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2020-2021学年山东省泰安一中高二上学期期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年山东省泰安一中高二(上)期中数学试卷一、选择题(共8小题).1.(3分)直线l1:ax+2y+a=0与直线l2:2x+ay﹣a=0互相平行,则实数a=()A.﹣4B.4C.﹣2D.22.(3分)如图,已知三棱锥O﹣ABC,点M,N分别是OA,BC的中点,点G为线段MN 上一点,且MG=2GN,若记,则=()A.B.C.D.3.(3分)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.﹣114.(3分)已知=(2,﹣1,2),=(﹣1,3,﹣3),=(13,6,λ),若向量,,共面,则λ=()A.2B.3C.4D.65.(3分)对抛物线y=4x2,下列描述正确的是()A.开口向上,焦点为(0,1)B.开口向上,焦点为C.开口向右,焦点为(1,0)D.开口向右,焦点为6.(3分)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤2,若将军从点A(3,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为()A.B.C.D.7.(3分)已知F1,F2分别为双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点,点A在双曲线上,且∠F1AF2=60°,若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2(O为坐标原点)的中点,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.8.(3分)椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈[,],则该椭圆离心率的取值范围为()A.[,1]B.[,]C.[,1)D.[,]二、多选题(共4小题)9.(3分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为CC1、BC、CD、BB1的中点,则下列结论正确的是()A.B1G⊥BCB.平面AEF∩平面AA1D1D=AD1C.A1H∥面AEFD.二面角E﹣AF﹣C的大小为10.(3分)已知直线x sinα+y cosα+1=0(α∈R),给出下列命题正确的是()A.直线的倾斜角是π﹣αB.无论α如何变化,直线不过原点C.无论α如何变化,直线总和一个定圆相切D.当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于111.(3分)已知曲线C的方程为,则下列结论正确的是()A.当k=4时,曲线C为圆B.当k=0时,曲线C为双曲线,其渐近线方程为C.“k>4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件D.存在实数k使得曲线C为双曲线,其离心率为12.(3分)已知F1、F2是椭圆C:的左、右焦点,M、N是左、右顶点,e为椭圆C的离心率,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,已知=0,3,|AF1|=2|AF2|,设直线AB的斜率为k,直线AM和直线AN的斜率分别为k1,k2,直线BM和之间BN的斜率分别为k3,k4,则下列结论一定正确的是()A.e=B.k=C.k1•k2=﹣D.k3•k4=三、填空题(共4小题)13.(3分)已知点P(2,﹣3),Q(3,2),直线ax+y+2=0与线段PQ相交,则实数a 的取值范围是.14.(3分)如图所示,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M为棱CC1的中点,则异面直线BD1与AM所成角的余弦值为.15.(3分)若△ABC的两个顶点坐标A(﹣4,0)、B(4,0),△ABC的周长为18,则顶点C的轨迹方程为.16.(3分)设F1,F2是双曲线﹣=1的两个焦点,P是该双曲线上一点,且|PF1|:|PF2|=2:1,则△PF1F2的面积等于四、解答题(共6小题)17.已知P(3,2),一直线l过点P,①若直线l在两坐标轴上截距之和为12,求直线l的方程;②若直线l与x、y轴正半轴交于A、B两点,当△OAB面积为12时,求直线l的方程.18.已知过点M(0,2)且斜率为k的直线l与圆C:(x﹣1)2+y2=1交于A,B两点.(1)求斜率k的取值范围;(2)以点M为圆心,r为半径的圆与圆C总存在公共点,求r的取值范围;(3)O为坐标原点,求证:直线OA与OB斜率之和为定值.19.如图,四面体ABCD中,平面DAC⊥底面ABC,AB=BC=AC=4,AD=CD=,O是AC的中点,E是BD的中点.(1)证明:DO⊥底面ABC;(2)求二面角D﹣AE﹣C的余弦值.20.已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y=±x,且双曲线过点(,).(Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)过双曲线右焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A,B,求|AB|.21.