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平面向量经典例题讲解

平面向量经典例题讲解讲课时间:___________姓名:___________课时:___________讲课教师:___________一、选择题(题型注释)1. 空间四边形OABC 中,OA a =,OB b =, OC c =,点M 在OA 上,且MA OM 2=,N 为BC 的中点,则MN =( )A 121-232a b c + B 211322a b c ++C 112-223a b c +D 221-332a b c + 【答案】B【解析】 试题分析:因为N为BC的中点,则1()ON OB OC =+,12()23MN ON OM OB OC OA =-=+-=112223b c a +-,选B考点:向量加法、减法、数乘的几何意义;2.已知平面向量a,b 满足||1=a ,||2=b ,且()+⊥a b a ,则a 与b 的夹角是( ) (A (B (C (D 【答案】D【解析】 试题分析:2()()00a b a a b a a a b +⊥∴+⋅=∴+⋅=,||1=a ,||2=b ,设夹角为θ,则2112cos a a b +⋅=+⨯ 考点:本题考查向量数量积的运算点评:两向量垂直的充要条件是点乘积得0,用向量运算得到cos θ的值,求出角 3.若OA 、OB 、OC 三个单位向量两两之间夹角为60°,则OA OB OC ++=【答案】D【解析】试题分析: OA 、OB 、OC 三个单位向量两两之间夹角为60°222222232cos602cos602cos60a b c a b c ab bc ac a b b c a c ++=+++++=+++6=6a b c ++=考点:向量的数量积.4.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O E ,是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC a =,BD b =,则AF =( ) A.1142a b + B.1233a b + C.1124a b + D.2133a b + 【答案】D 【解析】试题分析:由题意可知,AEB ∆与FED ∆相似,且相似比为3:1,所以13DF DC =,由向量加减法的平行四边形法则可知,,AB AD a AD AB b +=-=,解得,,a b a bAD AB +-==,由向量加法的三角形法则可知,121333AF AD DF AD AB ab =+=+=+,故D 正确。

