限时练(一)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x ∈N |y ＝3－x }，则A ∩B ＝( ) A.{3} B.{1，3} C.{1，2}D.{1，2，3}解析 由x 2－6x ＋8<0得2<x <4，故A ＝{x |2<x <4}，又B ＝{x ∈N |y ＝3－x }＝{x ∈N |x ≤3}＝{0，1，2，3}，故A ∩B ＝{3}. 答案 A2.复数2＋i 1－2i 的共轭复数是( )A.－35iB.35iC.－iD.i解析 法一 ∵2＋i1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝2＋i ＋4i －25＝i ，∴2＋i1－2i 的共轭复数为－i.法二 ∵2＋i1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i （1－2i ）1－2i ＝i ，∴2＋i1－2i的共轭复数为－i.答案 C3.已知数列{a n }满足：对于m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A.132B.116C.14D.12解析 由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝12. 令m ＝1，得12a n ＝a n ＋1，所以数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列. 因此a 5＝a 1q 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝132. 答案 A4.已知角α的终边经过点P (2，m )(m ≠0)，若sin α＝55m ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－3π2＝( )A.－35B.35C.45D.－45 解析 ∵角α的终边过点P (2，m )(m ≠0)， ∴sin α＝m4＋m 2＝55m ，则m 2＝1. 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－32π＝cos 2α＝1－2sin 2α＝35.答案 B5.在ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( ) A.48B.36C.24D.12解析 AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－13AD →＝12AB →2－29AD→2＝24. 答案 C6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下面是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x ＝3，n ＝2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s ＝( )A.8B.17C.29D.83 解析由程序框图知，循环一次后s＝2，k＝1.循环二次后s＝2×3＋2＝8，k＝2.循环三次后s＝8×3＋5＝29，k＝3.满足k>n，输出s＝29.答案 C7.如图，半径为R的圆O内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为A，B，C，D，这四个小圆都与圆O内切，且相邻两小圆外切，则在圆O内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为()A.3－2 2B.6－4 2C.9－6 2D.12－8 2解析由题意，A，O，C三点共线，且AB⊥BC.设四个小圆的半径为r，则AC＝AB2＋BC2，∴2R－2r＝22r，∴R＝(2＋1)r.所以，该点恰好取自阴影部分的概率P＝4πr2πR2＝4（2＋1）2＝12－8 2.答案 D8.已知函数f(x)＝3＋log a(7－x)(a>0，a≠1)的图象恒过点P，若双曲线C的对称轴为两坐标轴，一条渐近线与3x－y－1＝0垂直，且点P在双曲线C上，则双曲线C 的方程为( ) A.x 29－y 2＝1 B.x 2－y 29＝1C.x 23－y 2＝1D.x 2－y 23＝1解析 由已知可得P (6，3)，因为双曲线的一条渐近线与3x －y －1＝0垂直，故双曲线的渐近线方程为x ±3y ＝0，故可设双曲线方程为x 2－(3y )2＝λ，即x 2－9y 2＝λ，由P (6，3)在双曲线上可得62－9×(3)2＝λ，解得λ＝9.所以双曲线方程为x 29－y 2＝1. 答案 A9.函数f (x )＝x 2－2ln|x |的图象大致是( )解析 f (x )＝x 2－2ln|x |为偶函数，排除D.当x >0时，f (x )＝x 2－2ln x ，f ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x，所以当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x >1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，排除B ，C ，故选A. 答案 A10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.163πB.112πC.173πD.356π解析 该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个14圆锥，然后挖掉一个相同的14圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等.由图可知，球的半径为2，则V ＝23πr 3＝16π3. 答案 A11.将函数f (x )＝4sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，若对于满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π6，则φ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12 解析 由题意知，g (x )＝4sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8，不妨设此时x 1，x 2分别是函数f (x )和g (x )的最小值点和最大值点.即f (x 1)＝－4，g (x 2)＝4.则x 1＝3π4＋k 1π(k 1∈Z )，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＋k 2π(k 2∈Z )，|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＋（k 1－k 2）π(k 1，k 2∈Z ).又|x 1－x 2|min ＝π6，0<φ<π2，所以φ＝π3. 答案 C12.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a <23b 在R 上是单调递增函数，则c 2b －3a的最小值是( ) A.1B.2C.3D.4解析 依题意，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0在x ∈R 恒成立.∴a >0，且Δ＝4b 2－12ac ≤0，则b 2≤3ac ，c ≥b 23a >0.又a <23b ，知2b －3a >0，则3a (2b －3a )≤⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋2b －3a 22＝b 2，故c2b －3a ≥b 23a （2b －3a ）≥b 2b 2＝1.答案 A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为5∶1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个数为________.解析 由条件易知B 层中抽取的样本数是2，设B 层总体数是n ，则又由B 层中甲、乙都被抽到的概率是C 22C 2n ＝128，可得n ＝8，所以总体中的个数是5×8＋8＝48.答案 4814.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是________. 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中含x 的项是(1－x )4展开式中的常数项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的x 与(1－x )4展开式中含x 2的项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的2x 的和，所以其系数为1＋2×1＝3. 答案 315.(2018·烟台模拟)已知F (2，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过F 且垂直于x 轴的弦的长度为6，若A (－2，2)，点M 为椭圆上任一点，则|MF |＋|MA |的最大值为________.解析 ∵过点F 的弦长为6，得2b 2a ＝6，b 2＝3a ，① 又a 2－b 2＝c 2＝4，②联立①②，解得a ＝4，b ＝2 3.过点A 作x 轴垂线交椭圆于M ，当点M 在第三象限时，|MF |＋|MA |取最大值2a＋2＝8＋ 2. 答案 8＋ 216.已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ≠0)，若f (x )存在2个零点x 1，x 2，且x 1，x 2都大于0，则a 的取值范围是______.解析 f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a ， 当a >0时，易知x ＝0是极大值点，x ＝2a 是极小值点. ∵f (0)＝1>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝a 2－4a 2<0，解得a ∈(0，2). 当a <0时，易知x ＝2a 是极小值点，x ＝0是极大值点.又f (0)＝1>0，∴函数f (x )只有一个大于零的零点，不满足题意. 综上，实数a 的取值范围是(0，2). 答案 (0，2)。