已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,CD⊥平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点.(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;(Ⅱ)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小;(Ⅲ)线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为,若存在,求线段PM的长度;若不存在,说明理由.22.已知椭圆C:的离心率,且圆x2+y2=2过椭圆C的上,下顶点.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l的斜率为,且直线l交椭圆C于P、Q两点,点P关于原点的对称点为E,点A(﹣2,1)是椭圆C上一点,判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值,如果是,请求出此定值:如果不是,请说明理由.参考答案一、选择题(共8小题)1.(3分)直线l1:ax+2y+a=0与直线l2:2x+ay﹣a=0互相平行,则实数a=()A.﹣4B.4C.﹣2D.2【分析】根据两直线平行,一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,求得a的值.解:∵直线l1:ax+2y+a=0与直线l2:2x+ay﹣a=0互相平行,∴a≠0,且=≠,则实数a=2,故选:D.2.(3分)如图,已知三棱锥O﹣ABC,点M,N分别是OA,BC的中点,点G为线段MN 上一点,且MG=2GN,若记,则=()A.B.C.D.【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理、平行四边形法则即可得出.解:=+,=,=﹣,==,=(+)=(+),可得:=++.故选:C.3.(3分)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.﹣11【分析】化两圆的一般式方程为标准方程,求出圆心和半径,由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值.解:由C1:x2+y2=1,得圆心C1(0,0),半径为1,由圆C2:x2+y2﹣6x﹣8y+m=0,得(x﹣3)2+(y﹣4)2=25﹣m,∴圆心C2(3,4),半径为.∵圆C1与圆C2外切,∴,解得:m=9.故选:C.4.(3分)已知=(2,﹣1,2),=(﹣1,3,﹣3),=(13,6,λ),若向量,,共面,则λ=()A.2B.3C.4D.6【分析】根据所给的三个向量的坐标,写出三个向量共面的条件,点的关于要求的两个方程组,解方程组即可.解:∵=(2,﹣1,2),=(﹣1,3,﹣3),=(13,6,λ),三个向量共面,∴,∴(2,﹣1,2)=x(﹣1,3,﹣3)+y(13,6,λ)∴解得:故选:B.5.(3分)对抛物线y=4x2,下列描述正确的是()A.开口向上,焦点为(0,1)B.开口向上,焦点为C.开口向右,焦点为(1,0)D.开口向右,焦点为【分析】根据二次函数的性质进行判断.解:∵a=4>0,∴图象开口向上,焦点为.故选:B.6.(3分)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤2,若将军从点A(3,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为()A.B.C.D.【分析】求出A关于x+y=4的对称点A',根据题意,A'C﹣为最短距离,求出即可.解:设点A关于直线x+y=4的对称点A'(a,b),设军营所在区域为的圆心为C,根据题意,A'C﹣为最短距离,先求出A'的坐标,AA'的中点为(,),直线AA'的斜率为1,故直线AA'为y=x﹣3,由,联立得故a=4,b=1,所以A'C=,故A'C﹣=,故选:B.7.(3分)已知F1,F2分别为双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点,点A在双曲线上,且∠F1AF2=60°,若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2(O为坐标原点)的中点,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【分析】先假设A在右支上,利用角平分线的性质和双曲线定义可求出|AF1|,|AF2|与a 的关系,然后在三角形中利用余弦定理化简即可求解.解:设OF2的中点为M,另设|AF1|=m,|AF2|=n,假设A在双曲线的右支上,由角平分线的性质可得==,又M是OF2的中点,则,根据双曲线的定义可得:m﹣n=2a,所以m=3a,n=a,则在三角形AF1F2中,由余弦定理可得:cos∠F1AF2=,所以cos60°==,化简可得,即,所以双曲线的离心率为,故选:B.8.(3分)椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈[,],则该椭圆离心率的取值范围为()A.[,1]B.[,]C.[,1)D.