“三垂直”模型知识目标
模块一三垂直基本模型
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一、三垂直模型的构成
等腰直角△ABC
过直角顶点A的直线l
过两底角顶点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为M、N
题型一三垂直模型基本应用
例1
过等腰Rt△ABC的直角顶点C作直线l，过A、B分别作AD⊥l于D，BE⊥l于E，已知AD＝5，BE＝3，求DE的长．
C
B
A
C
B
A
C
B
A
练习
已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 在线段BC 上 ，点D 在线段AC 上，且△BDE 为等腰直角三角形，∠BDE ＝90°，BD ＝DE ，当∠ACB ＝30°时，试判断AD 与CE 的数量关系，并加以证明．
模型二 三垂直模型与“婆罗摩笈多”
例2
如图，△ABE 和△ACD 为等腰直角三角形，AM ⊥BC 于M ，MA 交ED 于N 求证：EN ＝DN ．
练习 如图，直线AB 分别与x 轴、y 轴相交于点A （2，0）和点B （0，4），以B 为顶点在第一象限作等腰Rt △ABC ． （1）在y 轴上存在一点M ，使得MA ＋MC 最小，请画出点M ；（保留画图痕迹） （2）求点C 的坐标；
（3）若P 点为y 轴正半轴上一个动点，分别以AP 、OP 为腰在第一象限、第二象限作等腰Rt △APC 和等腰Rt △OPD ，连接CD 交y 轴于N 点，当点P 在y 轴正半轴上移动时，求PN 的长度．
E
D
C
B
A
N
M
E
D
C
B
A
模型三 三垂直模型与“八字”全等综合
例3
（1）如图，已知等腰Rt △ABC ，∠C ＝90°，D 在AC 上，△BDE 为等腰直角三角形，∠DBE ＝90°，连AE 交BC 于F ，求证：BF ＋CF ＝CD ．
（2）如图，D 点在AC 延长线上，其余条件不变，试探究BF 、CF 、CD 之间的关系．
练习
等腰Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点P 在BC 上，以AP 为腰在△ABC 外侧作等腰Rt △APQ ，连PQ 交AB 于N ，连CQ 交AB 于M ．
（1）如图，当P 在边BC 上，且CP ＝2BP 时，求
CP
BM
的值．
F
E
D
C
B
A D
A
B
C
E
F
N M
Q
P
C
B
A
（2）P 点在CB 延长线上，且CP ＝nBP ，M 、N 分别在AB 边和AB 边的延长线上，求
AM
BM
．
真题演练
（2016年江岸区八上期末第23题） 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF ⊥AE 且AF ＝AE （1）如图1，过F 点作FD ⊥AC 交AC 于点D ，求证：CE ＋CD ＝DF ； （2）如图2，连接BF 交AC 于点G ，若
AG
CG
＝3，求证：E 为BC 中点； （3）当E 点在射线CB 上，连接BF 交直线AC 于点G ，若
43BC BE
，则AG CG
＝ ．
M
N
P
Q
C
B A
图1
F
E
D
C
B
A
图2
G
F
E
C
B
A
模块二 三垂直模型与坐标系综合
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三垂直模型在坐标系中有着非常广泛的应用，尤其是与等腰直角三角形的综合，具体来说：已知等腰直角三角形三个顶点中任意两个点的坐标，便可以求出第三个点的坐标 情况一如下图：直角顶点在坐标轴上
情况二如下图：直角顶点不在坐标轴上
例4
（1）如图，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （0，3），C （1，0），求B 点坐标．
B
（2）如图，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，A（－1，0），C（1，3），求B点坐标．
（3）如图，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，B（2，2），C（4，－2），求A点坐标．
练习
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC与y轴交于D点，点C的坐标为（－2，0），点A的坐标为（－6，3），则D点的坐标是．
真题演练
如图，已知A（－2，0），
（1）如图，以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若B（0，－4），求C点坐标．
（2）如图，P为y轴负半轴上一动点，以P为顶点，P A为腰做等Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，试问OP－DE的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．
（3）如图，已知F点坐标为（﹣4，﹣4），G是y轴负半轴上一点，以FG为直角边作等腰Rt△FGH，H 点在x轴上，∠GFH＝90°.设G（0，m），H（n，0），当G点在y轴负半轴上沿负方向运动时，m＋n的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．
例5
在平面直角坐标系中，A（2，﹣1），B（1，﹣4），C（5，﹣2），求∠ABC的度数．
练习
如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，b），且a、b满足221
b a a
（1）求点A的坐标；
（2）若点F（1，0），C（0，3），连AC、FC，试确定∠ACO＋∠FCO的值是否发生变化.若不变，说明理由.若变化，请求出变化范围．Array
例6
（2015年粮道街八上期中）
在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（0，8），以AB为斜边作等腰直角△ABC，则点C坐标为．练习
在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（2，0），在第一象限内的点C，使△ABC为面积最小的等腰直
角三角形，求点C的坐标以及面积的最小值．
挑战压轴题
如图1，已知A （a ，0），点B （0，b ）且a 、b 满足2
(4)4
0a
b
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）若点C 是第一象限内一点，且∠OCB ＝45°，过点A 作AD ⊥OC 于点F ，求证：F A ＝FC ； （3）如图2，若点D 的坐标为（0，1），过点A 作AE ⊥AD ，且AE ＝AD ，连接BE 交x 轴于点G ，求S △BOG ．
本讲课后作业
○
A 基础巩固 1、如图，在△ABC 中，∠AC
B ＝90°，A
C ＝BC ，BC 与y 轴交于
D 点，点C 的坐标为（﹣1，0），点A 的
坐标为（﹣5，2），求点D 的坐标．
2、在平面直角坐标系中，点A （2，0），B （0，4），以AB 为斜边作一个等腰直角三角形ABC ，则点C 的坐标为 ．
图1
3、已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．
（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；
（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA、OD、CD之间等量关系；
（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问C F与AE有怎样的数量关系？并说明理由．
综合练习
4、如图1，OA ＝2，OB ＝4，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC ．
（1）求C 点坐标；
（2）如图2，P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点向y 轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，P A 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求OP －DE 的值；
（3）如图3，已知点F 坐标为（﹣2，﹣2），当点G 在y 轴负半轴上沿负方向运动时，作Rt △FGH ，始终保持∠GFH ＝90°，FG 与y 轴负半轴交于点G （0，m ），FH 与x 轴正半轴交于点H （n ，0），当G 点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m －n 为定值；②m ＋n 为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
x。