欢迎阅读空间向量1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘．2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.第1课时 空间向量及其运算空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是：1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量．(2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ．(3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量(1) 共面向量：平行于 的向量．基础过关考纲导读高考导航 空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积坐标表示：夹角和距离公式求距离求空间角证明平行与垂直2．线性运算律(1) 加法交换律：a ＋b ＝ ．(2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ．(2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ．共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理(1) 空间向量的基底： 的三个向量．(2) 空间向量基本定理：如果a ，b ，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使 ．空间向量基本定理的推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x ,,，使 ．6．空间向量的数量积(1) 空间向量的夹角： ．(2) 空间向量的长度或模： ．(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a 、b ，则a ·b ＝ ．空间向量的数量积的常用结论：(a) cos 〈a 、b 〉＝ ； (b) ?a ?2＝ ；(c) a ⊥b ⇔ ．例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y AB x AD AF ++=，求x －y 的值.解：易求得0,21=-∴==y x y x 变式训练1. 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，=A A 1c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是( )A ．?21a ＋21b ＋c B ．21a ＋21b ＋cC ．21a ?21b ＋cD ．?21a ?21b ＋c解：A例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.证明：记,,,1c AA b AC a AB ===则c b CC DC DC b a AD AB DB c a AB +=+=-=-=+=21,21,111∴11AB c a DC DB =+=+,∴11,,DC DB AB 共面.∵B 1∉平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.变式训练2：正方体ABCD －EFGH 中，M 、N 分别是对角线AC 和BE 上的点，且AM ＝EN ．典型例题ABCD AC 1B 1(4) 空间向量的数量积的运算律：(a ) 交换律a ·b ＝ ；(b ) 分配律a ·(b ＋c )＝ ．(1) 求证：MN ∥平面FC ； (2) 求证：MN ⊥AB ；(3) 当MA 为何值时，MN 取最小值，最小值是多少？解：(1) 设.)1(,BF k BC k MN k ACMCEB NB +-===则(2) .0)1(=⋅-⋅-=⋅AB BF k AB BC k AB MN (3) 设正方体的边长为a ,也即时AC AM21=，a 22=0=．G 、H ，求19变式训练4：已知空间四边形OABC 中，M 为BC AB ＝OC ，求证QN PM ⊥．证明：法一：)(21OC OB OM +=)(21OC AB OM PO PM +=+=∴故QN PM ⊥B 11．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果．3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式c osθ＝bab a ⋅．4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l 1、l 2，AB 为其公垂线段，C 、D 分别为l 1、l 2上的任意一点，n 为与AB 共线的向量，则｜AB ｜＝||||n n CD ⋅.5．设平面α的一个法向量为n ，点P 是平面α外一点，且P o ∈α，则点P 到平面α的距离是d ＝||||n n P P o ⋅.第2课时 空间向量的坐标运算设a ＝),,(321a a a ，b ＝),,(321b b b (1) a ±b ＝(2) λa ＝ ． (3) a ·b ＝ ．(4) a ∥b ⇔ ；a ⊥b ⇔ ． (5) 设),,(),,,(222111z y x B z y x A ==则AB ＝ ，=AB ． AB 的中点M 的坐标为 ． 例1. 若a ＝(1,5,－1)，b ＝(－2,3,5)（1）若(k a +b )∥(a －3b )，求实数k 的值； （2）若(k a +b )⊥(a －3b )，求实数k 的值； （3）若b a k 取得最小值，求实数k 的值． 解：(1)31-=k ； 小结归纳典型例题基础过关(2)3106=k ； (3)278-=k 变式训练1. 已知O 为原点，向量()()3,0,1,1,1,2,,OA OB OC OA BC ==-⊥∥OA ，求AC ． 解：设()(),,,1,1,2OC x y z BC x y z ==+--，∵,OC OA BC ⊥∥OA ，∴0OC OA ⋅=，()BC OA R λλ=∈，∴()()30,1,1,23,0,1x z y z λ+=⎧⎪⎨--=⎪⎩，即30,13,10,2.x z x y z λλ+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩解此方程组，得7211,1,,101010x y z λ=-===。

∴721,1,1010OC ⎛⎫=-⎪⎝⎭，3711,1,1010AC OC OA ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭。

例2. 如图，直三棱柱111C B A ABC -，底面ABC ∆中，CA ＝CB ＝1， 90=∠BCA ，棱21=AA ，M 、N 分别A 1B 1、A 1是的中点． (1) 求BM 的长； (2) 求〉〈11,cos CB BA 的值； (3) 求证：N C B A 11⊥．解：以C 为原点建立空间直角坐标系xyz O -.(1) 依题意得B （0，1，0），M （1，0，1）．3)01()10()01(222=-+-+-=∴BM . (2) 依题意得A 1（1，0，2），B （0，1，0），C （0，0，0），B 1（0，1，2）.1030,cos 111111=⋅⋅>=<∴CB BA CB BA CB BA . (3) 证明：依题意得C 1（0，0，2），N )0,21,21(),2,1,1(),2,21,21(11=--=∴N C B A .变式训练2. 在四棱锥P －ABCD 中， 底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，PA ＝2，E 为PD 的中点．(1) 在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离； (2) 求(1) 中的点N 到平面PAC 的距离．解：(1) 建立空间直角坐标系A －BDP ，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(3, 0, 0)、C(3, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0,21, 1)，依题设N(x , 0, z )，则NE ＝(－x ,21, 1－z )，由于NE ⊥平面PAC ，xyz B 1C 1 A 1 C BA MNABPED·∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AC NE AP NE 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--0213010)0,1,3()1,21,(0)2,0,0()1,21,(x z z x z x ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒163z x ，即点N 的坐标为(63, 0, 1)，从而N 到AB 、AP 的距离分别为1，63.PE :ED⎪⎪⎪⎩=-231)1(λλa a 解得23,21,2121=-==λλλ，即21=λ时，AE AC BF 2321+-=．亦即，F 是PC 的中点时，AE AC BF ,,共面，又⊄BF 平面AEC ，所以当F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC ．例4. 如图，多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 所截而得，其中AB ＝4，BC ＝1，BE ＝3，CF ＝4. (1) 求EF 和点G 的坐标； (2) 求GE 与平面ABCD 所成的角；(3) 求点C 到截面AEFG 的距离．解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)， E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴)1,0,1(-=EF 又∵EF AG =，设G(0，0，z)，则(－1，0，z) ＝(－1，0，1) ∴z ＝1 ∴G(0，0，1) (2)平面ABCD 的法向量).1,0,0(=DG)2,4,1(=GE ，设GE 与平面ABCD 成角为θ，则PG0)， P (0，0，4)，故E (1，1，0)，GE ＝(1，1，0)， PC ＝(0，2，4)。