2016-2017学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷一、填空题（1-6题，每题3分；7-12题，每题4分）．1．过点P（3，5），且与向量=（4，2）平行的直线l的点方向式方程为．2．直线3x+y+2=0的倾斜角为．3．直线3x﹣4y+1=0与3x﹣4y+7=0的距离为．4．直线y=x+1被曲线截得的线段AB的长为．5．若直线l1：x+m2y+6=0与l2：（m﹣2）x+3my+2m=0平行，则m=．6．已知方程表示椭圆，求实数k的取值范围．7．过点（﹣1，）且与直线x﹣y+1=0的夹角为的直线方程为．8．已知一圆的圆心坐标为C（2，﹣1），且被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2，则此圆的方程．9．若椭圆的两焦点和两顶点构成一个正方形，则k=．10．已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为．11．已知关于x的方程+x+m=0有两个不等实数根，则实数m的取值范围．12．设AB是椭圆的长轴，若把AB分成10等分，依次过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…P9．F1为椭圆的左焦点，则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|+|F1B|的值．二、选择题（每题4分）．13．若点P的坐标为（a，b），曲线C的方程为F（x，y）=0，则F（a，b）=0是点P在曲线C上的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是（）A． +=1B． +=1或+=1C． +=1D． +=1或+=115．圆x2+y2+4x﹣2y+=0上的点到直线3x+4y=0的距离的最大值是（）A．B．C．D．16．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（）A．4a B．2（a﹣c）C．2（a+c）D．以上答案均有可能三、解答题（共42分）．17．已知定圆C1：（x+1）2+y2=36及定圆C2：（x﹣1）2+y2=4，动圆P与C1内切，与C2外切，求动圆圆心P的轨迹方程．18．△ABC中，顶点B（3，4），C（5，2），AC边所在直线方程为x﹣4y+3=0，AB边上的高所在直线方程为2x+3y﹣16=0．（1）求AB边所在直线的方程；（2）求AC边的中线所在直线的方程．19．如图，某处立交桥为一段圆弧AB．已知地面上线段AB=40米，O为AB中点．桥上距离地面最高点P，且OP高5米．工程师在OB中点C处发现他的正上方桥体有裂缝．需临时找根直立柱，立于C处，用于支撑桥体．求直立柱的高度．（精确到0.01米）．20．已知直线l：y=x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交于A，B不同两点．（1）求m的取值范围；（2）设以AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程．21．在平面直角坐标系中，已知椭圆两焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），椭圆C上的点到右焦点距离最小值为3﹣2．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为﹣2的直线交曲线C于E、F两点，求线段EF的中点N的轨迹方程；（3）设经过点F1（﹣2，0）的直线与曲线C相交所得的弦为线段PQ，求△PQO的面积的最大值（O是坐标原点）．2016-2017学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（1-6题，每题3分；7-12题，每题4分）．1．过点P（3，5），且与向量=（4，2）平行的直线l的点方向式方程为=．【考点】IC：直线的斜截式方程．【分析】根据题意，由点的坐标以及直线的方向向量，将其直接代入直线的点方向式方程即可得答案．【解答】解：根据题意，直线l过点P（3，5），且以向量=（4，2）为方向向量，则其方程为：=；故答案为：=．2．直线3x+y+2=0的倾斜角为π﹣arctan3．【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】根据题意，设直线3x+y+2=0的倾斜角为θ，求出直线的斜率，即可得tanθ=﹣3，由反三角函数的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，设直线3x+y+2=0的倾斜角为θ，直线3x+y+2=0的斜率k=﹣3，则有tanθ=﹣3，又由0≤θ＜π，则θ=π﹣arctan3；故答案为：π﹣arctan3．3．直线3x﹣4y+1=0与3x﹣4y+7=0的距离为．【考点】IU：两条平行直线间的距离．【分析】由已知直线的方程直接代入平行线间的距离公式可得答案．【解答】解：由平行线间的距离公式可得：直线3x﹣4y+1=0与3x﹣4y+7=0的距离为d=．故答案为：．4．直线y=x+1被曲线截得的线段AB的长为．【考点】IS：两点间距离公式的应用．【分析】直线y=x+1和曲线联立方程组，求出它们的交点坐标，再用两点间距离公式计算得答案．【解答】解：解方程组，整理得x2﹣2x﹣4=0，解得x=或x=．∴直线y=x+1被曲线截得的交点坐标是A（，），B（，），∴直线y=x+1被曲线截得的线段的长|AB|==．故答案为：．5．若直线l1：x+m2y+6=0与l2：（m﹣2）x+3my+2m=0平行，则m=0或﹣1．【考点】I8：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【分析】由两直线平行可得学生的关系，得到关于m的不等式组求得答案．【解答】解：∵直线l1：x+m2y+6=0与l2：（m﹣2）x+3my+2m=0平行，∴，解得：m=0或m=﹣1．故答案为：0或﹣1．6．已知方程表示椭圆，求实数k的取值范围﹣3＜m＜2且x≠﹣．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，解可得k的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，方程表示椭圆，则有，解可得：﹣3＜m＜2且x≠﹣，故答案为：﹣3＜m＜2且x≠﹣．