r F T
r mg
C
A
α
r aC
x
第十二章 动量矩定理
例12-14 12-
重物A质量为 系在绳子上， 重物 质量为m ，系在绳子上，绳子跨过不 质量为 计质量的固定滑轮D，并绕在鼓轮B上 如图所示。 计质量的固定滑轮 ，并绕在鼓轮 上，如图所示。由于 重物下降，带动了轮C，使它沿水平轨道只滚不滑。 重物下降，带动了轮 ，使它沿水平轨道只滚不滑。设鼓 轮半径为r， 的半径为R，两者固连在一起， 轮半径为 ，轮C的半径为 ，两者固连在一起，总质量为 的半径为 m2，对于其水平轴 的回转半径为 ρ 。 对于其水平轴O的回转半径为
求：下降高度h时，质心的速度、加速度以及绳索的拉力。 下降高度 时 质心的速度、加速度以及绳索的拉力。
B h C A
§12-6 刚体的平面运动微分方程 解： 以圆柱体为研究对象。 以圆柱体为研究对象。
r r 受力分析： g 受力分析：m , F T 运动分析： r 运动分析： a , α C
列写平面运动微分方程， 列写平面运动微分方程，
列写平面运动微分方程， 列写平面运动微分方程，
( e)
r mg 1
r aA
r F T2
α
C B r
m Cx =ΣF , m aO = F − F ② a x 2 T2 s r r( e) F m ρ2 ⋅α = F ⋅ R+ F ⋅ r ③ N JOα =ΣMO(F ), 2 s T2 a T1 T2 s 未知量： 未知量： O, F , F , F ,α, aA ：6个，方程 个， 个 方程3个
( e)
h B
r F T
r mg
C
A
m Cx =ΣF , m C = mg − F ① a a x T r( e) 1 JCα =ΣMC(F ), mR2 ⋅α = F ⋅ R ② T
补充方程： vC = R ⇒aC = R ③ 补充方程： ω α 解得： 解得： aC = 2 g, F = 1 m g T 3 3
第十二章 动量矩定理
第十二章 动量矩定理
(之三) 之三)
§12-5 刚体平面运动微分方程 12-
第十二章 动量矩定理 1. 质点系相对于质心的动量矩定理
r r r r( e) r d( JC ⋅ ω) dL C JC ⋅ α = = = ∑MC (F ) i dt dt
2. 刚体的平面运动微分方程
M r
2 C 2
m ρ +r
r
) +ρ ) , F =m , a
2 2 C C
,
F =m g N
纯滚动的条件： 纯滚动的条件： F ≤ fs F N
2 r2 + ρC M ≤ fsm g r
§12-6 刚体的平面运动微分方程
例12-12 12均质圆轮的质量为m，半径为 ，沿水平面只滚不滑， 均质圆轮的质量为 ，半径为R，沿水平面只滚不滑，如 r 在圆轮面内作用一水平力 F 。 问：力作用于什么位置能使地面的摩擦力等于零？ 力作用于什么位置能使地面的摩擦力等于零？ r 同向？反向？ 什么情况下地面摩擦力能与力 F 同向？反向？
r (e) JCα = ∑MC (F ) i r (e) r m C = ∑F a i
或
2r r ( e) dr C i m 2 = ∑F dt r (e) d2ϕ J = ∑MC (F ) C i 2 dt
§12-6 刚体的平面运动微分方程
应用时一般用投影式： 应用时一般用投影式：
C
r F
P
§12-6 刚体的平面运动微分方程
r r 作用线到质心的距离为y， 同向。 假定 作用线到质心的距离为 ，摩擦力与 F 同向。 解： F 受力分析和运动分析如图所示。 受力分析和运动分析如图所示。 y
列写平面运动微分方程， 列写平面运动微分方程，
m Cx =ΣF , a x
( e)
m C = F +F a s r( e) JCα =ΣMC (F ),
§12-6 刚体的平面运动微分方程
例12-11 12-
半径为r，质量为m 的均质圆轮沿水平直线 半径为 ，质量为 滚动， 滚动，如图所示。设轮的惯性半径为 ρC，作用于轮的力 偶矩为M。 轮心的加速度。 偶矩为 。求: 轮心的加速度。 如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f，问力偶 必须 如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为 ，问力偶M必须 符合什么条件不致使圆轮滑动? 符合什么条件不致使圆轮滑动
m Cx = ∑F( e) a x ( e) a m Cy = ∑F y r( e) JCα = ∑MC (F ) i
m C = ∑F( e) at t ( e) n a m C = ∑F n r (e) JCα = ∑MC (F ) i
—— 刚体平面运动微分方程
α
r aC
x
2
§12-6 刚体的平面运动微分方程 解：
2 1 aC = g, F = m g T 3 3
h B
vC = ?
