静态场分析
一、静态场特性 二、泊松方程和拉普拉斯方程 三、静态场的重要原理和定理 四、镜像法 五、分离变量法 六、复变函数法
一、静态场特性 1.静态场基本概念 静态场基本概念 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随 时间发生变化的场。 时间发生变化的场。
– 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变
积分法
边值问题研究方法
解析法
分离变量法 镜像法、 镜像法、电轴法 微分方程法
计算法
保角变换法
• • • •
有限差分法 有限元法 数值法 边值问题 研究方法 实验法 实测法 模拟法 定性 定量 边界元法 矩量法 模拟电荷法
• • • •
数学模拟法 物理模拟法
• • • •
作图法
三、静态场的重要原理和定理 1.对偶原理 1.对偶原理 （1）场源的概念
E = −∇ φ
∇ ⋅ J c = σ∇ ⋅ E = 0
σ∇ ⋅ ( −∇ φ ) = 0
∇ φ = 0 ——拉普拉斯方程 ——拉普拉斯方程
2
3.恒定磁场的矢量泊松方程 3.恒定磁场的矢量泊松方程
恒定磁场基本方程
∫ H ⋅ dl = ∫ J ∫ B ⋅ dS = 0
l S S
c
⋅ dS
B = µH
3.惟一性定理 惟一性定理 （1）边值问题的分类 第一类 边值问题 第二类 边值问题 第三类 边值问题
ϕ S = f1(s)
∂ϕ ∂n = f2 (s)
S
狄里赫利问题 诺伊曼问题 混合边值问题
(ϕ + β
∂ϕ ) = f3 (s) ∂n S
（2）惟一性定理 惟一性定理：在给定边界条件下， 惟一性定理：在给定边界条件下，泊松 方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。 方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。 理解
为了分析某些电磁场问题的方便，我们引入了磁 为了分析某些电磁场问题的方便， 荷和磁流的概念，这样场源的概念将扩大到电荷 电荷、 荷和磁流的概念，这样场源的概念将扩大到电荷、磁 电流和磁流。 荷、电流和磁流。
ρm =−∇iM ρms = Min
Jm
——体磁荷密度 ——体磁荷密度 ——面磁荷密度 ——面磁荷密度 ——体磁流密度 ——体磁流密度
2
无源区域
——拉普拉斯方程 ∇2φ = 0 ——拉普拉斯方程
2. 恒定电场的拉普拉斯方程
恒定电场基本方程
∫ E ⋅ dl = 0 ∫ J ⋅ dS = 0
l S c
Jc = σ E
∇× E = 0 ∇⋅ J = 0
——导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征， ——导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征， 导电媒质中的恒定电场具有无散 是保守场
静态场与时变场的最本质区别： 静态场与时变场的最本质区别：静态场中的 电场和磁场是彼此独立存在的。 电场和磁场是彼此独立存在的。
二、泊松方程和拉普拉斯方程 1.静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 1.静电场的泊松方程和拉普拉斯方程
静电场基本方程
∫ E ⋅ dl = 0 ∫ D ⋅ dS = ∫ ρ dV
图示平板电容器极板之间的电位， 例：图示平板电容器极板之间的电位，哪一个解 答正确？ 答正确？
U0 2 A、 1 = ϕ x d U0 B、 2 = ϕ x +U0 d U0 x +U0 C、 3 = − ϕ d
图 平板电容器外加电源U 平板电容器外加电源U0来自答案：（ 答案：（ C ）
四、镜像法 待求区域的电场由分布电荷与边界条件共 同决定； 同决定； 镜像法就是在待求区域之外， 镜像法就是在待求区域之外，用一些假想 的电荷代替场问题的边界； 的电荷代替场问题的边界； 这些假想的电荷称为镜像电荷， 这些假想的电荷称为镜像电荷，大多是一 些点电荷或者线电荷； 些点电荷或者线电荷； 镜像法只使用于一些比较特殊的边界； 镜像法只使用于一些比较特殊的边界； 镜像法的理论依据是唯一性定理； 镜像法的理论依据是唯一性定理； 镜像电荷的选取原则： 镜像电荷的选取原则： 镜像电荷必须位于待求区域之外； A、镜像电荷必须位于待求区域之外； 镜像电荷不能改变原边界条件。 B、镜像电荷不能改变原边界条件。
1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
r1 p r2
设无限大接地导体平面上方d 例：设无限大接地导体平面上方d处 有一点电荷q，求上半空间电位。 有一点电荷q 求上半空间电位。 镜像电荷有多大？放在什么地方？ 镜像电荷有多大？放在什么地方？
− Eϕ =
jk0 Kl ⋅ sin θ e − jkr 4π r
k02 IS ⋅ sin θ e − jkr Hθ = − 4π r