[,]【分析】设左焦点为F′,根据椭圆定义:|AF|+|AF′|=2a,根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|,推知|AF|+|BF|=2a,又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c,在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e,进而根据α的范围确定e的范围.解:∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义:|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a…①O是Rt△ABF的斜边中点,∴|AB|=2c又|AF|=2c sinα…②|BF|=2c cosα…③②③代入①2c sinα+2c cosα=2a∴=即e==∵a∈[,],∴≤α+π/4≤∴≤sin(α+)≤1∴≤e≤故选:B.二、多选题(共4小题)9.(3分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为CC1、BC、CD、BB1的中点,则下列结论正确的是()A.B1G⊥BCB.平面AEF∩平面AA1D1D=AD1C.A1H∥面AEFD.二面角E﹣AF﹣C的大小为【分析】建立空间坐标系,求出各向量坐标,利用向量的平行和垂直关系判断.解:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz,设正方体棱长为1,则A(1,0,0),E(0,1,),F(,1,0),B1(1,1,1),G(0,,0),H(1,1,),A1(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),∴=(0,1,﹣),=(﹣,1,0),=(﹣,0,),=(﹣1,0,1),=(﹣1,0,0),=(﹣1,﹣,﹣1),∴=2,∴AD1∥EF,∴平面AEF与平面ADD1A1的交线为AD1,故B正确;∵=1≠0,∴B1G与BC不垂直,故A错误;设平面AEF的法向量为=(x,y,z),则,∴,令y=1可得=(2,1,2),•=0+1﹣1=0,∴A1H∥平面AEF,故C正确;平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1),∴cos<>===,设二面角E﹣AF﹣C的大小为θ,则cosθ=,故D错误.故选:BC.10.(3分)已知直线x sinα+y cosα+1=0(α∈R),给出下列命题正确的是()A.直线的倾斜角是π﹣αB.无论α如何变化,直线不过原点C.无论α如何变化,直线总和一个定圆相切D.当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1【分析】根据倾斜角的范围,可判断A;将(0,0)代入直线方程,可判断B;将原点和直线方程代入直线距离公式,可得直线总和单位圆相切,可判断C;求出三角形面积公式,结合三角函数的图象和性质,可判断D.解:根据倾斜角的范围为[0,π),而π﹣α∈R,可知A错误;当x=y=0时,x sinα+y cosα+1=1≠0,故直线必不过原点,故B正确;原点到直线的距离d=1,故直线总和单位圆相切,故C正确;当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积S=||=≥1,故D正确;故选:BCD.11.(3分)已知曲线C的方程为,则下列结论正确的是()A.当k=4时,曲线C为圆B.当k=0时,曲线C为双曲线,其渐近线方程为C.“k>4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件D.存在实数k使得曲线C为双曲线,其离心率为【分析】通过k的值,判断曲线的形状,然后判断选项的正误即可.解:曲线C的方程为,当k=4时,方程为x2+y2=2,曲线C为圆,所以A正确;当k=0时,曲线C为,是双曲线,其渐近线方程为,所以B正确;“6>k>4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充要条件,所以“k>4”是“曲线C 为焦点在x轴上的椭圆”的必要而不充分条件,所以C不正确;k>6时,曲线C为双曲线,其离心率为e==,如果=,可得k﹣4=k﹣2,无解,所以k<2时,=,然后=,可得4﹣k=6﹣k,显然不成立,所以≠,所以D不正确.故选:AB.12.(3分)已知F1、F2是椭圆C:的左、右焦点,M、N是左、右顶点,e为椭圆C的离心率,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,已知=0,3,|AF1|=2|AF2|,设直线AB的斜率为k,直线AM和直线AN的斜率分别为k1,k2,直线BM和之间BN的斜率分别为k3,k4,则下列结论一定正确的是()A.e=B.k=C.k1•k2=﹣D.k3•k4=【分析】过点F2作F1B的平行线,交AF1于点E,设|F2A|=2t,|F1A|=4t,可得AB|=5t,由椭圆定义可得a=3t.|BF1|=|BF2|=3t,在△EF1F2中,由勾股定理可得:c,b即可判断AB的正误,设A(x,y),则=,即可判断CD正误.解:∵=0,∴AF1⊥BF1,过点F2作F1B的平行线,交AF1于点E,∴AF1⊥EF2.设|F2A|=2t,|F1A|=4t,又3,∴|AB|=5t,∵AF1⊥BF1,∴|F1B|=3t,∴12t=4a,∴a=3t.