对应于 3 2 时的线性无关的特征向量为：
1
3 2 .
1
- 15 -
例4. 求矩阵
A
则称 为A 的特征值, 为A 的属于特征值 的特征向量。
特征值和特征向量的定义让人很惊讶，因为一 个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的 数λ，确实有点奇妙！
注意.特征向量 0.
特征值问题仅对方阵而言。
-5-
二阶方阵特征值的几何意义
把方程 Ax y 中的 x 看成输入变量, y 看成输出变量, 则这个矩阵方程就代表了一种线性变换.
A A2 A( ) 2 , (2 ) 0,
而 0, 2 0.
1,或 0.
-8-
注1. 可类似证明,
(1) 若 Ak 0(k为正整数), 则 A 的特征值只能是零。
(2) 若 A2 I , 则 A 的特征值只能是1或-1。
注2.
(1) 设 0 是 A的特征值, g(x) 为任一多项式, 则g(0 )
是 g( A) 的特征值。
(2) 设 0 是 A 的特征值, 0m(m为正整数) 必为 Am
的特征值。
(3)
设0 是
A的特征值,
且
A 非奇异,
则
1
0
为 A1
的特征值。
-9-
二、特征值、特征向量的求法
A , 0 (I A) 0, 0 (1) 即特征向量 是(I A)X 0 的非零解.
(2)求 A 的特征向量：
➢ 当 1 2时, (1I A)X 0,即
1 1 1 x1
1 3 1 x2 0
1
1
1
x3
- 13 -
同解方程组为
x1
x2 x3 2x2 0
0
得基础解系为
1
1 0.
1
即为 1 2 时的线性无关的特征向量.
➢ 当 2 1时, (2I A)X 0,即
-2-
一、特征值与特征向量的定义
1. 相似关系
定义: 设A, B C nn , 若P C nn , P 0, s.t. P 1 AP B
则称A与B相似, 记作 A ∽ B
性质:
(1) A ∽ A
(反身性)
(2) A ∽ B B ∽ A
(对称性)
(3) A ∽ B, B ∽ C A ∽ C (传递性)
1 1 1 r1r3 2
fA() I A 1 1
r2 r3
1 0
2
1 1 1 1 1 1
- 12 -
按第1列展开 2 2
1 1 2
(2 2) (4 2 2 )
3 2 4 4
( 1)( 2)( 2)
A的 特 征 值 为1 2, 2 1, 3 2.
1 1 1 A 2 4 2
3 3 5
的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。
解: (1)求 A 的特征值： A 的特征方程为
1 1 1
fA() I A 2 4 2 ( 2)2( 6) 0
3 3 5
- 16 -
A的特征值为1 2(二重), 2 6.
(2)求 A 的特征向量：
数学生态学家加快了对斑点猫头鹰种群的动力学研 究,并建立了种群模型形如 xk1 Axk 的差分方程。 这种方程被称为离散动力系统。描述系统随时间推移
变化。特征值与特征向量是剖析动力系统演变的关键.
虽然讨论的是离散动力系统,但特征值和特征向量出 现的背景要广泛的多,还被用来研究连续动力系统,为 工程设计提供关键知识.另外还出现在物理、化学等 领域。
特征值与特征向量的求法：
(1)从fA I A 0
(2)对每一个特征值 ,求出(I A)X 0的基础解系.
即对应于特征值 的线性无关的特征向量.
- 11 -
例3.求矩阵
1 A 1
1 1
1 1
1 1
1
的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。
解: (1)求 A 的特征值： A 的特征方程为
I A 0
定义. 设A C nn ,
a11 a12
0 I A a21 a22
a1n
a2n (2)
an1 an2 ann
f () I A 是的n次多项式,称为A的特征多项式.
- 10 -
称 fA() I A 0 为A的特征方程, 其根为A的
特征值.
二阶矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向量 的方向上的放大量。
例如,
A
1 0
0
1 特征值为 1 1, 2 1.
对应的特征向量为
1
1 0
,
2
10 .
由 A1 1, A2 2 .
知横轴方向部分变换到负方向,纵轴方向尺度不变。
-6-
易证给定的向量是否是矩阵的特征向量,也易证判
断给出的数是否是特征值。
-3-
引入. 假设 A ∽ diag(1, , n ) 即存在可逆矩阵 P ，使得：
1
A P
P 1
AP
1
P
n
n
P (1 , ,n )
按列分块
A(1 ,
,n ) (11,
, nn )
Ai ii (i 1,2, , n.)
且1 ,
,
线
n
性
无
关
。
定义. 设 A C nn , 0, 若存在 C, s.t.
➢ 当 1 2时, (2I A)X 0,即
1 1 1 x1
2 2 2 x2 0