第 一 章 1-1 图1-2是液位自动控制系统原理示意图。在任意情况下，希望液面高度c维持不变，试说明系统工作原理并画出系统方块图。
图1-2 液位自动控制系统
解：被控对象：水箱；被控量：水箱的实际水位；给定量电位器设定水位ru（表征液位的希望值rc）；比较元件：电位器；执行元件：电动机；控制任务：保持水箱液位高度不变。
工作原理：当电位电刷位于中点（对应ru）时，电动机静止不动，控制阀门有一定的开度，流入水量与流出水量相等，从而使液面保持给定高度rc，一旦流入水量或流出水量发生变化时，液面高度就会偏离给定高度rc。 当液面升高时，浮子也相应升高，通过杠杆作用，使电位器电刷由中点位置下移，从而给电动机提供一定的控制电压，驱动电动机，通过减速器带动进水阀门向减小开度的方向转动，从而减少流入的水量，使液面逐渐降低，浮子位置也相应下降，直到电位器电刷回到中
点位置，电动机的控制电压为零，系统重新处于平衡状态，液面恢复给定高度rc。 反之，若液面降低，则通过自动控制作用，增大进水阀门开度，加大流入水量，使液面
升高到给定高度rc。 系统方块图如图所示：
1-10 下列各式是描述系统的微分方程，其中c(t)为输出量，r (t)为输入量，试判断哪些是线性定常或时变系统，哪些是非线性系统?
（１）222)()(5)(dttrdttrtc； （２）)()(8)(6)(3)(2233trtcdttdcdttcddttcd； （３）dttdrtrtcdttdct)(3)()()(； （４）5cos)()(ttrtc；
（５）tdrdttdrtrtc)(5)(6)(3)(； （６）)()(2trtc；
（７）.6),(6,0)(ttrttc 解：（1）因为c(t)的表达式中包含变量的二次项2()rt，所以该系统为非线性系统。 （2）因为该微分方程不含变量及其导数的高次幂或乘积项，且各项系数均为常数，所以该系统为线性定常系统。 （3）该微分方程不含变量及其导数的高次幂或乘积项，所以该系统为线性系统，但第一项()dctt
dt的系数为t，是随时间变化的变量，因此该系统为线性时变系统。
（4）因为c(t)的表达式中r(t)的系数为非线性函数cost，所以该系统为非线性系统。 （5）因为该微分方程不含变量及其导数的高次幂或乘积项，且各项系数均为常数，所以该系统为线性定常系统。
（6）因为c(t)的表达式中包含变量的二次项2()rt，表示二次曲线关系，所以该系统为非线性系统。
（7）因为c(t)的表达式可写为()()ctart，其中0(6)1(6)tat，所以该系统可看作是线性时变系统。 第 二 章 2-3试证明图2-5(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
分析 首先需要对两个不同的系统分别求解各自的微分表达式，然后两者进行对比，找出两者之间系数的对应关系。对于电网络，在求微分方程时，关键就是将元件利用复阻抗表示，然后利用电压、电阻和电流之间的关系推导系统的传递函数，然后变换成微分方程的形式，对于机械系统，关键就是系统的力学分析，然后利用牛顿定律列出系统的方程，最后联立求微分方程。 证明：(a)根据复阻抗概念可得：
22
21212112212211212112212122111()1()111oi
RuCsRRCCsRCRCRCsRuRRCCsRCRCRCCsRCsRCs
即220012121122121212112222()()iioi
dudududuRRCCRCRCRCuRRCCRCRCudtdtdtdt
取A、B两点进行受力分析，可得： o112()()()ioio
dxdxdxdx
fKxxfdtdtdtdt
o22()dxdxfKxdtdt
整理可得： 2212111221121212211222()()ooiioidxdxdxdx
fffKfKfKKKxfffKfKKKxdtdtdtdt
经比较可以看出，电网络（a）和机械系统（b）两者参数的相似关系为 11122212
11,,,KfRKfR
CC
2-5 设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x(t)曲线，指出各方程式的模态。
(1) ;)()(2ttxtx (２)）。ttxtxtx()()(2)( 2-7 由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-6所示，试求闭环传递函数Uｃ(ｓ)／Ｕｒ(ｓ)。 图2-6 控制系统模拟电路 解：由图可得
111
11
()1ioooRUUCsURRRCs
220o
UR
UR
2102
1U
URCs
联立上式消去中间变量U1和U2,可得： 12323112212()()oioo
UsRRUsRRCCsRCsRR
2-8 某位置随动系统原理方块图如图2-7所示。已知电位器最大工作角度o330max，功率放大级放大系数为K3,要求： (1) 分别求出电位器传递系数K0、第一级和第二级放大器的比例系数K1和K2； (2) 画出系统结构图；
(3) 简化结构图，求系统传递函数)(/)(0ssi。
图2-7 位置随动系统原理图 分析：利用机械原理和放大器原理求解放大系数，然后求解电动机的传递函数，从而画出系统结构图，求出系统的传递函数。 解：（1）00030180/11330180mEKVrad 313
301031010K
323
201021010K
（2）假设电动机时间常数为Tm，忽略电枢电感的影响，可得直流电动机的传递函数为 ()()1mamKsUsT
式中Km为电动机的传递系数，单位为1()/radsV。 又设测速发电机的斜率为1(/)tKVrads，则其传递函数为 ()()ttUsKs
由此可画出系统的结构图如下：
（3）简化后可得系统的传递函数为 22301230123()11()1ommt
i
mm
sTKKKKsssKKKKKKKKKK
2-9 若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出 响应tteetc21)(，试求系统的传递函数和脉冲响应。 分析：利用拉普拉斯变换将输入和输出的时间域表示变成频域表示，进而求解出系统的传递函数，然后对传递函数进行反变换求出系统的脉冲响应函数。
解：（1）1()Rss，则系统的传递函数 211142()21(1)(2)ssCsssssss
2()42()()(1)(2)CsssGsRsss
（2）系统的脉冲响应
()kt211124212L[G(s)]L[]L[1]()2(1)(2)12ttssteessss
2-10 试简化图2-9中的系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s )和C(s)/N(s)。
oK 1K 2K 3K 1mmKTs
1
s
tK
()is 1U 2U
a
U
()s
- - ()tUs 图2-9 题2-10系统结构图 分析：分别假定R(s)=0和N(s)=0，画出各自的结构图，然后对系统结构图进行等效变换，将其化成最简单的形式，从而求解系统的传递函数。 解：（a）令N（s）＝0，简化结构图如图所示：
可求出：12112()()1(1)GGCsRsHGG 令R（s）＝0，简化结构图如图所示：
3G 2G
1H 1G
1G
()Ns ()Cs 所以：3212112121(1)()()1GGGGHCsNsGGGGH （b）令N（s）＝0，简化结构图如下图所示：
12GG 23GG 4G
R C
3G 2
1211GGGH
1G
()Ns ()Cs
21211GGGH
3G 2
1211GGGH
1G
()Ns ()Cs
3G 2
1211GGGH
1G
()Ns ()Cs
1G 2G 2G 3G 4G
R C