xx 届高考理科数学第三次模拟考试试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 计算21ii- ＝ A ．3i -+B ．1i -+C ．1i -D ．22i -+2 过点()3,2-的直线l 经过圆2220x y y +-=的圆心，则直线l 的倾斜角大小为A ．30︒B ．60︒C ．150︒D ．120︒3 设函数f(x)的图象关于点(1，23)对称，且存在反函数1-f ( x )，若f(3) = 0，则1-f(3)等于A ．－1B ．1C ．－2D ．24 设m ，n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面 给出下列四个命题：①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若α∥β，β∥γ，m ⊥α，，则m ⊥γ其中正确命题的序号是：A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④5．已知一个正四棱锥的各棱长均相等，则其相邻两侧面所成的二面角的大小为A ．arcos 31B ．arcsin-322．C ．arctan 22-．D ．arccot 42-．6 {}{}211,,log 1,A x x x R B x x x R =-≥∈=>∈，则“x A ∈”是“x B ∈”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件7 若点(3,1)p -在双曲线22221(0,0)y x ab a b =>>-的左准线上，过点p 且方向向量为(2,5)a =r的光线，经直线2y =-反射后通过双曲线的左焦点，则这个双曲线的离心率A ．153B ．33C ．53D ．438．已知四面体A BCD -中，2,1,AB CD AB ==与CD 间的距离与夹角分别为3与30o，则四面体A BCD -的体积为A ．12B ．1C ．2D９．从1，2，3，4，5 中取三个不同数字作直线0=++c by ax 中c b a ,,的值，使直线与圆122=+y x 的位置关系满足相离，这样的直线最多有A ．30条B ．20条C ．18条D ．12条10．已知等差数列{a n }与等差数列{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若3213+-=n n T S n n ，则=1010b a A ．23B ．1314C ．2329D ．4156 11．若3a >，则方程3210x ax -+=在0，2．上恰有 个实根．A ．0B ．1C ．2D ．312．已知M 点为椭圆上一点，椭圆两焦点为F 1，F 2，且210,26a c ==，点I 为12MF F V 的内心，延长MI 交线段F 1F 2于一点N ，则MI IN的值为A ．54B ．53C ．43D ．34二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13 已知,x y 满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2z x y =+的最大值为14 12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为15 已知定义在正实数集上的连续函数()212(01)11(1)x f x x x x ax ⎧+<<⎪=--⎨⎪+≥⎩,则实数a 的值为16．若函数f x ．=)3(log 1ax a a -+-在0，3．上单调递增，则a ∈三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题12分）已知函数()()22sin cos 2cos 2f x x x x =++-（1）．求函数()f x 的最小正周期； （2）．当3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的最大值,最小值18 （本小题12分）一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行不放回抽检以决定是否接收 抽检规则是这样的：一次取一件产品检查，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品，而前三次中只要抽查到次品就停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品（1）．求这箱产品被用户拒绝接收的概率；（2）．记ξ表示抽检的产品件数，求ξ的概率分布列及期望19 （本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABC － 111C B A ，D 是AC 的中点，∠1C DC = 60°（1）．求证：A 1B ∥平面B 1C D ； （2）．求二面角D －B 1C －C 的大小。

20 （本小题12分）已知函数21()()axf x x x e a=--（0a >）（1）当2a =时,求函数()f x 的单调区间； （2）若不等式3()0f x a+≥对x R ∈恒成立,求a 的取值范围21 本小题12分．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点，直线AB ⊥x 轴于点C ， ||4OC =u u u r，3CD DO =u u u r u u u r ,动点M 到直线AB 的距离是它到点D 的距离的2倍（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点K 为点M 的轨迹与x 轴正半轴的交点,直线l 交点M 的轨迹于,E F 两点,E F 与点K 均不重合．,且满足KE KF ⊥u u u r u u u r求直线EF 在X 轴上的截距；（3）在（2）的条件下，动点P 满足2OP OE OF =+u u u r u u u r u u u r,求直线KP 的斜率的取值范围22．（本小题14分）已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程2(32)320kkx k x k -++=g的两个根，且212(123)k k a a k -=L ≤，，，． （1）求1a ，3a ，5a ，7a ；（2）求数列{}n a 的前2n 项的和2n S ；（3）记sin 1()32sin n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…， 求证：15()624n T n ∈*N ≤≤．一、选择题：题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题：13、14、15、16、三、解答题：17、18、19、20、21、22、（注：解答题答题卷的空间自留）一、选择题 1．B 2．D 3 ．A4．D5．D6．B7．A8．A9．C10．D11．B12．B二、填空题13、3 14、-160 15、32- 16、31,2⎛⎤⎥⎝⎦三、解答题17、（1）()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ …… 3分∴()f x 的最小正周期为π ………………… 5分（2）337,,244444x x πππππ⎡⎤∈∴≤+≤⎢⎥⎣⎦Q , ………………… 7分1sin 242x π⎛⎫∴-≤+≤⎪⎝⎭………………… 10分∴()1f x ≤≤ ………………… 11分∴当3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 的最大值为1,最小值………… 12分18、（1）设这箱产品被用户拒绝接收事件为A,被接收为A ，则由对立事件概率公式()1()P A P A =-，得：8768()1109815P A ⨯⨯=-=⨯⨯158………… 6分（2）1,2,3.ξ的可能取值为218288728(1),(2),(3)1051094510945P ξP P ξξ⨯⨯=========⨯⨯ ξ的分布列为 ………… 10分P51 458 4528 …………11分∴ E ξ=10945…………12分 19、解法一：（1）连结B 1C 交BC 1于O ，则O 是B 1C 的中点，连结DO 。

