平面向量： 1. 已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ等于( )

A．－2 B．－13

C．－1 D．－23 [答案] C [解析] λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa＋b与c共线， ∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)，若a＋2b与c垂直，则k＝( ) A．－1 B．－3 C．－3 D．1 [答案] C [解析] a＋2b＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a＋2b与c垂直，∴(a＋2b)·c＝3k＋33＝0， ∴k＝－3. (理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为( )

A．－611 B．－116

[答案] C [解析] a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a＋b与a－λb垂直，

∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611. 3. 设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为( ) A．150° B．120° C．60° D．30° [答案] B [解析] 如图，在▱ABCD中， ∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形， ∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.

(理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝32，a与b的夹角为60°，则|b|＝( )

[答案] A

[解析] ∵|a－b|＝32，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝34， ∵|a|＝1，〈a，b〉＝60°， 设|b|＝x，则1＋x2－x＝34，∵x>0，∴x＝12. 4. 若AB→·BC→＋AB→2＝0，则△ABC必定是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 [答案] B

[解析] AB→·BC→＋AB→2＝AB→·(BC→＋AB→)＝AB→·AC→＝0，∴AB→⊥AC→， ∴AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形． 5. (文)若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－2,4)，则用a，b表示c为( ) A．－a＋3b B．a－3b C．3a－b D．－3a＋b [答案] B [解析] 设c＝λa＋μb，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，

∴ λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴ λ＝1μ＝－3，∴c＝a－3b，故选B. (理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC→＝a，BD→＝b，则AF→等于( )

a＋12b a＋13b

a＋14b a＋23b [答案] B [解析] ∵E为OD的中点，∴BE→＝3ED→， ∵DF∥AB，∴|AB||DF|＝|EB||DE|，

∴|DF|＝13|AB|，∴|CF|＝23|AB|＝23|CD|， ∴AF→＝AC→＋CF→＝AC→＋23CD→＝a＋23(OD→－OC→) ＝a＋23(12b－12a)＝23a＋13b. 6. 若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则AB→·BC→的值为( ) A．19 B．14 C．－18 D．－19 [答案] D

[解析] 据已知得cosB＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB→·BC→＝|AB→|×|BC→|×(－cosB)＝

7×5×－1935＝－19. 7. 若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为( ) A．12 B．23 C．32 D．6 [答案] D [解析] a·b＝4(x－1)＋2y＝0，∴2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥232x＋y＝6，

等号在x＝12，y＝1时成立． 8. 若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得x2OA→＋xOB→＋BC→＝0，实数x为( )

A．－1 B．0

[答案] A

[解析] x2OA→＋xOB→＋OC→－OB→＝0，∴x2OA→＋(x－1)OB→＋OC→＝0，由向量共线的充要条件及A、B、C共线知，1－x－x2＝1，∴x＝0或－1，当x＝0时，BC→＝0，与条件矛盾，∴x＝－1.

9. (文)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则AP→·(AB→＋AC→)( ) A．最大值为8 B．最小值为2 C．是定值6 D．与P的位置有关 [答案] C [解析] 以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)，A(0，3)，AB→＋AC→＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)， 设P(x,0)，－1≤x≤1，则AP→＝(x，－3)， ∴AP→·(AB→＋AC→)＝(x，－3)·(0，－23)＝6，故选C.

(理)在△ABC中，D为BC边中点，若∠A＝120°，AB→·AC→＝－1，则|AD→|的最小值是( )

[答案] D

[解析] ∵∠A＝120°，AB→·AC→＝－1， ∴|AB→|·|AC→|·cos120°＝－1， ∴|AB→|·|AC→|＝2， ∴|AB→|2＋|AC→|2≥2|AB→|·|AC→|＝4， ∵D为BC边的中点，∴AD→＝12(AB→＋AC→)，∴|AD→|2＝14(|AB→|2＋|AC→|2＋2AB→·AC→)＝14

(|AB→|2＋|AC→|2－2)≥14(4－2)＝12，

∴|AD→|≥22. 10. 如图所示，点P是函数y＝2sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0)的图象的最高点，M，N是该图象与x轴的交点，若PM→·PN→＝0，则ω的值为( )

C．4 D．8 [答案] B

[解析] ∵PM→·PN→＝0，∴PM⊥PN，又P为函数图象的最高点，M、N是该图象与x轴的交点，∴PM＝PN，yP＝2，∴MN＝4，∴T＝2πω＝8，∴ω＝π4. 11. 如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中AE→＝13AB→，AF→＝12AD→，AK→＝λAC→，则λ的值为( )

[答案] A

[解析] 如图，取CD的三等分点M、N，BC的中点Q，则EF∥DG∥BM∥NQ，易知AK→

＝15AC→，∴λ＝15. 12. 已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为( ) B．2

C．－2 D．－12 [答案] C [解析] ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)， 由条件知(2m－4)·(－1)－(3m＋8)×4＝0， ∴m＝－2，故选C.

13. 在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足BM→＝2MA→，则CM→·CB→等于( ) A．2 B．3 C．4 D．6 [答案] B

[解析] CM→·CB→ ＝(CA→＋AM→)·CB→ ＝(CA→＋13AB→)·CB→

＝CA→·CB→＋13AB→·CB→ ＝13|AB→|·|CB→|·cos45° ＝13×32×3×22＝3. 14. 在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则AB→·AD→＝________. [答案] 152 [解析] 由条件知，|AB→|＝|AC→|＝|BC→|＝3，〈AB→，AC→〉＝60°，〈AB→，CB→〉＝60°，CD→＝23CB→，

∴AB→·AD→＝AB→·(AC→＋CD→)＝AB→·AC→＋AB→·23CB→＝3×3×cos60°＋23

×3×3×cos60°＝152.

15. 已知向量a＝(3,4)，b＝(－2,1)，则a在b方向上的投影等于________． [答案] －255

[解析] a在b方向上的投影为a·b|b|＝－25＝－255. 16. 已知向量a与b的夹角为2π3，且|a|＝1，|b|＝4，若(2a＋λb)⊥a，则实数λ＝________. [答案] 1

[解析] ∵〈a，b〉＝2π3，|a|＝1，|b|＝4，∴a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1×4×cos2π3＝－2，∵(2a＋λb)⊥a，∴a·(2a＋λb)＝2|a|2＋λa·b＝2－2λ＝0，∴λ＝1. 17. 已知：|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R＋)，则mn＝________.

[答案] 3 [解析] 设mOA→＝OF→，nOB→＝OE→，则OC→＝OF→＋OE→，

∵∠AOC＝30°，∴|OC→|·cos30°＝|OF→|＝m|OA→|＝m， |OC→|·sin30°＝|OE→|＝n|OB→|＝3n，

两式相除得：m3n＝|OC→|cos30°|OC→|sin30°＝1tan30°＝3，∴mn＝3. 18. (文)设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且OA→＝－2i＋j，OB→＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________． [答案] 5

[解析] 由条件知，i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴OA→·OB→＝(－2i＋j)·(4i＋3j)＝－8＋3＝－5，又OA→·OB→＝|OA→|·|OB→|·cos〈OA→，OB→〉＝55cos〈OA→，OB→〉， ∴cos〈OA→，OB→〉＝－55，∴sin〈OA→，OB→〉＝255，

∴S△OAB＝12|OA→|·|OB→|·sin〈OA→，OB→〉＝12×5×5×255＝5.