dvC dvC ds aC = = dt dt ds dt dvC 2 = vC = g ds 3 vC 2 h ∴ ∫ vCdvC = g∫ ds 0 3 0
2 ∴ vC = 3gh 3
补充方程： 补充方程：
①
y
C
1 2 m ⋅α = F ⋅ y − F ⋅ R R s 2
③
②
r F r x aC r mg r F s r F N
α
aC = R α
解得： 解得： F = 2Fy − FR s
3R
§12-6 刚体的平面运动微分方程 [讨论] 讨论]
2Fy − FR F= s 3R R （1）当 y = 时， ） 2 摩擦力 F = 0 。 s R （2）当 y > 时， F > 0, ） s 2 r r 摩擦力 F 与 F同向 。 s
C
的加速度。 求：重物A的加速度。 重物 的加速度
B r O R
D
A
第十二章 动量矩定理
重物 解： (1) 重物A:
maA = mg − F ① 1 1 T1
A
r F T1
(2) BC固连体 固连体: 固连体
r r r r 受力分析： 受力分析： 2 g, F , F , F m T2 s N r 运动分析： 运动分析：aO, α
个补充方程。 故需3个补充方程。 个补充方程
rO mg 2
R
r aO
r F s
第十二章 动量矩定理
补充方程 ： 只滚不滑 解：补充方程1：轮C只滚不滑 补充方程2： 补充方程 ：
⇒aO = R ④ α
r mg 1
C
r F T1
A
绳： A = aB = at (轮B ) = ( R+r) α ⑤ a BP 补充方程3： 忽略轮D的质量 补充方程 ： 忽略轮 的质量 解得： 解得：
y
y
C
r F r x aC r mg r F s r F N
α
r r R （3）当 y < 时， s < 0, 摩擦力 F 与 F反向 。 ） F s 2
§12-6 刚体的平面运动微分方程
例12-13 12-
如图所示，均质圆柱体的半径为 ， 如图所示，均质圆柱体的半径为R，质量 在其中部绕有细绳；绳的上端B固定不动 固定不动， 为m ，在其中部绕有细绳；绳的上端 固定不动，当 AB铅垂时将圆柱体由静止释放。 铅垂时将圆柱体由静止释放。 铅垂时将圆柱体由静止释放
M
解：
e m Cy =ΣF( ) , 0 = F −mg a N y r (e) 2 JCα =ΣMC (F ), mρCα = M − Fr i
Hale Waihona Puke m Cx =ΣF( ) , a x
e
m C =F a
其中， 其中， aC = rα 解得： 解得：
aC =
( F( r M=
即
r aA
r F T2
⇒F = F ⑥ T1 T2
aA = m ( R+ r) + m ( ρ2 + R2 ) 1 2
2
B r
mg ( R+ r) 1
2
rO mg 2
P
R
r aO
r F s
D
请同学们思考： 请同学们思考：
A
r F N
若固定滑轮D的质量不可忽略，那么 若固定滑轮 的质量不可忽略，那么D 的质量不可忽略 两端绳索的拉力是否相等？如何求？ 两端绳索的拉力是否相等？如何求？
第十二章 动量矩定理
作 业
P:161 习题 12 — 9，10, 13 ，