教材上总结出了静态场与恒定电场、 教材上总结出了静态场与恒定电场、静电场与 恒定磁场之间的对偶关系。 恒定磁场之间的对偶关系。 应用对偶原理，可由一类问题的解， 应用对偶原理，可由一类问题的解，经过对偶 量的替换，得到另一类问题的解； 量的替换，得到另一类问题的解；或者将单一 问题按对偶原理分为两部分， 问题按对偶原理分为两部分，这样工作量可以 减半。 减半。 应用对偶原理，不仅要求方程具有对偶性，而 应用对偶原理，不仅要求方程具有对偶性， 且要求边界条件也具有对偶性。 且要求边界条件也具有对偶性。 在有源的情况下，对偶性依然存在， 在有源的情况下，对偶性依然存在，
µ,ε
H
E = H =0
σ =∞
µ,ε
µ =∞
H
E
ˆ n
E = H =0
磁流强度
l
（a）
K = ∫ J m idS
s
—磁流强度
+Qm
K
−Qm
l
图（a）是一密绕螺线管，电感量为L， 是一密绕螺线管，电感量为L 长度为l, 长度为 ,通低频电流 i = Ie jωt ，我们可以将其 看作一块磁铁，磁体内部有磁流K，磁铁两 看作一块磁铁，磁体内部有磁流K 端分别有磁荷 和 +Qm 因而构成一个磁偶 ，因而构成一个磁偶 −Qm 极子（ ），且有 极子（图b），且有
静态场的边值问题能用解析法直接求解的并不 许多问题需借助各种间接方法求解。 多，许多问题需借助各种间接方法求解。那么 用各种方法求得的边值问题的解是否正确？ 用各种方法求得的边值问题的解是否正确？边 值问题的解是不是独一无二的？ 值问题的解是不是独一无二的？ 这就是边值 惟一性问题。 问题的惟一性问题 问题的惟一性问题。 惟一性定理对上述问题做了肯定的回答， 惟一性定理对上述问题做了肯定的回答，它表 明只要给出场域内的位函数分布 位函数分布及 明只要给出场域内的位函数分布及边界面上的 函数值，则场分布是唯一确定的。 函数值，则场分布是唯一确定的。
∇× H = J c ∇⋅ B = 0
——恒定磁场是无散有旋场。 ——恒定磁场是无散有旋场。 恒定磁场是无散有旋场
B =∇× A
∇× B = µ∇× H = µJc
∇×∇× A = µ Jc
库伦规范 ∇ ⋅ A = 0 ——矢量泊松方程 ——矢量泊松方程
∇×∇× A = ∇(∇⋅ A) −∇2 A = µ J c
电磁场的边界条件也做相应的修改
ˆ n ⋅ ( D1 − D2 ) = ρ S
ˆ n × ( E1 − E2 ) = − J m
ˆ n ⋅ ( B1 − B2 ) = ρ mS ˆ n × ( H1 − H 2 ) = J S
E
ˆ n
对于理想导体（ ），其边 对于理想导体（σ=∞），其边 界条件为： 界条件为： ˆ ˆ n ⋅ D = ρS n× E = 0 ˆ ˆ n ⋅ B = 0 n × H = JS 凡是满足理想导体边界条件的曲 面称为电壁 电壁。 面称为电壁。 对于理想磁体（ ），其边 对于理想磁体（µ=∞），其边 界条件为： 界条件为： ˆ ˆ n⋅ D = 0 n× E = −JmS ˆ n ⋅ B = ρmS n× H = 0 ˆ 凡是满足理想磁体边界条件的曲 面称为磁壁 磁壁。 面称为磁壁。
化的电荷产生的电场。 化的电荷产生的电场。 – 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生 恒定电场是指导电媒质中 是指导电媒质中， 的电场。 的电场。 – 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的 磁场，亦称为静磁场。 磁场，亦称为静磁场。
2.静态场的麦克斯韦方程组 2.静态场的麦克斯韦方程组
只有电荷、 只有电荷、电流
∇ × H = J c + jωε E
只有磁荷、 只有磁荷、磁流
∇ × H = jωε E
∇ × E = − jωµ H
∇ × E = − J m − jωµ H
∇⋅B = 0 ∇ ⋅ D = ρV 存在以下对偶关系
∇ ⋅ B = ρm ∇⋅D = 0
电荷、 电荷、电流 E
磁荷、 磁荷、磁流
H
−E
H
µ ε
ρ
J
ρm
ε µ
Jm
两个方程组的数学形 式完全相同， 式完全相同，做对偶变换 后可有一个方程组得到另 一个方程组， 一个方程组，可由一类边 界条件得到另一类边界条 件。
如果描述两种物理现象的方程具有相同的数 学形式，并具有对应的边界条件， 学形式，并具有对应的边界条件，那么它们解的 数学形式也将是相同的，这就是对偶原理 对偶原理， 数学形式也将是相同的，这就是对偶原理，亦称 二重性原理。 为二重性原理。具有同样数学形式的两个方程称 对偶方程，在对偶方程中， 为对偶方程，在对偶方程中，处于同等地位的量 称为对偶量 对偶量。 称为对偶量。 例
引入以上等效场源后，Maxwell方程修改 引入以上等效场源后，Maxwell方程修改 为：
∇ × H = J c + jωε E
∇ × E = − J m − jωµ H
∇ ⋅ B = ρm ∇ ⋅ D = ρV