考点:平面向量的加减法5.在边长为1的等边ABC ∆中,,D E 分别在边BC 与AC 上,且BD DC =,2AE EC = 则AD BE ⋅=( ) A .【答案】A 【解析】试题分析:由已知,D E 分别在边BC 与AC 上,且BD DC =,2AE EC = 则D 是BC 的中轴点,E 为AC 的三等分点,以D 为坐标原点,DA 所在直线为y 轴,BC 边所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系,,设),(y x E ,由EC AE =2可得:考点:平面向量的坐标运算6.在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,(2,4)AB =,(1,3)AC =,则DA =( ) A .(2,4) B .(3,5) C .(1,1) D .(-1,-1) 【答案】C . 【解析】试题分析:()(1,1)DA AD AC AB =-=--=. 考点:平面向量的线性运算.7.已知向量()1,2a =,()//a b b +,则b 可以为( )A .()1,2B .()1,2-C .()2,1D .()2,1- 【答案】A 【解析】试题分析:设),(y x b =,则)2,1(++=+y x b a ,因()//a b b +,所以0)2()1(=+-+y x y x ,02=-x y ,只有A 满足考点:向量共线的条件8.已知向量(2,3),(1,2)a b ==-,若4ma b +与2a b -共线,则m 的值为( )A . 2 C .2- 【答案】D 【解析】试题分析:由已知得4ma b +)83,42()2,1(4)3,2(+-=-+=m m m ,2a b -)1,4()2,1(2)3,2(-=--=又因为4ma b +与2a b -共线,所以有228140)83(4)1()42(-=⇒-=⇒=+⨯--⨯-m m m m , 故选D .考点:1.向量的坐标运算;2.向量平行的坐标条件.9.已知平面直角坐标系内的两个向量)2,1(=→a ,)23,(-=→m m b ,且平面内的任一向量→c 都可以唯一的表示成→→→+=b a c μλμλ,(为实数),则实数m 的取值范围是( ) A .(,2)-∞ B .(2,)+∞ C .(,)-∞+∞ D .(,2)(2,)-∞+∞【答案】D【解析】试题分析:平面内的任一向量→c 都可以唯一的表示成→→→+=b a c μλμλ,(为实数)的充要条件是)2,1(=→a ,)23,(-=→m m b 不共线,即()132202m m m ⨯--⨯≠⇒≠,故选D.考点:平面向量的基底及向量共线10.若向量(1,2)=-a ,(2,1)=b ,(4,2)--c =,则下列说法中错误..的是( ) A. a b ⊥B. 向量a 与向量c 的夹角为90︒C. b ∥cD.对同一平面内的任意向量d ,都存在一对实数12,k k ,使得12k k =d b +c 【答案】D 【解析】试题分析:022=-=⋅b a ,故A 正确;0)2()2()4(1=-⨯-+-⨯=⋅c a ,所以B 故C 正确;因为c b ,是共线的,不能作为基底,故D 错 考点:向量的夹角11.已知向量()3,4a =,则实数λ的值为( ) A .1 C .1± 【答案】D 【解析】试题分析:因为()3,4a=,所以1λ=±,故选D .考点:1、向量的数乘运算;2、向量的模.12.若向量()2,1a =-,()0,2b =,则以下向量中与a b +垂直的是( )A .()1,2-B .()1,2C .()2,1D .()0,2 【答案】A 【解析】试题分析:∵向量()2,1a =-,()0,2b =,∴(2,1)a b +=,而12(2)10⨯+-⨯=,∴以下向量中与a b +垂直的是()1,2-. 考点:向量垂直的充要条件.13.在边长为1的正三角形ABC 中,设2BC BD =,CA CE λ=,若14AD BE ⋅=- 则λ的值为( ) (A (B)2 (C (D )3【答案】C【解析】试题分析:由题意可得:()()()12AD BE AB BD BC CE AB BC BC CA λ⎛⎫⋅=++=++ ⎪211AB BC BC AB CA BC CA λλ⋅++⋅+⋅=考点:向量的应用.14.已知向量(1,2)a =, (1,0)b =,(3,4)c=,若λ为实数,()a b c λ+⊥,则λ=( ) A 【答案】D 【解析】试题分析:()1,2a b λλ+=+,因为()a b c λ+⊥,所以()()31420a b c λλ+⋅=++⨯=,解得故D 正确.考点:向量垂直;向量的数量积.15.在△ABC 中,已知||4,||1AB AC ==,,则AB AC ⋅的值为( )(A )2-(B )2(C )4±(D )2±【答案】D 【解析】试题分析:由题根据三角形面积公式不难得到角A 的正弦值,然后得到其对应的余弦值,结合平面向量数量积运算求得结果.141sin A 2ABC AC AB S AC AB ∆====,,cosA AB AC AB AC ∴⋅=⨯⨯D考点:平面向量的数量积二、填空题(题型注释)16.已知两个非零向量a 与b ,定义|a×b|=|a|·|b|sin θ,其中θ为a 与b 的夹角.若a =(-3,4),b =(0,2),则|a×b|的值为________. 【答案】6 【解析】|a|5,|b|2,a·b=-3×0+4×2=8,所以cosθ∈[0,π],所以故根据定义可知6. 17.△ABC 中AB =2,AC =3,点D 是△ABC 的重心,则AD ·BC =________. 【解析】设E 为边BC 的中点,因为点D 是△ABC 的重心,所以AD =3AE =32(AB +AC )3(AB +AC ),又BC =AC -AB ,所以AD ·BC =(AB +AC )·(AC -AB )=(AC 2-AB 2)=18.已知a =(2,0),||3b =,,a b 的夹角为2|a b -= 【答案】13【解析】2224416a b a a b b -=-⋅+=-考点:向量的基本运算.19.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点,∠BAC=90°,AB=2,BC=4,球O 的表面积为48π,则异面直线AB 与OC 所成角余弦值为 .【解析】试题分析:过O 作BC 的垂线,垂足为M ,以MA 所在线为x 轴,以MC 所在线为y 轴,以MO 所在线为z 轴,建立直角坐标系,所以(2,00)A ,,(0,2,0)B -,(0,2,0)C ,,(2,2,0)BA =,(0,2,OC =考点:1.空间向量法;2.夹角公式.20.已知||1a =,||2b =,a 与b 的夹角为120︒,0a c b ++=,则a 与c 的夹角为 . 【答案】90︒【解析】试题分析:要求a 与c 的夹角一般可先求两向量的数量积a c ⋅,而()c a b =-+,因此a c ⋅=()a ab -⋅+=2a ab --⋅,而根据已知,这是可求的,而且其结果是0,故a ⊥c ,夹角为90︒.考点:向量的夹角.21.已知0=++c b a ,且a 与c 的夹角为︒60,,则〉〈b a ,cos 等于 .【解析】试题分析:∵0=++c b a ,∴()b a c =-+,∴22202||||cos60b a c a c =++, ∴2223||||a a c a c =++,∴222||||0a a c c --=,∴||||a c =, ∴22023()||||||cos60||2a b a a c a a c a a c a •=-+=--•=--=-23||32,2||||||3||a ab a b a b a a -•>===-.考点:1.向量的运算;2.两向量的夹角公式.22.已知点G 为ABC △的重心,过点G 作直线与AB ,AC 两边分别交于,M N 两点,且,AM xAB =,AN y AC = ,x y R ∈,则【答案】3 【解析】试题分析:根据题意画出图像,因为G 为ABC △的重心,所以()211111132333AG AB AC AM AN AM AN x y x y ⎛⎫=⨯+=+=+ ⎪,因为:,,M G N 三点共线,所以所以答案为: 3. 考点:1.向量的运算;2.三点共线的性质.23.已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=,若//a b ; 【答案】-6【解析】试题分析:由b a λ=可知,2λ=-,所以6x =-. 考点:空间向量共线定理.24.设向量(3,1),(2,2)a b ==-,若()()a b a b λλ+⊥-,则实数 【解析】试题分析:由已知得(3a b λλ+=+(3a b λλ-=- 由()()a b ab λλ+⊥-得()()0a b a b λλ+⋅-= 即0842=-λ,解得考点:向量的数量积的坐标运算.25.已知向量(1,2)a =-,(2,3)b =,若m a b λ=+与n a b =-的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是 . 【答案】9λ<且1x ≠- 【解析】试题分析:m a b λ=+(2,23)λλ=-++, n a b =-(3,1)=--,若m a b λ=+与n a b =-的夹角为钝角,则()()3(2)(23)0a b a b λλλ+⋅-=--+-+<,即:9λ<,又m n 与不共线,则(2)λ--+3+(23)0λ+≠,即:1λ≠-,则9λ<且1x ≠-考点:1.向量的夹角;2.向量的数量积;3.共线向量;4.向量的坐标运算公式;26.已知向量b a ,满足,且,则a 在b 上的投影为_______________. 【解析】试题分析:设a 与b 的夹角为θ,∵向量a ,b 满足)()2(=-•+b a b a ∴22146a a b b a b +⋅+=+⋅+=,∴a b ⋅=1.∴cos θ=a ba b ⋅⋅=12,再由θ的范围为,则a 在b上的投影为132π= 考点:向量的数量积。

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