第二章静电场重点与难点电场强度及电场线等概念容易接受,重点讲解如何由物理学中积分形式得静电场方程导出微分形式得静电场方程,即散度方程与旋度方程,并强调微分形式得场方程描述得就是静电场得微分特性或称为点特性。
利用亥姆霍兹定理,直接导出真空中电场强度与电荷之间得关系。
通过书中列举得4个例子,总结归纳出根据电荷分布计算电场强度得三种方法。
至于媒质得介电特性,应着重说明均匀与非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。
讲解介质中静电场方程时,应强调电通密度仅与自由电荷有关。
介绍边界条件时,应说明仅可依据积分形式得静电场方程,由于边界上场量不连续,因而微分形式得场方程不成立。
关于静电场得能量与力,应总结出计算能量得三种方法,指出电场能量不符合迭加原理。
介绍利用虚位移得概念计算电场力,常电荷系统与常电位系统,以及广义力与广义坐标等概念。
至于电容与部分电容一节可以从简。
重要公式真空中静电场方程:积分形式:微分形式:已知电荷分布求解电场强度:1,;2,3, 高斯定律介质中静电场方程:积分形式:微分形式:线性均匀各向同性介质中静电场方程:积分形式:微分形式:静电场边界条件:1,。
对于两种各向同性得线性介质,则2,。
在两种介质形成得边界上,则对于两种各向同性得线性介质,则3,介质与导体得边界条件:;若导体周围就是各向同性得线性介质,则;静电场得能量:孤立带电体得能量:离散带电体得能量:分布电荷得能量:静电场得能量密度:对于各向同性得线性介质,则电场力:库仑定律:常电荷系统:常电位系统:题解2-1若真空中相距为d得两个电荷q1及q2得电量分别为q及4q,当点电荷位于q1及q2得连线上时,系统处于平衡状态,试求得大小及位置。
解要使系统处于平衡状态,点电荷受到点电荷q1及q2得力应该大小相等,方向相反,即。
那么,由,同时考虑到,求得可见点电荷可以任意,但应位于点电荷q1与q2得连线上,且与点电荷相距。
2-2已知真空中有三个点电荷,其电量及位置分别为:试求位于点得电场强度。
解 令分别为三个电电荷得位置到点得距离,则,,。
利用点电荷得场强公式,其中为点电荷q 指向场点得单位矢量。
那么,在P 点得场强大小为,方向为。
在P 点得场强大小为,方向为。
在P 点得场强大小为,方向为 则点得合成电场强度为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=++=z e e e E E E E y x 312128141312128131211 0321πε 2-3 直接利用式(2-2-14)计算电偶极子得电场强度。
解 令点电荷位于坐标原点,为点电荷至场点P 得距离。
再令点电荷位于+坐标轴上,为点电荷至场点P 得距离。
两个点电荷相距为,场点P 得坐标为(r,,φ)。
根据叠加原理,电偶极子在场点P 产生得电场为考虑到r >> l ,= e r ,,那么上式变为式中以为变量,并将在零点作泰勒展开。
由于,略去高阶项后,得利用球坐标系中得散度计算公式,求出电场强度为θr e e E 3030204sin 2cos 1cos 14r ql r ql r r l r q πεθπεθθπε+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇-= 2-4 已知真空中两个点电荷得电量均为C,相距为2cm, 如习题图2-4所示。
试求:①P 点得电位;②将电量为C 得点电荷由无限远处缓慢地移至P 点时,外力必须作得功。
解 根据叠加合成电位为因此,将电量由无限远处缓慢地移到点,外力必须做得功为 2-5 通过电位计算有限长得电场强度。
解 建立圆柱荷沿z 轴放置,y习题图2-5与无关。
为了简单起见,令场点位于yz 平面。
设线电荷得长度为,密度为 ,线电荷得中点位于坐标原 点,场点得坐标为。
利用电位叠加原理,求得场点 得电位为式中。
故因,可知电场强度得z 分量为电场强度得r 分量为()()⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-=222202224r L z L z r L z rl περ- ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=2202122114r L z rL z r L z r l περ式中,那么,合成电强为当L →∞时,,则合成电场强度为可见,这些结果与教材2-2节例4完全相同。
2-6 已知分布在半径为a 得半圆周上得电荷线密度,试求圆心处得电场强度。
解 建立直角坐标,令线电荷位于xy习题图2-6平面,且以y 轴为对称,如习题图2-6所示。
那么,点电荷在圆心处产生得电场强度具有两个分量E x 与E y 。
由于电荷分布以y 轴为对称,因此,仅需考虑电场强度得分量,即考虑到,代入上式求得合成电场强度为2-7 已知真空中半径为a 得圆环上均匀地分布得线电荷密度为,试求通过圆心得轴线上任一点得电位及电场强度。
解 建立直角坐标,令圆环位于坐标原点,如习题图2-7所示。
那么,点电荷在z 轴上点产生得电位为根据叠加原理,圆环线电荷在点产生得合成电位为因电场强度,则圆环线电荷在点产生得电场强度为2-8 设宽度为W ,面密度为得带状电荷位于真空中, 试求空间任一点得电场强度。
解 建立直角坐标,且令带状电荷位于xz 平面内,如习题图2-8所示。
带状电荷可划分为很多条宽度为得无限长线电荷,其线密度为。
那么,该无限长线电荷产生得电场强度与坐标变量z 无关,即式中习题图2-8y y(a)(b))习题图2-7y得 那么⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=y w x y w x yw x yw x s s 2arctan 2arctan 222ln 4022220περπερy x e e 2-9 已知均匀分布得带电圆盘半径为a ,面电荷密度 为,位于z = 0平面,且盘心与原点重合,试求圆盘 轴线上任一点电场强度。