∴|BF1|=|BF2|=3t=a,∴B(0,b),在△EF1F2中,EF1==,EF2==,F1F2=2c,∵EF12+EF22=F1F22,∴,b==,∴椭圆离心率e=,故A正确,k=,故B错,设A(x,y),易得M(﹣a,0),N(a,0),则=,故C正确,同理,故D错.故选:AC.三、填空题(共4小题)13.(3分)已知点P(2,﹣3),Q(3,2),直线ax+y+2=0与线段PQ相交,则实数a 的取值范围是.【分析】分别求出直线MQ、MP的斜率,进而即可求出直线MN的斜率的取值范围.解:画出图象∵,=﹣.要使直线ax+y+2=0与线段PQ相交,则满足.∴,∴.故答案为.14.(3分)如图所示,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M为棱CC1的中点,则异面直线BD1与AM所成角的余弦值为.【分析】分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则异面直线BD1与AM所成角的余弦值,转化为求向量与的夹角的余弦值,利用向量夹角公式即可求得,注意向量夹角与异面角间的关系.解:分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),M(0,1,),D1(0,0,1),所以=(﹣1,﹣1,1),=(﹣1,1,),则cos<,>===,即异面直线BD1与AM所成角的余弦值为,故答案为:.15.(3分)若△ABC的两个顶点坐标A(﹣4,0)、B(4,0),△ABC的周长为18,则顶点C的轨迹方程为(y≠0).【分析】根据三角形的周长和定点,得到点A到两个定点的距离之和等于定值,得到点A的轨迹是椭圆,椭圆的焦点在y轴上,写出椭圆的方程,去掉不合题意的点.解:(1)∵△ABC的两顶点A(﹣4,0),B(4,0),周长为18,∴AB=8,BC+AC =10,∵10>8,∴点C到两个定点的距离之和等于定值,∴点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,∵2a=10,2c=8,∴b=3,所以椭圆的标准方程是(y≠0).故答案为:(y≠0)16.(3分)设F1,F2是双曲线﹣=1的两个焦点,P是该双曲线上一点,且|PF1|:|PF2|=2:1,则△PF1F2的面积等于12【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=6,再由|PF1|:|PF2|=2:1,求出|PF1|,|PF2|,由此转化求出△PF1F2的面积.解:F1,F2是双曲线﹣=1的两个焦点,F1(﹣3,0),F2(3,0),|F1F2|=6,∵|PF1|:|PF2|=2:1,∴设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由双曲线的性质知|2x﹣x|=2,解得x=2.∴|PF1|=4,|PF2|=2,∴cos∠F1PF2==,sin∠F1PF2=.∴△PF1F2的面积为×4×2×=12.故答案为:12.四、解答题(共6小题)17.已知P(3,2),一直线l过点P,①若直线l在两坐标轴上截距之和为12,求直线l的方程;②若直线l与x、y轴正半轴交于A、B两点,当△OAB面积为12时,求直线l的方程.【分析】设斜率为k,得出直线的点斜式方程,从而求出截距,再根据条件列方程求出k,从而得出直线l的方程.解:①显然直线l有斜率且不为0,设斜率为k,则直线l的方程为:y=k(x﹣3)+2,令x=0得y=﹣3k+2,令y=0得x=+3.∴﹣3k+2++3=12,解得k=﹣或k=﹣2.∴直线l的方程为y=﹣(x﹣3)+2或y=﹣2(x﹣3)+2.②∵直线l与x、y轴交于正半轴,∴﹣3k+2>0,+3>0,∴(﹣3k+2)(+3)=12,解得k=﹣.∴直线l的方程为y=﹣(x﹣3)+2.18.已知过点M(0,2)且斜率为k的直线l与圆C:(x﹣1)2+y2=1交于A,B两点.(1)求斜率k的取值范围;(2)以点M为圆心,r为半径的圆与圆C总存在公共点,求r的取值范围;(3)O为坐标原点,求证:直线OA与OB斜率之和为定值.【分析】(1)写出直线l的方程,若直线与圆相交,则圆心C到直线l的距离d小于半径r,进而解得k的取值范围.(2)若若以点M为圆心,r为半径的圆与圆C总存在公共点,则直线与圆外切,相交,内切,所以|r﹣1|≤|MC|≤r+1,进而解除r的取值范围.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与圆方程,消去y整理得(k2+1)x2+(4k﹣2)x+4=0,韦达定理得,代入化简k OA+k OB=+=2k+=1,进而得出答案.解:(1)根据题意可得,直线l的方程为:y﹣2=k(x﹣0),即kx﹣y+2=0,圆C的方程为(x﹣1)2+y2=1,则其圆心C(1,0),半径r=1,若直线与圆相交,必有d<r,即,解得k<﹣,所以斜率k的取值范围为k<﹣.(2)若以点M为圆心,r为半径的圆与圆C总存在公共点,则|r﹣1|≤|MC|≤r+1,即|r﹣1|≤≤r+1,所以﹣1≤r≤+1.(3)证明:联立直线与圆的方程:,消去y整理得(k2+1)x2+(4k﹣2)x+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),根据韦达定理得,则k OA+k OB=+=+=2k+=2k+=2k+=2k﹣2k+1=1,故直线OA与直线OB的斜率之和为定值1.19.如图,四面体ABCD中,平面DAC⊥底面ABC,AB=BC=AC=4,AD=CD=,O是AC的中点,E是BD的中点.