2018-2019学年四川省蓉城名校联盟高二下学期期中联考数学（理）试题一、单选题1．()223i -=（ ） A ．1312i + B ．1312i -C ．512i -+D ．512i --【答案】D【解析】根据复数的乘法运算法则计算可得结果. 【详解】()22234129512i i i i -=-+=--.故选：D . 【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.2．已知命题p 为x R ∀∈，25220x x -+≥，则命题p 的否定为（ ） A ．x R ∀∈，25220x x -+< B ．x R ∀∈，25220x x -+≤ C ．x R ∃∈，25220x x -+< D ．x R ∃∈，25220x x -+≤【答案】C【解析】根据含全称量词命题的否定的定义可直接得到结果. 【详解】由含全称量词的否定的定义可得命题p 的否定为：x R ∃∈，25220x x -+<. 故选：C . 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.3．曲线2y x =与x 轴及直线2x =所围成的图形的面积为（ ）A ．83B ．43C ．34D ．12【答案】A【解析】根据定积分的几何意义将所围图形面积转化为定积分求解. 【详解】依题意所围图形面积为22321833x dx x==⎰故选：A【点睛】本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积，属于基础题.4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A．5B．10C．13D．32【答案】C【解析】根据三视图知几何体为三棱锥，勾股定理求出最长棱长.【详解】根据三视图知几何体为三棱锥，其中1,3,3AC BC DC===，且,,AC BC BC CD DC CA⊥⊥⊥，该几何体的最长棱长为222313BD=+=故选：C【点睛】本题考查根据三视图还原几何体，属于基础题.5．函数()222cos sinf x x x=+的最小正周期为（）A．2πB．πC．32πD．2π【答案】B【解析】利用同角三角函数的平方关系及降幂公式化简函数解析式，ω的值代入周期计算公式即可得解。

【详解】因为()213cos 1cos 222f x x x =+=+，所以()f x 的最小正周期为22ππ=. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系及降幂公式，余弦型函数的周期性，属于基础题. 6．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，下列说法正确的是（ ）A ．1x =-是函数()y f x =的极小值点B ．1x =是函数()y f x =的极大值点C ．函数()y f x =在()1,+∞上是减函数D ．函数()y f x =在()2,2-上是增函数 【答案】D【解析】根据导函数的符号可确定()f x 的单调性，结合极值点的定义可确定正确结果. 【详解】由图象可知，当()2,2x ∈-时，()0f x '≥；当()2,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴在()2,2-上单调递增，在()2,+∞上单调递减，可知C 错误，D 正确； 1x ∴=-和1x =不是函数的极值点，可知,A B 错误.故选：D . 【点睛】本题考查根据导函数图象与原函数之间的关系，涉及到极值点的定义的应用，属于基础题.7．已知直线a 、b ，平面α、β，则以下结论正确的是（ ）A ．若//a b ，b α⊂，则//a αB ．若//a b ，a α⊂，b β⊂，则//αβC ．若a α⊂，b α⊂，//a β，b β//，则//αβD ．若a b ⊥r r，b α⊥，a α⊄，则//a α【答案】D【解析】根据线面平行、面面平行的判定定理排除A 、B 、C 即可确定答案. 【详解】A 选项，若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂；B 选项，若//a b ，a α⊂，b β⊂，则//αβ或,αβ相交；C 选项，若a α⊂，b α⊂，//a β，b β//，加上条件a 、b 相交可推出//αβ；D 选项正确.故选：D 【点睛】本题考查空间中点线面之间的位置关系，线面平行、面面平行的判定定理，属于基础题. 8．执行如图程序框图，则输出的s 为（ ）A ．100B ．91C ．90D ．89【答案】B【解析】按照程序框图运行程序，直到不满足4i <时，输出结果即可. 【详解】按照程序框图运行程序，输入：1i =，100=k ，0s =，满足4i <，循环；0100100s =+=，1001010k =-=-，2i =，满足4i <，循环；1001090s =-=，10110k -=-=，3i =，满足4i <，循环； 90191s =+=，110k =-，4i =，不满足4i <，输出91s =. 故选：B . 【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果的问题，属于基础题. 9．若不等式1363t x x≤+-，当()0,2x ∈时恒成立，则实数t 的最大值为（ ） A ．43B ．2C ．83 D ．103【答案】C 【解析】令()1363f x x x=+-，利用导数可求得()f x 在()0,2上的最小值，得到()min t f x ≤，从而得到结果.