解 如图 2-9所示,在圆盘上取一半径为,宽度为得圆环,该圆环具有得电荷量为。
由于对称性,该圆环电荷在z 轴上任一点P 产生得电场强度仅得有分量。
根据习题2-7结果,获知该圆环电荷在P 产生得电场强度得分量为那么,整个圆盘电荷在P 产生得电场强度为2-10 已知电荷密度为及得两块无限大面电荷分别位于x = 0及x = 1平面,试求及区域中得电场强度。
解 无限大平面电荷产生得场强分布一定就是均匀得,其电场方向垂直于无限大平面,且分别指向两侧。
因此,位于x = 0平面内得无限大面电荷,在x < 0区域中产生得电场强度,在x > 0区域中产生得电场强度。
位于x = 1平面内得无限大面电荷,在x < 1区域中产生得电场强度,在x > 1区域中产生得电场强度。
由电场强度法向边界条件获知,即由此求得根据叠加定理,各区域中得电场强度应为2-11 若在球坐标系中,电荷分布函数为试求及区域中得电通密度。
解 作一个半径为r 得球面为高斯面,由对称性可知式中q 为闭合面S 包围得电荷。
那么在区域中,由于q = 0,因此D = 0。
习题图2-9y在区域中,闭合面S包围得电荷量为因此,在区域中,闭合面S包围得电荷量为因此,2-12 若带电球得内外区域中得电场强度为试求球内外各点得电位。
解在区域中,电位为在区域中,2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为试求空间得电荷密度。
解利用高斯定理得微分形式,得知在球坐标系中那么,在区域中电荷密度为在区域中电荷密度为2-14 已知真空中得电荷分布函数为式中r为球坐标系中得半径,试求空间各点得电场强度。
解由于电荷分布具有球对称性,取球面为高斯面,那么根据高斯定理在区域中在区域中2-15 已知空间电场强度,试求(0,0,0)与(1,1,2)两点间得电位差。
解设P1点得坐标为(0,0,0,), P2点得坐标为(1,1,2,),那么,两点间得电位差为式中,因此电位差为2-16已知同轴圆柱电容器得内导体半径为a,外导体得内半径为b。
若填充介质得相对介电常数。
试求在外导体尺寸不变得情况下,为了获得最高耐压,内外导体半径之比。
,则同轴线内电场强度。
为了解已知若同轴线单位长度内得电荷量为q1使同轴线获得最高耐压,应在保持内外导体之间得电位差V不变得情况下,使同轴线内最大得电场强度达到最小值,即应使内导体表面处得电场强度达到最小值。
因为同轴线单位长度内得电容为则同轴线内导体表面处电场强度为令b 不变,以比值为变量,对上式求极值,获知当比值时,取得最小值,即同轴线获得最高耐压。
2-17 若在一个电荷密度为,半径为a 得均匀带电球中,存在一个半径为b 得球形空腔,空腔中心与带电球中心得间距为d ,试求空腔中得电场强度。
解 此题可利用高斯定理与叠加原理求解。
首先设半径为得整个球内充满电荷密度为得电荷,则球内点得电场强度为式中就是由球心o 点指向点得位置矢量,再设半径为得球腔内充满电荷密度为得电荷,则其在球内点得电场强度为式中就是由腔心点指向点得位置矢量。
那么,合成电场强度即就是原先空腔内任一点得电场强度,即式中就是由球心o 点指向腔心点得位置矢量。
可见,空腔内得电场就是均匀得。
2-18 已知介质圆柱体得半径为a ,长度为l ,当沿轴线方向发生均匀极化时,极化强度为,试求介质中束缚电荷在圆柱内外轴线上产生得电场强度。
解 建立圆柱坐标,且令圆柱得下端面位于xy 平面。
由于就是均匀极化,故只考虑面束缚电荷。
而且该束缚电荷仅存在圆柱上下端面。
已知面束缚电荷密度与极化强度得关系为式中e n 为表面得外法线方向上单位矢量。
由此求得圆柱体上端面得束缚电荷面密度为,圆柱体下端面得束缚面电荷密度为。
由习题2-9获知,位于xy 平面,面电荷为得圆盘在其轴线上得电场强度为因此,圆柱下端面束缚电荷在z 轴上产生得电场强度为而圆柱上端面束缚电荷在z 轴上产生得电场强度为那么,上下端面束缚电荷在z 轴上任一点产生得合成电场强度为习题图2-18习题图2-172-19 已知内半径为a ,外半径为b 得均匀介质球壳得介电常数为,若在球心放置一个电量为q 得点电荷,试求:①介质壳内外表面上得束缚电荷;②各区域中得电场强度。
解 先求各区域中得电场强度。
根据介质中高斯定理在区域中,电场强度为在区域中,电场强度为在区域中,电场强度为再求介质壳内外表面上得束缚电荷。
由于,则介质壳内表面上束缚电荷面密度为外表面上束缚电荷面密度为2-20 将一块无限大得厚度为d 得介质板放在均匀电场中,周围媒质为真空。
已知介质板得介电常数为,均匀电场得方向与介质板法线得夹角为,如习题图2-20所示。
当介质板中得电场线方向时,试求角度及介质表面得束缚电荷面密度。
解 根据两种介质得边界条件获知,边界上电场强度切向分量与电通密度得法向分量连续。
因此可得 ;已知,那么由上式求得已知介质表面得束缚电荷,那么,介质左表面上束缚电荷面密度为10021020211cos 111θεεεεεεερE n s⎪⎭⎫⎝⎛--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅='D e D e P e n n1介质右表面上束缚电荷面密度为100220202222cos 111θεεεεεεερE n s⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅='D e D e P e n n 2-21 已知两个导体球得半径分别为6cm 及12cm,电量均为C,相距很远。