(d)
分析杆 AB ，列写 AB 的运动微分方程，如图（c）
m2 &x&C = − X A
(e)
m2 &y&C = −YA − m2 g
(f)
1 12
m2l 2ϕ&&
=
X
A
l 2
cosϕ
+ YA
l 2
sin ϕ
(g)
运动学方程
xC
=
xA
+
l 2
sin
ϕ
,
x&C
=
x& A
+
l ϕ& cosϕ 2
yC
=
−
l cosϕ , 2
y& C
=
l ϕ& sinϕ 2
&x&C
=
&x&A
−
l ϕ& 2 2
sin ϕ
+
l ϕ&& cosϕ 2
(h)
&y&C
=
l ϕ&& sin ϕ 2
+
l ϕ& 2 2
cos ϕ
(i)
上述 9 个方程包含 &x&A ,ε , &x&C , &y&C ,ϕ&&, X A ,YA , F, N 等 9 个未知量，由上述 9 个方程消去
解：系统具有两个自由度，选图示 AB 与铅垂线的夹角ϕ 及圆轮中心 A 的位移 xA 为广
义坐标。
分析圆轮 A ，受力图如图（b）所示。列写圆轮 A 的运动微分方程：
m1&x&A = X A − F
(a)
0 = YA + N − m1g
(b)
1 2
m1 R 2ε
=
FR
(c)
运动学方程
&x&A = Rε
t = 0 ， x = x0 ， x& = x&0
系统的主动力图如图所示。
图 4-2 振动问题
在有限路程中主动力的功为
∑ [ ] Wx0−x
=
−mg ( x0
−
x) +
1k 2
(2 x0
+ λs )2
− (2x + λs )2
由动能定理的积分形式
72
∑ T − T0 = Wx0 −x
T0 为初始位置系统的动能。
4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程
4.2.1 虚位移原理
在力学中遇到的第一个变分原理是虚位移原理。它是处理力学系统平衡问题的最基本原 理，也是分析力学的基础。
虚位移是指满足固定在某一时刻的约束条件的、假象的、任意的、无限小位移。对可变 形系统，虚位移必须满足变形连续条件。即一个系统的虚位移就是这个系统的广义坐标的变 分。
假设一个系统的广义坐标是（ q1, q2 ,L, qλ ），其间存在非定恒的完整约束
φk (t; q1 , q2 ,L, qλ ) = 0
(k = 1, 2, L, m)
若给系统的位形一虚位移δq，那么，根据定义，虚位移必定在约束面上，即
(4-6)
φk (t, q1 + δq1 , q2 + δq2 ,L, qλ + δqλ ) = 0 将式（4-7）按泰勒级数展开，得到
d2r m
=
ΣF
dt 2
(4-1)
（2）直角坐标形式
m
d2x dt 2
=
ΣFx ,
m
d2 y dt 2
=
ΣFy ,
m
d2z dt 2
=
⎫ ΣFz ⎬
⎭
(4-2)
上式是将式（4-1）投影到直角坐标系的各轴上得到的。
（3）自然轴系形式
m dv dt
=
∑
Fτ
,
m
v2 ρ
=
∑
Fn
,
0
=
∑
Fb
⎫ ⎬
⎭
(4-3)
4.1.2 质点系动能定理的微分形式
设质点系由 n 个质点组成，其在理想约束的条件下，质点系动能的微分等于作用在质点 系的主动力的元功之和。有
dT = Σ δWF
(4-4)
其中， δWiF 表示作用在质点系上主动力的元功， dT 表示质点系动能的微分。
70
4.1.3 刚体平面运动微分方程
刚体的平面运动可简化为具有相同质量的平面图形在固定平面内的运动。应用质心运动
例 4-1 均质鼓轮重 P1 ，半径为 R ，对转动轴的回转半径为 ρ ，在半径为 r 的轴颈上绕 一不可伸长的细绳，绳端系一重为 P2 的重物。可变形的细绳简化为一弹性刚度系数为 k 的
弹簧绕于轮缘上，如图 4-1(a)所示。试写系统运动微分方程。
图 4-1 振动系统
解：以鼓轮及重物组成的系统为分析对象。 系统具有一个自由度，选鼓轮转角ϕ 为广义坐标，顺时针为正，零点位于弹簧静变形 处，即在静平衡位置满足 kR 2ϕ s = P2r 当ϕ 取任意值时系统的受力图如图 4-1（a）所示。由质系对固定点的动量矩定理建立
若以鼓轮为分析对象，鼓轮的受力图如图（b）所示，此时鼓轮与重物间细绳的拉力变 为外力。列写鼓轮作定轴转动的微分方程
P1 ρ 2ϕ&& = Tr − FR
(b)
g
F = kR(ϕs + ϕ )
(c)
方程中包括未知拉力 T ，欲消去 T 还必须分析重物，重物的运动方程为
P2 g
rϕ&&
=
P2
−
T
（注意： T ≠ P2 ）
(k = 1, 2, L, m)
展开式（5-10），略去高次项后，得到实位移应满足的条件为
(4-10)
dφ k
=
∂φ k ∂q1
dq1
+
∂φ k ∂q 2
dq 2
+L +
∂φ k ∂qλ
dqλ
+
∂φ k ∂t
dt
=0
(k = 1, 2, L, m)
(4-11)
从式（4-9）与式（4-11）中可以看出，满足式（4-11）的 dq 不可能满足条件式（4-9）， 也就是说，在这种情况下，系统的实位移与虚位移是不同的。
cosϕ
(k)
+
1 2
m2lϕ&
2
sin ϕ
cosϕ
+
m2 g sinϕ
=
0
将(j)式代入(k)式，化简后得
2 3
lϕ&&
+
&x&A
cosϕ
+
g
sin ϕ
=
0
(l)
式(j)(l)为系统的运动微分方程。
要点及讨论 运用平面运动微分方程求解刚体动力学问题时，需分别分析每个刚体的运动与受力，列
写每个刚体的运动微分方程及补充的运动学方程。未知量的数目应与方程的数目相等。联立 求解所列写的方程，即可得到所要求的结果。
约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力
在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即
n
∑ Qiδqi = ∑δ WF = 0
i =1
系统的运动微分方程。
解：系统具有一个自由度，建立广义坐标 x ，坐标原点位
于弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平衡位置，坐标正方向如图
中所示。 x 取任意值时，系统的动能为
T
=
1 2
mvC2
+
1 2
JCω 2
=
1 2
mx& 2
+
1 2
⋅
1 2
mR 2
x& 2 R2
故
T = 1 ⋅ 3 mx& 2 22
设初始条件为
=
1 2
k(2x0
+
λs )2
−
mg ( x0
+
λs )
V
=
1 2
k(2x
+
λs )2
− mg(x
+ λs )
方程为
1 2
⋅
3 2
mx& 2
+
1 2
k(2x
+
λs )2
−
mg ( x
+
λs
)
=
T0
+
1 2
k (2 x0
+
λs
)2
−
mg ( x0
+
λs )
整理后与方程(a)相同。
若选静平衡位置处为势能零点，则方程为
[ ] 1
2
⋅
3 2
mx& 2
− T0
=
−mg ( x0
−
x) +
1k 2
(2 x0
+ λs )2
− (2x
+ λs )2
(a)
两边对时间 t 求导数
3 2
mx&&x&
=
mgx&
−
2k
(2x
+
λs
)
x&
注意到在静平衡位置满足
所以微分方程为
mg = 2kλs
3 m&x& + 4kx = 0
(b)
2
要点及讨论
(4-8)
δφ k