【详解】 令()()()21318918802636336x x xf x x x x x x x x+--=+==<<---+， ()()()()()()()()222222222836188661229924108108363636x x x x x x x x f x x x x x x x --+---+--+-+-'∴===-+-+-+()()()221223336x x x x ---=-+，∴当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当3,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x ∴在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()min 318292362f x f ⎛⎫∴==+=⎪⎝⎭-， ()t f x ≤Q 对()0,2x ∈恒成立，()min 83t f x ∴≤=，即t 的最大值为83.故选：C . 【点睛】本题考查恒成立问题的求解，关键是能够将恒成立问题转化为函数最值的求解问题，通过导数求得函数最值，从而得到参数范围. 10．已知函数()1ln f x x a x x=-+存在极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()2,+∞B ．(),2-∞-C ．[)2,+∞D ．(][),22,-∞-+∞U【答案】A【解析】求出函数的定义域及导数，函数()f x 存在极值点则方程210x ax -+=在(0,)+∞上有解，分类讨论函数单调性从而确定极值点.【详解】()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-， 对于一元二次方程210x ax -+=，24a =-△，函数()f x 存在极值点则方程210x ax -+=在(0,)+∞上有解，240a =-≥⇒V 2a ≥或2a ≤-，方程的根为2a x ±=， ①当2a =时，()0f x '≤恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递减且无极值点；②当2a >时，在02a x <<及x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，则函数有2个极值点；③当2a ≤-时，0x =<，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减且无极值点. 综上所述，2a >. 故选：A 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值点，属于中档题.11．设函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()'f x ，且()2f ，()()32'10f x f x >，则()237105x f x <⎤⎦+⎡⎣的解集为（ ） A ．()2,+∞ B ．(),2-∞ C ．()2,-+∞ D ．(),2-∞-【答案】B【解析】构造新函数()237105()x F x f x =-⎡⎤⎣⎦-，求出函数导数利用所给不等式确定()F x '符号从而确定函数()F x 的单调性，结合(2)0F =即可解不等式()0F x <即()237105x f x <⎤⎦+⎡⎣. 【详解】令()237105()x F x f x =-⎡⎤⎣⎦-，则()()3()210F x f x f x ''=-， 因为()()3210f x f x '>，所以()0F x '>，函数()F x 在R 上单调递增，且237(2)[(2)]055F f =--=，所以不等式()0F x <即()237105x f x <⎤⎦+⎡⎣的解集为(),2-∞. 故选：B 【点睛】本题考查利用函数单调性解不等式，复合函数求导，构造新函数是解题关键，属于中档题.12．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，E 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF 、BF ，若AF BF ⊥，5sin 13FAB ∠=，则E 的离心率e 为（ ） A ．1316B ．1317C ．1318 D ．1319【答案】B【解析】设椭圆右焦点为F '，可证得四边形AFBF '为矩形，从而得到2FF AB c '==；利用椭圆定义和直角三角形边长关系可求得17213AB a =，从而构造出关于,a c 的齐次方程，从而求得离心率. 【详解】设椭圆右焦点为F '，连接,AF BF ''.O Q 为,AB FF '中点，∴四边形AFBF '为平行四边形，又AF BF ⊥，∴四边形AFBF '为矩形，2FF AB c '∴==.5sin 13FAB ∠=Q ，513BF AB ∴=，则1213AF AB =，1213BF AF AB '∴==， 17213BF BF AB a '∴+==，即34213c a =，1317c e a ∴==.故选：B . 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够结合椭圆的对称性和定义构造出关于,a c 的齐次方程，进而配凑出离心率的形式.二、填空题13．函数xy e -=的导数'y =______. 【答案】x e --【解析】直接利用复合函数求导法则求导即可. 【详解】x y e -'=-【点睛】本题考查复合函数的导数，属于基础题.14．某校有高一、高二、高三三个年级的学生，数量分别为780人、720人、660人，为了解他们的视力是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从高二年级抽取了12人，则n 为______. 【答案】36【解析】根据高二年级人数和总人数可计算得到抽样比，利用抽样比可求得样本容量. 【详解】由题意得：高二年级抽样比为72017807206603=++，123613n ∴==.