(1)证明:DO⊥底面ABC;(2)求二面角D﹣AE﹣C的余弦值.【分析】(1)证明DO⊥AC.利用平面DAC⊥底面ABC,推出DO⊥底面ABC.(2)以点O为坐标原点,OA为x轴,OB为y轴,OC为z轴建立空间0﹣xyz直角坐标系.求出平面ADE的一个法向量,平面AEC的一个法向量,利用空间向量的数量积求解二面角D﹣AE﹣C的余弦值即可.【解答】(1)证明:∵AD=CD=,O是AC的中点,∴DO⊥AC.∵平面DAC⊥底面ABC,平面DAC∩底面ABC=AC,∴DO⊥底面ABC.(2)解:由条件易知DO⊥BO,BO⊥AC.OA=OC=OD=2,OB=如图,以点O为坐标原点,OA为x轴,OB为y轴,OC为z轴建立空间0﹣xyz直角坐标系.则A(2,0,0),,C(﹣2,0,0),D(0,0,2),,,,.设平面ADE的一个法向量为,则即令z1=1,则,所以.同理可得平面AEC的一个法向量..因为二面角D﹣AE﹣C的平面角为锐角,所以二面角D﹣AE﹣C的余弦值为.20.已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y=±x,且双曲线过点(,).(Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)过双曲线右焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A,B,求|AB|.【分析】(Ⅰ)设双曲线方程为:3x2﹣y2=λ,点代入,即可求双曲线的方程;(Ⅱ)直线AB的方程与双曲线方程联立,利用韦达定理及弦长公式,即可求|AB|.解:(Ⅰ)设双曲线方程为:3x2﹣y2=λ,点代入得:λ=3,所以所求双曲线方程为:…(6分)(Ⅱ)直线AB的方程为:y=x﹣2,由得:2x2+4x﹣7=0,…(10分)∴.…(12分)21.已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,CD⊥平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点.(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;(Ⅱ)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小;(Ⅲ)线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为,若存在,求线段PM的长度;若不存在,说明理由.【分析】(I)因为PO⊥AD,又CD⊥平面PAD,得到PO⊥CD,进而证明结论;(II)以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,平面EFG的法向量,又平面ABCD的法向量,利用夹角公式求出即可;(III)假设线段PA上存在点M,设,由直线GM与平面EFG 所成角为,得到关于λ的方程,解方程判断即可.解:(Ⅰ)证明:因为△PAD是正三角形,O是AD的中点,所以PO⊥AD.又因为CD⊥平面PAD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ABCD,所以PO⊥面ABCD;(Ⅱ)如图,以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则,,,设平面EFG的法向量为,由,得令z=1,则,又平面ABCD的法向量,设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为θ,所以.所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为;(Ⅲ)假设线段PA上存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为,设,由,所以.所以=,整理得2λ2﹣3λ+2=0,无解,所以,不存在这样的点M.22.已知椭圆C:的离心率,且圆x2+y2=2过椭圆C的上,下顶点.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l的斜率为,且直线l交椭圆C于P、Q两点,点P关于原点的对称点为E,点A(﹣2,1)是椭圆C上一点,判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值,如果是,请求出此定值:如果不是,请说明理由.【分析】(1)由题意可得b,运用椭圆的离心率公式和a,b,c的关系,解方程可得a,c,进而得到所求椭圆方程;(2)可设直线l的方程为y=x+t,联立椭圆方程,运用韦达定理,以及直线的斜率公式,化简整理,计算可得所求定值.解:(1)椭圆C:的离心率,且圆x2+y2=2过椭圆C的上,下顶点,可得b=,e==,c2=a2﹣b2,解得a=2,c=,则椭圆的方程为+=1;(2)若直线l的斜率为,可设直线l的方程为y=x+t,联立椭圆方程x2+4y2﹣8=0,可得x2+2tx+2t2﹣4=0,则△=4t2﹣4(2t2﹣4)>0,解得﹣2<t<2,设P(x1,y1),Q(x2,y2),E(﹣x1,﹣y1),可得x1+x2=﹣2t,x1x2=2t2﹣4,则k AE+k AQ=+=+=+=•=•=•=0.则直线AE与AQ的斜率之和为定值0.。

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