空间向量及其运算（理科 ）
一、 学习目标：
1、知识与技能：了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义.
掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示，用向量的数量积判断向量的共线与垂直
2、过程与方法：通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。
3、情感、态度、价值观：增强数学学习信心，体会数学的科学价值，获得学习的快乐。
二、知识梳理：：已知向量111222(,,),(,,)x y z x y z ==a b
1、±=a b
2、λa =
3、⋅a b =
4、共线向量定理：（1）//a b ()≠⇔0b ⇔
（2）//a b 222(0)x y z ≠⇔ （3）与)0(≠a a 共线的单位向量是
5、共面向量定理：
6、空间向量分解定理：
7、空间向量b a ,的数量积（1）夹角 ；
（2）两个向量b a ,数量积的定义： ；
（3）两个向量b a ,数量积的性质 ， ， ， 。
（4）数量积满足的运算律： ， ， 。
8、两个向量的夹角及长度的计算：设),,(),,,(321321b b b b a a a a ==， 则=a ________，cos<b a ,>= ____________
三、基础训练：
（1）在空间四边形OABC 中，,,,OA OB OC === a b c 点M 在OA 上，且
OM=2MA ，N 是BC 的中点，则MN = .
（2）已知,R λ∈a 为非零向量，则下列结论正确的是（ ）
（A ）λa 与a 同向 （B ）|λa |=λ|a | （C ）（λa ）//a (D) |λa |=|λ|a
（3）设非零向量a ，b ，c ，,||||||
=++a b c p a b c 那么||p 的取值范围是（ ） （A ）[0,1] （B ）[1,2] （C ）[0,3] (D) [1,3]
（4）在平行六体ABCD A B C D ''''-中,AB=4,AD=3,5,AA '=90BAD ∠= ,
BAA '∠=60DAA '∠= 则AC '的长度为
四、合作、探究、展示： 例1、如图所示，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，,,AB AD == a b ,AA '= c P 是CA '的中点，M 是CD '的中点，N 是C D ''的中点，点Q 在CA '上，且:4:1,CQ QA '=用基底{a ，b ，c }表示以下四个向量：（1）;AP （2）;AM （3）;AN （4）AQ
例2、 棱长为1的正方体111111BB BD,,DD G F E 分别是，，中，D C B A ABCD -的中点。
（1）求证：EF ⊥CF ；（2）求CG EF 与所成角的余弦；（3）求CE 的长。
例3、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，且PA=AD,E 、F 分别为线段AB 、PD 的中点。
求证：（1）AF//平面PEC ；（2）AF ⊥平面PCD.
五、课堂检测：、
1.已知(cos ,1,sin ),(sin ,1,cos )αααα==a b ，则向量+a b 与-a b 的夹角是（ ）
（A ）90 （B ）60 （C ）30 （D ）0
2.如果三点(1,5,2),(2,4,1),(,3,2)A B C a b -+在同一直线上，那么a = ，b = 。
六、体验高考
1.（2009全国卷Ⅰ理）已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为
A 、43
B 、45
C 、47
D 、4
3 2.（2005年天津，理12）PA ⊥平面ABC ，PA=AC=BC=a ，90ACB ∠= ，异面
直线PB 与AC 所成角的正切值为
七、课后作业
1.下列各组向量中不平行的是（ ）
（A ）(1,2,2),(2,4,4)=-=--a b （B ）(1,0,0),(3,0,0)==-c d
（C ）(2,3,0),(0,0,0)==e f （D ）(2,3,5),(16,24,40)=-=-g h
2.下列条件使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）
（A ）2OM OA OB OC =-+ （B ）OM OA OB OC +++=0
（C ）111333
OM OA OB OC =+- （D ）MA MB MC ++=0 3.下列命题中，正确的是（ ）
(A)若a 与b 共线，则a 与b 所在直线平行
（B ）若//a b ，则存在唯一的实数，使λ=a b
（C ）若{,,}a b c 为空间的一组基底，则{,,}+++a b b c c a 构成空间的另一组基底
（D ）若1123
OP OA OB =+ ，则P 、A 、B 三点共线 4.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足,,,
AB AC AC AD AB AD ⋅=⋅=⋅=000 则BCD ∆ 是（ ）
（A ）钝角三角形（B ）锐角三角形（C ）直角三角形（D ）不确定
5..已知空间四边形ABCD 中，2,565,AB CD =-=+- a c a b c 对角线AC 、BD 的
中点分别为E 、F ，则EF =
6.已知点A 、B 、C 的坐标分别为（0，1，0），（-1，0，1），（2，1，1），点P 的
坐标为(,0,)x z ，若,,PA AB PA AC ⊥⊥ 则P 点的坐标为
8、（A 层能力提升）.（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ， 2AD =,2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上， ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 . (II ）求二面角S AM B --的大小。