D
P
F
E
B
C A
F E D
C
B A K 模型图与全等
知识点 基本图形
本题8分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，
过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． （1）求证：AD ⊥CF ；
（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．
22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF.
【例8】
【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，
交AB 于D ； 连FD. 求证：AD ＝2BD ；
【例3】已知△ABC 中,∠C=90 ,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、
F 为垂足, 求证:△DEF 是等腰直角三角形.
H A B D
C
E F
F
E
D C B
A
H F E
D C B A
【例4】如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点C ，分别以AC 、BC 为斜边在AB
同侧作等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形。
【例5】如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 向外作等腰Rt △ABD ，等腰Rt △ACE ；连接DE 。
AF 是△ABC 的中线，
FA 的延长线交DE 于点H ，求证：DE ＝2AF
【例6】如图，在正方形ABCD 中，点N 是BC 边上的点。
连接AN ，MN ⊥AN 交∠DCB 的外角平分线于点M 。
求证：AN ＝MN
9、如图，直线AB 交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点
B （0， b ），且a 、b 满足4 a + |4－b |=0
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，交AB 于E ，
求证∠BDO =∠EDA ；
（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △PBM ，
A B
O D E
F
y x
其中PB =PM ，直线MA 交y 轴于点Q ，当点P 在x 轴上运动时，线段OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ 的取值范围.
10
A
B
O M
P
Q
x
y
E
D
C
B A
O
x
y
D
C
B A
O
x
y P
24．（12分）如图，COD 等腰直角三角形，CA ⊥x 轴。
⑴若点C 的坐标是（—2，—4），求D 点的坐标。
（4分） ⑵连结CD ，点E 为CD 的中点，求证：AE ⊥BE ；（4分）
⑶如图，点P 是y 轴正半轴是一点，OP =AB ，当点A 、B 在x 轴上运动时，∠APB +∠CPD 的值是否发生变化？若变化，请你指出其变化范围，若不变化，请你求出其值，并说明理由.（4分）
y
x
A
D
C
O
“K”字型：等腰直角三角形的顶点处发出一条直线，辅助线为过两顶点作该直线垂线。
例：已知等腰RT△ABC中，过点A作直线。
结论：△ABE≌△CAF
F
E
C
A
B
F
E
C
A
B
衍生：平面直角坐标系中A （1,3），以OA 为边作正方形OABC ，求B 、C 坐标。
C
B
O
x
y
A
变式：平面直角坐标系中，点A （4,1），过点O 作一条直线与OA 夹角为45°，求该直线解析式。
O x
y
A
衍伸：平面直角坐标系中直线3
:2
OA l y x =
与双曲线k y x =交于点A ，以OA 为边作等腰RT
△OAB ，点B 刚好落在双曲线上。
求k 。
x
y
B
o
A
本题8分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，
过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． （1）求证：AD ⊥CF ；
（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．
5.已知等腰Rt ABC 的直角顶点C 在x 轴上，点B 在y 轴上。
（1）如图1，若点C 的坐标为（2,0），A 的坐标为（-2，-2），求点B 的坐标。
（2）如图2，直角边BC 在坐标轴上运动，使点A 在第四象限内，过点A 作AD ⊥y 轴于D ，求
CO AD
BO
-的值。
八年级数学每日一题（041-045）
P —041如图，如图，在平面直角坐标系中，点A 和点B 的坐标分别是A （0，a ），B （b ，0），且a 、b 满足330a b -++=.
（1）求点A 、点B 的坐标；
（2）点C 是第三象限内一点，以BC 为直角边作等腰直角△BCD ，∠BCD=90º，过点A 和
D
y x
A
O
C B O
C
B
A
点D 分别作直线CO 的垂线，垂足分别是点E 、F.试问线段AE 、DF 、CO 之间是否存在某种确定的数量关系？为什么？
x
y
O
E
D
C
B
A
F
P —042 如图，在平面直角坐标系中，点A 、点C 分别在y 轴的正半轴和负半轴上，点B 在
x 轴正半轴上，∠ABC=90º
.点E 在BC 延长线上，过点E 作ED ∥AB ，交y 轴于点D ，交x 轴于点F ，DO –AO=2CO.
（1）求证：AB=DE ；
（2）若AB=2BC ，求证：EF=EC ；
（3）在（2）的条件下，若点B 的坐标是（2，0），求点E 的坐标.
F
E
y
x
O D
C
B
A
9、如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点
B（0，b），且a、b满足4
a + |4－b|=0
（1）求A、B两点的坐标；
（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证∠BDO=∠EDA；
（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △PBM ，
其中PB =PM ，直线MA 交y 轴于点Q ，当点P 在x 轴上运动时，
线段OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线
段OQ 的取值范围.
A B
O M
P Q
x
y
A B
O D E
F
y
x
10
如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A （0，a），且a、b满足
＋(p＋1)2＝0．
（1）求直线AP的解析式；
（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；
（3）如图2，点B（-2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D 为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②AO−EF
的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．
如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A （0，a），且a、b满足
＋(p＋1)2＝0．
（1）求直线AP的解析式；
（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；
（3）如图2，点B（-2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D 为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②AO−EF
的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．。