故答案为：36. 【点睛】本题考查分层抽样中样本容量、抽样比的计算，属于基础题.15．在区间[]0,1上随机取一个数x ，在区间[]0,2上随机取一个数y ，使1x y +≤成立的概率为______.【答案】14【解析】在平面直角坐标系中画出(),x y 构成的平面区域以及满足1x y +≤的点构成的区域，根据几何概型概率公式可求得结果. 【详解】由题意得：(),x y 构成的平面区域为如下图所示的矩形，则满足1x y +≤的所有点所构成的区域为图中的阴影部分：∴使1x y +≤成立的概率11112124P ⨯⨯==⨯. 故答案为：14.【点睛】本题考查几何概型中的面积型问题的求解，属于基础题.16．已知抛物线1C ：224y x x =+和2C ：22y x m =-+有且仅有一条公切线（同时与1C 和2C 相切的直线称为1C 和2C 的公切线），则m =______.【答案】1-【解析】设公切线与两曲线相切于()00,x y ，利用导数的几何意义可构造方程求得0x ，进而可利用220000242y x x x m =+=-+求得结果.【详解】由224y x x =+得：44y x '=+；由22y x m =-+得：4y x '=-.设公切线与两曲线相切的切点为()00,x y ，则00444x x +=-，解得：012x =-， 220000242y x x x m ∴=+=-+，即20044121m x x =+=-=-.故答案为：1-.【点睛】本题考查利用曲线的公切线求解参数值的问题，关键是能够根据导数的几何意义，得到斜率的等量关系.三、解答题17．已知函数3()32f x x ax =-+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为30x y m ++=.（Ⅰ）求实数a ，m 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[1,2]上的最值.【答案】（Ⅰ）最大值为2-，最小值为2-（Ⅱ）最大值为2-，最小值为2-【解析】（Ⅰ）切点(1,)y 在函数3()32f x x ax =-+上，也在切线方程为30x y m ++=上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线()y f x =在1x =的导数，得到另外一个式子，联立可求实数a ，m 的值；（Ⅱ）函数()f x 在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值. 【详解】解：（Ⅰ）2()33f x x a '=-，∵曲线3()32f x x ax =-+在1x =处的切线方程为30x y m ++=，∴(1)333(1)333f a f a m=-=-⎧⎨=-=--'⎩解得2a =，0m =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，3()62f x x x =-+，则2()36f x x '=-，令()0f x '=，解得x =∴()f x 在上单调递减，在上单调递增，又(1)1623f =-+=-，3(2)26222f =-⨯+=-，3622f=-=-∴()f x 在区间[1,2]上的最大值为2-，最小值为2-【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.18．某家庭为了解冬季用电量y （度）与气温()x C ︒之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表，经过统计分析，发现气温在一定范围内时，用电量与气温具有线性相关关系：（1）求出用电量y 关于气温x 的线性回归方程；（2）在这5天中随机抽取两天，求至少有一天用电量低于10（度）的概率.（附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式为()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑$，a y bx =-$$）【答案】（1） 1.714.4y x =-+ （2）710【解析】（1）根据表中数据计算得到最小二乘法所需数据，根据最小二乘法计算可得结果；（2）采用列举法得到所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】（1）由表格数据知：0123425x ++++==，151********y ++++==， ()()()()()()10215114281117ni i i x x y y =--=--+⋅⋅⋅+--=-∑Q ，()()()()2222102124210ni i x x =-=-+-+⋅⋅⋅+-=∑，()()()12117 1.710niii ni i x x y y bx x ==--∴=--==-∑∑$，$()11 1.7214.4ay bx =--⨯==-$. ∴用电量y 关于气温x 的线性回归方程为 1.714.4y x =-+.（2）假设事件A 为随机从5天中抽取2天，至少有一天用电量低于10度，从这5天中随机抽取2天，总共有()15,12，()15,11，()15,9，()15,8，()12,11，()12,9，()12,8，()11,9，()11,8，()9,8，10种抽取方法；用电量至少有1天低于10度的情况有()15,9，()15,8，()12,9，()12,8，()11,9，()11,8，()9,8，共7种情况；()710P A ∴=. ∴在这5天中随机抽取两天，至少有一天用电量低于10度的概率为710. 【点睛】本题考查利用最小二乘法求解线性回归直线、古典概型概率问题的求解；对于基本事件个数较少的古典概型问题，通常采用列举法来进行求解.19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos b c A a C -=. （1）求A ∠的大小；（2）若2a =，且ABC S ∆，求b c +的值. 