九年级数学：圆的切线的证明——拔高题圆的切线证明拔高题训练1.如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，连接．求证：直线与相切；若，，求的长．2.如图，已知，，以直角边为直径作，交斜边于点，连接．若，，求边的长；取的中点，连接，试证明与相切．3.如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，于点，交的延长线于点．1 / 25求证：直线是的切线；若，，求的长．4.如图，的边为的直径，与圆交于点，为的中点，过作于．求证：；求证：为的切线；若，，求的长．5.在中，直角边为直径的半圆，与斜边交于，点是边的中点，连接，① 与半圆相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况．②若、的长是方程的根，求直角边的长．九年级数学：圆的切线的证明——拔高题6.如图，是的直径，．求证：是的切线；若点是的中点，连接交于点，当，时，求的值．7.如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．求证：是的切线；求证：；3 / 25点是的中点，交于点，若，求的值．8.已知，如图，直线交于，两点，是直径，平分交于，过作于．求证：是的切线；若，，求的半径．9.如图，是的外接圆，，弦，，，交的延长线于点．求证：；求的长；求证：是的切线．九年级数学：圆的切线的证明——拔高题10.如图，是的直径，垂直于弦于点，且交于点，是延长线上一点，若．求证：是的一条切线；若，，求的长．11.如图，以为直径的半圆交于点，且点为的中点，于点，交半圆于点，的延长线交于点．求证：为半圆的切线；若，，求的长．12.如图，是的直径，点是上的一点，．5 / 25求证：是的切线；已知，，求的长．13.如图，已知，为的外接圆，为直径，点在上，过点作，点在的延长线上，且．求证：与相切．若，，，求线段的长．14.如图，已知内接于，是的直径，是的中点，过点作直线的垂线，分别交、的延长线、．求证：是的切线；若，，求的半径．九年级数学：圆的切线的证明——拔高题15.如图，为半圆的直径，点在半圆上，过点作的平行线交于点，交过点的直线于点，且．求证：是半圆的切线；若，，求的长．16.如图，已知是的直径，为外一点，且，．求证：为的切线；若，，求的长．17.在中，，是边上的一点，以为直径作交于点，连结并延长，与的延长线交于点．且．7 / 25求证：与相切．若，，求的面积．18.如图，是的直径，平分，交于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点．求证：是的切线；若，，求的长．19.如图，为的直径，为上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，且平分．求证：为的切线；若的半径为，，求的长．20.已知：如图，在中，，是角平分线，平分交于点，经九年级数学：圆的切线的证明——拔高题过，两点的交于点，交于点，恰为的直径．求证：与相切；当，时，求的半径．21.如图，在中，，的平分线交于点，点是上一点，过、两点，且分别交、于点、．求证：是的切线；已知，，求的半径．答案1.证明：如图，9 / 25连接．∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∵点在上，∴直线与相切；解：∵四边形是的内接四边形，∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴，∵ ，，∴，又∵ ，∴，∴ ，∴ ．2.解：∵ 为直径，∴ ，即．在中，∵ ，，∴由勾股定理得．∵ ，，∴ ，∴，即，∴；证明：连接，∵ ，∴ ；九年级数学：圆的切线的证明——拔高题又∵ 是的中点，，∴ ，∴ ．∴ ，即，∴ ．∴ 与相切．3.证明：如图，连接，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ 是的半径，∴直线是的切线．解：如图，11 / 25∵ ，是的直径，∴ ，由，可得，，∴ ，，在和中，∴ ，∴，∵，∴，∴，∴ ，∴，解得，∴ ，即的长是．4.证明：连接，∵ 是的直径，∴∴ ，又是的中点，∴ ；九年级数学：圆的切线的证明——拔高题证明：连接，∵ 、分别是、的中点，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 是的切线；解：∵ ，，∴，∴ ，∴由勾股定理得，∴ ，∵ ，∴，∴，∴根据勾股定理得．