∵在△A 1B C 中，O 、D 均为中点， ∴A 1B ∥DO …………………………2分 ∵A 1B ⊄平面B 1C D ，DO ⊂平面B 1C D ， ∴A 1B ∥平面B 1C D 。

…………………4分 （2）设正三棱柱底面边长为2，则DC = 1，∵∠1C DC = 60°，∴C 1C =3，作DE ⊥BC 于E∵平面BC 1C ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面BC 1C 1B 作EF ⊥B 1C 于F ，连结DF ，则 DF ⊥B 1C ，∴∠DFE 是二面角D -B 1C -C 的平面角……………………………………8分在Rt △DEC 中，DE =21,23=EC 在Rt △BFE 中，EF = BE ·sin 723373231=⨯=BC C ∴在Rt △DEF 中，tan ∠DFE =37337223=⋅=EF DE ∴二面角D －B 1C －C 的大小为arctan37………………1分 解法二：以AC 的中D 为原点建立坐标系，如图，设| AD | = 1∵∠1C DC =60°∴| C 1C | =3，则A 1，0，0．，B 0，3，0．，C -1，0，0，1A 1，03．，()3,3,01B ，()3,0,11-C（1）连结1B C 交B 1C 于O是1B C的中点，连结DO ，则O ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,23,21，1AB =2∵A 1B ⊄平面B 1C D ，∴A 1B ∥平面B 1C D . ………4分（2）1DC =-1，0，3．，()3,3,11=C设平面B 1C D 的法向量为n =（x , y , z ），则1100n DC n C B ⋅=⋅=u u u u v u u u u v 且即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-03303z y x z x 则有y 3= 0令z = 1，则n =（3，0，1）………8分设平面BC 1C 1B 的法向量为m =（ x ′ ,y ′，z ′）1CC u u u u r =0，0，3．，， ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011B C m CC m 即=-+=00∴z′= 0令y = -1，解得m =3，-1，0．二面角D —B 1C —C 的余弦值为cos ＜n , m ＞＝∴二面角D —B 1C —C 的大小为arccos43…………12分 20、对函数()f x 求导得:()(2)(1)axf x e ax x '=+- ……………2分（1）0当2a =时, 2()(22)(1)xf x e x x '=+-令()0f x '>解得 1x >或1x <-()0f x '<解得11x -<<所以, ()f x 单调增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞,()f x 单调减区间为-1,1． ………5分34n m n m ⋅=⋅(1C B =u u u u r（2）令()0f x '=,即(2)(1)0ax x +-=,解得2x a=-或1x = …… 6分 由0a >时,列表得：……………8分对于2x a <-时，因为220,,0x x a a >->>,所以210x x a-->， ∴()f x >0… 10 分对于2x a ≥-时，由表可知函数在1x =时取得最小值1(1)0af e a=-< 所以，当x R ∈时，min 1()(1)af x f e a==-由题意，不等式3()0f x a+≥对x R ∈恒成立，所以得130a e a a-+≥，解得0ln3a <≤ …12分21、（1）依题意知,点M 的轨迹是以点D 为焦点、直线AB 为其相应准线,离心率为12的椭圆，设椭圆的长轴长为2a ,短轴长为2b ,焦距为2c ,又||4OC =u u u r ，3CD DO =u u u r u u u r ，∴点D 在x 轴上,且3CD =u u u r ,则2a c c -=3，12c a =解之得：2,1a c ==,b =O 为椭圆的对称中心∴动点M 的轨迹方程为：22143x y += …… 4分 （2）设()()1122,,,E x y F x y ,设直线EF 的方程为x my n =+（－２〈n 〈2〉,代入22143x y +=得()2223463120m y mny n +++-= …… 5分()()22223612344m n m n ∆=-+-,21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-=++ ()221212122284122,3434n n m x x m y y n x x m m -+=++==++…… 6分 Q KE KF ⊥u u u r u u u r ，K2，0．,1212(2)(2)0x x y y ∴--+=,22222412161216312034n m n m n m --+++-∴=+，271640n n ∴-+= 解得:2,7n =2n =舍， ∴ 直线EF 在X 轴上的截距为 27 …………8分 （3）设00(,)P x y ,由2OP OE OF =+u u u r u u u r u u u r 知,121200,22x x y y x y ++== 直线KP 的斜率为020278y m k x m ==-+ ………… 10分 当0m =时,0k =；当0m ≠时,187k m m =+，87m m m +≥=Q “=”）或87m m m+≤-= “=”）， k ⎡⎫⎛∴∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝，综上所述：k ⎡∈⎢⎣⎦….12分 22、（1）方程2(32)320k k x k x k -++=g的两个根为13x k =，22k x =， 当1k =时，1232x x ==，，所以12a =；当2k =时，16x =，24x =，所以34a =；当3k =时，19x =，28x =，所以58a =时；当4k =时，112x =，216x =，所以712a =． ………… 4分（2）2122n n S a a a =+++L 2(363)(222)nn =+++++++L L 2133222n n n ++=+-． ………… 8分（3）证明：(1)123456212111(1)f n n n nT a a a a a a a a +--=+-++L ，所以112116T a a ==， 2123411524T a a a a =+=． ………… 9分 当3n ≥时，(1)3456212111(1)6f n n n nT a a a a a a +--=+-++L ， 345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭L ≥2311111662622n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭L g ≥ 1116626n =+>g …… 11分 同时，(1)5678212511(1)24f n n n nT a a a a a a +--=--++L 5678212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭L ≤31511112492922n ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭L g ≤ 515249224n =-<g ………… 13分 综上，当n ∈N*时，15624n T ≤≤ ………… 14分。