【答案】（1）3A π=（2）4b c +=【解析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可求得cos A ，进而得到结果； （2）利用三角形面积公式可构造方程求得bc ，代入余弦定理中，构造出关于b c +的方程，解方程求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos B C A A C -=， 即()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A A C A C A C B =+=+=，()0,B π∈Q ，sin 0B ∴≠，1cos 2A ∴=. ()0,A π∈Q ，3A π∴=.（2）11sin sin 223ABC S bc A bc π∆===Q 4bc ∴=，由余弦定理得：2222214cos 228b c a b c A bc +-+-===， ()()2222288b c b c bc b c ∴+=+-=+-=，解得：4b c +=.【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，已知PD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点，2PD CD ==，过点E 作EF PB ⊥于F ，连接DF ，BD ，DE .（1）求证：平面DEF ⊥平面PBC ；（2）若直线BP 与平面ABCD 5，求平面DEF 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （26【解析】（1）证明BC ⊥平面PCD 推出BC DE ⊥，再证明DE ⊥平面PBC 推出DE PB ⊥，然后证明PB ⊥平面DEF 从而由线面垂直推出面面垂直；（2）利用线面角的正切值求出AD ，以D 为坐标中心建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，代入公式cos ,PD BP PD BP DP BP⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 即可得解. 【详解】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD BC ⊥，又∵DC BC ⊥，DC PD D ⋂=，DC ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， ∴BC ⊥平面PCD ，∴BC DE ⊥， 又∵PD CD =，∴DE PC ⊥，DE BC DE PC BC PC C ⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩Q ，∴DE ⊥平面PBC ，∴DE PB ⊥， 又∵DE PB EF PB DE EF E ⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩，∴PB ⊥平面DEF ，又∵PB ⊆平面PBC ，∴平面DEF ⊥平面PBC .（2）∵DP ⊥平面ABCD ，∴BP 与平面ABCD 所成角为PBD ∠， ∴5tan 5DP PBD BD ∠==，假设AD a=，∴24 BD a=+，∴22554DPBD a==+，∴4a=，以D为坐标中心建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，()4,0,0A，()4,2,0B，()0,0,0D，()0,2,0C，()002P,,，()0,1,1E，由（1）可知PB⊥平面DEF，∴BPu u u r为平面DEF的法向量，又∵PD⊥平面ABCD，∴PDu u u r为平面ABCD的法向量，∵()0,0,2PD=-u u u r，()4,2,2BP=--u u u r，∴cos,PD BPPD BPDP BP⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r()()()()()222040222662422⨯-+⨯-+-⨯==-⨯-+-+.∴平面DEF与平面ABCD所成角的余弦值为66.【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题. 21．在椭圆C：()222210x ya ba b+=>>中，点A，F分别为椭圆的左顶点和右焦点，若已知离心率12e=，且A在直线20x y++=上.（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线与椭圆C交于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线4x=于点M ，N ，求证：以MN 为直径的圆经过定点F .【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】（1）根据A 点坐标、离心率和椭圆,,a b c 关系可求得,,a b c ，进而得到椭圆方程；（2）设:1PQ x my =+，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式；分别利用12,y y 表示出,M N 的坐标，从而得到,FM FN u u u u r u u u r ；根据平面向量数量积运算可得0FM FN ⋅=u u u u r u u u r，得到FM FN ⊥，从而证得结论. 