f (a) f x下限x D
不等式恒成立问题的一般步骤： （1）明确变量和参数（求谁的范围谁是参数，谁的范 围已知谁是自变量），合理变形（一次二次不等式的标 准形式或变量参数的分离式 ）。 （2） 构建函数,注意标明自变量范围。 （3)求函数的最值或限值，利用最值或限值构建关于参 数的不等式求出参数的范围。 注意事项： （1）形式上的一元二次不等式要对二次项系数等零不 等零进行讨论。 （2）指对不等式在底数不确定时要对底数进行讨论。 （3）如最值或限值总在定义域的两端点处产生时，不 必讨论。
解:要使函数f(x)有意义,则必有
kx2 6kx (k 8) 0
因为函数f(x)的定义域为R,所以
kx2 6kx (k 8) 0 对一切 x R恒成立. ①当k=0,不等式8>0对一切 x R 恒成立.
②当k≠0时,不等式 kx2 6kx (k 8) 0对一切
x R 恒成立,则必有
k>0
(6k)2 4k(k 8) 0
解得:0<k≤1
综上所述: 0 ≤ k≤1
易错题
1.函数 f (x) log1 (x2 kx 2) 的定义域为R,
2
求实数k的取值范围. (2 2, 2 2)
2.函数 f (x) log1 (x2 kx 2) 的值域为R,
2
求实数k的取值范围.
恒成立，求实数x的取值范围
练习5、若对于任意
x 0,
1 2
，不等式
x2 ax 1 0
恒成
立，求实数a的取值范围
练习1、若对于任意 2 m 2 ，不等式 2x 1 m(x2 1)
恒成立，求实数x的取值范围
解：原不等式可化为：m(x2 1) 2x 1 0
令 f (m) m(x2 1) 2x 1, m2, 2
f (x) (1 m)x2 (m 1)x 3, x2, 2
由题意得：
1m 0 f (1) 1 m 11 0 或
24 4
1m 0 f (2) 6m 9 0
所以 11 m 3 2
练习4、若对于任意 m 2，不等式(1 m)x2 (m 1)x 3 0
恒成立，求实数x的取值范围
由题意得：
f (2) 2x2 2x 3 0 f (2) 2x2 2x 1 0
所以
1 7 x 1 3
2
2
练习2、若对于任意 p 2 ，不等式x2 px 1 2x p 恒成
立，求实数x的取值范围
解：原不等式可化为：x2 ( p 2)x p 1 0
令 f (p) (x 1)p x2 2x 1, p2,2
(, 2 2] U[2 2, )
例1：不等式 x2 ax 4 0 当 x (1,2) 时恒
成立，求a的范围。
解： 令 f (x) x2 ax 4, x (1,2)
由题意得：
f 1 a 5 0 f 2 2a 8 0
所以 a 5
例2：不等式x²-2ax+2≥a当x∈[-1,+∞)时恒成立，求a 的范围。
f x下限 0x D
不等式 f x 0在区间D上恒成立 f xmax 0x D 或
f x上限 0x D
不等式 f a f x在区间D上恒成立 f (a) f xmaxx D 或
f (a) f x上限x D
不等式 f (a) f x在区间D上恒成立 f (a) f xminx D 或
例题选讲
恒成立问题
例1.不等式 (a 2)x2 2(a 2)x 4 0
对一切 x R 恒成立，则a的取值范围。
变式1.不等式(a2 4)x2 (a 2)x 1 0 的解为空集 ，求a的取值范围。
变式2.若函数 f (x) kx2 6kx (k 8) 的定义
域为R,求实数k的取值范围.
由题意得：
f (2) x2 4x 3 0 f (2) x2 1 0
所以
x 1 或 x 3
练习3、若对于任意 x 2 ，不等式(1 m)x2 (m 1)x 3 -m=0即m=1时，原不等式可化为：3>0,适合题意。
若1-m≠0即m≠1时， 令
解：原不等式可化为：
x2 2ax a 2 0
令 f (x) x2 2ax a 2, x 1,
x a f x的图像开口向上，且对称轴为
由题意得：
a 1
f 1 a 3 0 或
a 1
f a a2 a 2 0
所以 3 a 1
不等式恒成立问题的解题原理：
不等式 f x 0 在区间D上恒成立 f xmin 0x D 或
例1、若对于任意 a 1 ，不等式x2 (a 4)x 2a 0 恒成 立，求实数x的取值范围
解：令 f (a) (x 2)a x2 4x, a 1,1
由题意得：
f 1 x2 5x 2 0 f 1 x2 3x 2 0
所以 x 3 17 或 x 5 17
2
2
例2、若对于任意 x 0,1 ，不等式 x2 2mx 2m 1 0
解： 原不等式可化为： (x2 x)m x2 x 3 0
令 f (m) (x2 x)m x2 x 3,m2,2
由题意得：
f (2) x2 3x 3 0 f (2) x2 x 3 0
所以
1 13 x 1 13
2
2
练习5、若对于任意
恒成立，求实数x的取值范围
练习2、若对于任意 p 2 ，不等式x2 px 1 2x p 恒成
立，求实数x的取值范围
练习3、若对于任意 x 2 ，不等式(1 m)x2 (m 1)x 3 0 恒成立，求实数m的取值范围
练习4、若对于任意 m 2，不等式(1 m)x2 (m 1)x 3 0
恒成立，求实数m的取值范围
解 令 f (x) x2 2mx 2m1, x0,1 x m : f (x) 的图像开口向上，且对称轴为
由题意得：
m0
或
f (0) 2m 1 0
0 m1
m 1
f (m) m2 2m 1 0 或 f (1) 2 0
所以 m 1 2
练习1、若对于任意 2 m 2 ，不等式 2x 1 m(x2 1)