5.解：与半圆相切．证明：连接、．∵ 、分别是、的中点，∴ ，∴ ，，∵ ，∴ ．∴ ．∵ ，，∴ ．∴ ．∴ 与半圆相切．∵ ，的长是方程的两个根，∴解方程得：，．13 / 25∵ ，∴ ，，∴．6.解： ∵ 是的直径，∴ ，∵ ，，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 是的切线． ∵ ，，∴ ，∵ （已证），∴，即，解得：，在中，，∵ ，∴ ，∴ ，在中，．7.证明：∵ ，∴ ．又∵ ，，∴ ．又∵ 是的直径，∴ ．∴ ．即，∵ 是的半径．∴ 是的切线．证明：∵ ，∴ ，∴ ．又∵ ，，九年级数学：圆的切线的证明——拔高题∴ ，∴ ．∴．解：连接，，∵点是的中点，∴，∴ ．∵ ，∴ ．∵ ，∴ ．∴．∴ ．又∵ 是的直径，，∴ ，．∵ ，∴．∴ ．8.证明：连接．∵ ，∴ ．∵ ，∴ ．∴ ．∵ ，∴ ．即．∵ 在上，为的半径，∴ 是的切线．15 / 25解：∵ ，，，∴．连接．∵ 是的直径，∴ ．∵ ，∴ ．∴．∴．则．∴ 的半径是．9.证明：∵ ，∴ ，∵ （圆周角定理），∴ ．解：∵ （圆周角定理）且，∴ ，∴，即，解得：．证明：连结，，在和中，，九年级数学：圆的切线的证明——拔高题∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ 是的切线．10.证明：∵ ，，∴ ，∴ （同位角相等，两直线平行），∵ ，∴ ，∴ 是的一条切线；解：∵ ，，，∴ ，，∴ ，∵ ，∴ ，∴，∴，解得：．11.证明：连接，如图，∵ 为半圆的直径，为的中点，∴ 为的中位线，∴ ，∵ ���∴ ，又∵点在圆上，17 / 25∴ 为半圆的切线；解：∵ 为半圆的直径，∴ ，而，∴ ，∵ ，∴∴，∴∵ ，，∴，在中，．12.证明：∵ 是的切直径，∴ ，又∵ ，，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 是的切线；解：∵ ，，∴ ，∴，即，∴．13.证明：如图，连接，∵ ，∴ ，九年级数学：圆的切线的证明——拔高题∵ ，∴ ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ，即与相切．解：∵ 为直径，∴ ，，，∴ ，∵ ，，∴ ，∴∴ ，，∴ ，∴．14.证明：连接交于于点．∵ 是的中点，为半径，∴ ．∵ ，∴ 是的中位线．∴ ，即．又∵ ，∴ ，∴ 是的切线．解：在中，，，∴ ．设半径，则，∵ ，∴ ，∴，19 / 25∴，∴ ，即：的半径为．15.证明：∵ 为半圆的直径，∴ ．又∵ ，∴ ．∴ ．∵ ，∴ ．∴ 是半圆的切线．解：∵ ，∴ ，∵ ，∴，又，∴．在中，，∵ ，，∴ ．∴即．∴．16.证明：∵ 是的直径，∴ ，∴ ．又∵ ，∴ ，∴ ．九年级数学：圆的切线的证明——拔高题∵ ．∴ ，∴由三角形内角和定理知，即．又∵ 是的的半径，∴ 为的切线；解：由知，．∵ ，∴ ．又∵ ，∴在直角中，根据勾股定理知，由知，．∵ ，∴ ，∴．∴，解得．即的长度为．17.证明：连接，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，21 / 25∴ ，∴ ，∴ ，∴ 与相切；解：由知，又，∴ ，∴，设的半径为，则，解得：，∴ 的面积．18.证明：连接，∵ 平分，∴ ．∵ ，∴ ．∴ ．∴ ．∵ ，∴ ．∴ 是的切线．解：设是的半径，在中，，即，解得．∵ ，∴ ，∴，即．解得．∴．九年级数学：圆的切线的证明——拔高题19.证明：连接∵∴∵ 平分∴∴∴∵ ∴∴直线与相切于点；解：连接，则．∵ ，，∴ ，∴，∴ ，∵ 的半径为，，∴ ，∴．20.证明：连接，则∴∵ 平分∴∴∴∴在中，，是角平分线∴∴∴∴∵点在圆上，∴ 与相切；23 / 25解：在中，，是角平分线∴，∵ ，∴ ，在中，∴设的半径为，则∵∴∴∴解得∴ 的半径为．21.证明：连接．∵ ，∴ （等角对等边）；∵ 平分，∴ ，∴ （等量代换），∴ （内错角相等，两直线平行）；又∵ （已知），∴ （两直线平行，同位角相等），∴ ，即是的切线；九年级数学：圆的切线的证明——拔高题解：由知，，∴（平行线截线段成比例），∴，解得，即的半径为．25 / 25。