【详解】（1）Q 椭圆C 的左顶点A 在直线20x y ++=上且A 位于x 轴上，()2,0A ∴-，2a ∴=.12c e a ==Q ，1c ∴=，2223b a c ∴=-=， ∴椭圆C 的方程为：22143x y +=.（2）由（1）知：()1,0F ， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，PQ ∵过点F ，∴可设PQ 的直线方程为：1x my =+，联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2234690m y my ++-=，122634m y y m -∴+=+，122934y y m -⋅=+. 设直线AP 的方程为()1122y y x x =++， 1164,2y M x ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭，即1164,3y M my ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可得：2264,3y N my ⎛⎫⎪+⎝⎭， 1163,3y FM my ⎛⎫= ⎪+∴⎝⎭u u u u r ，2263,3y FN my ⎛⎫= ⎪+⎝⎭u u u r ， 从而()()121236933y y FM FN my my ⋅=+++u u u u r u u u r()122121236939y y m y y m y y =++++222293634999096393434m m m m m m -⨯+=+=-=--⨯+⋅+++. FM FN ∴⊥，即点F 在以MN 为直径的圆上.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、定点定值问题的求解；本题证明的关键是能够根据圆的性质将问题转化为证明两向量垂直的问题，进而根据平面向量数量积求得结果.22．若函数()()()211ln 1122a x x a f x x ++-+-=. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥在()1,-+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求证：对任意的正整数n 都有，11111ln 2ln 3ln 4ln n n n-+++⋅⋅⋅+>. 【答案】（1）答案不唯一，见解析 （2）12a ≤- （3）证明见解析【解析】（1）求出导数，令()0f x '>即()10x x a +->，分类讨论不等式的解集确定导数的符号从而确定函数的单调性；（2）由题意知()1002f a =--≥则12a ≤-，由（1）确定函数单调性从而求出函数()f x 在()1,-+∞上的最小值，根据不等式恒成立的条件即可求出a 的范围；（3）取12a =-由（2）可推出()2ln 1x x x +≤+成立，取1x x =-得2ln x x x ≤-，取2x =时，得111ln 22>-，取3x =，得111ln 323>-，…，取xn =，得111ln 1n n n>--，累加即得所需证明的不等式. 【详解】（1）∵()()()211ln 1122a x x a f x x ++-+-=， ∴()()()211111x a x x x a ax a x f x x x +-+-=+-=+'=++， 令()0f x '>即()10x x a +->，方程()10x x a +-=的根为0，1a -,①当10a -=即1a =时，()f x 在(1,0)-，(0,)+∞上单调递增；②当10a ->即1a >时，()f x 在()1,0-和()1,a -+∞上单调递增，在()0,1a -上单调递减；③当110a -<-<即01a <<时，()f x 在()1,1a --和()0,∞+上单调递增，在()1,0a -上单调递减；④当11a -=-即0a =时，()f x x '=，()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；⑤当11a -<-即0a <时，()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增； 综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增； 当01a <<时，()f x 在()1,1a --和()0,∞+上单调递增，在()1,0a -上单调递减； 当1a =时，()f x 在(1,0)-，(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在()1,0-和()1,a -+∞上单调递增，在()0,1a -上单调递减； （2）∵()0f x ≥在()1,-+∞上恒成立，∴()1002f a =--≥，∴12a ≤-，由（1）知，当0a ≤时，函数()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增； ∴()()min 1002f x f a ==--≥，∴12a ≤-；（3）取12a =-，∴()()2111ln 10222x x x f x =-+++≥⇒()2ln 1x x x +≤+， 取1x x =-，可得2ln x x x ≤-，当1x >时，∵ln 0x >，20x x ->，∴()211111ln 11x x x x x x x>==----， 取2x =时，得111ln 22>-； 取3x =，得111ln 323>-； …取xn =，得111ln 1n n n>--； 将这n 个式子相加，得11111ln 2ln 3ln 4ln n n n-+++⋅⋅⋅+>. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，利用导数证明不等式恒成立，裂项相消法，属于难题.。