7．过点（﹣1，）且与直线x﹣y+1=0的夹角为的直线方程为x+1=0或x﹣+4=0．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】直线x﹣y+1=0的斜率为，设所求直线的斜率为k，由过点（﹣1，）且与直线x﹣y+1=0的夹角为，得到tan=||，由此能求出结果．【解答】解：直线x﹣y+1=0的斜率为，设所求直线的斜率为k，∵过点（﹣1，）且与直线x﹣y+1=0的夹角为，∴tan=||，∴=，或=﹣，由=，得3k﹣3=，k不存在，此时直线方程为x+1=0，由=﹣，得，解得k=，此时直线方程为y﹣=（x+1），即x﹣+4=0．∴过点（﹣1，）且与直线x﹣y+1=0的夹角为的直线方程为x+1=0或x ﹣+4=0．故答案为：x+1=0或x﹣+4=0．8．已知一圆的圆心坐标为C（2，﹣1），且被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2，则此圆的方程（x﹣2）2+（y+1）2=4．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】先求出圆心C（2，﹣1）到直线l的距离d=，再由圆被直线l：x﹣y ﹣1=0截得的弦长为2，求出此圆半径r，由此能求出此圆的方程．【解答】解：∵一圆的圆心坐标为C（2，﹣1），且被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2，圆心C（2，﹣1）到直线l的距离d==，∵圆被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2，∴此圆半径r==2，∴此圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=4．9．若椭圆的两焦点和两顶点构成一个正方形，则k=4．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据题意，分析可得椭圆的焦点在y轴上，作出图形，分析可得b=c，由椭圆的几何性质可得a2=b2+c2=2b2，结合椭圆的方程可得k+4=2×4，解可得k 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的焦点在y轴上，设其焦点为F1、F2，若两焦点和两顶点构成一个正方形，则两顶点在x轴上，设x轴上两顶点问为A、B，如图所示，若四边形AF1BF2为正方形，则有b=c，则a2=b2+c2=2b2，则有k+4=2×4，解可得k=4；故答案为：4．10．已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为（﹣∞，﹣4，+∞）．【考点】I3：直线的斜率．【分析】由题意画出图形，求出PA和PB的斜率，数形结合得答案．【解答】解：如图，，．∴直线l的斜率k的取值范围为（﹣∞，﹣4，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4，+∞）．11．已知关于x的方程+x+m=0有两个不等实数根，则实数m的取值范围（﹣，﹣1．12．设AB是椭圆的长轴，若把AB分成10等分，依次过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…P9．F1为椭圆的左焦点，则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|+|F1B|的值44．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意可知当i+j=10时有：|P i F1|=|P j F2|，其中i、j∈{1，2，3，…，9}，由椭圆定义可知：|P i F1|+|P i F2|=2a=2×4=8，i∈{1，2，3，…，9}，根据椭圆性质则|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|=36，|F1A|+|F1B|=2a=8，即可求得答案．【解答】解：F是椭圆的一个焦点，不妨令F为左焦点F1，则右焦点为F2，分别连结点F2与P1，P2，…P9九个点，易知当i+j=10时有：|P i F1|=|P j F2|，其中i、j∈{1，2，3，…，9}，由椭圆定义可知：|P i F1|+|P i F2|=2a=2×4=8，i∈{1，2，3，…，9}，∴2（|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|）=9×8=72，即|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|=36，则|F1A|+|F1B|=2a=8，∴|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|+|F1B|=36+8=44，故答案为：44．二、选择题（每题4分）．13．若点P的坐标为（a，b），曲线C的方程为F（x，y）=0，则F（a，b）=0是点P在曲线C上的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用点与曲线的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：根据曲线与方程的关系可知，因为F（a，b）=0，所以点P的坐标满足方程，所以点P在曲线上．反之，满足F（a，b）=0的实数对（a，b）和点P对应．所以F（a，b）=0是点P在曲线C上的充要条件．故选C．14．椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是（）A． +=1B． +=1或+=1C． +=1D． +=1或+=1【考点】K3：椭圆的标准方程．【分析】由题意求得c=4，a=5，b2=a2﹣c2=9，分类讨论即可求得椭圆的标准方程．【解答】解：由题意可知：焦距为2c=8，则c=4，2a=10，a=5，b2=a2﹣c2=9，∴当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：，当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：，故椭圆的标准方程为：或，故选B．15．圆x2+y2+4x﹣2y+=0上的点到直线3x+4y=0的距离的最大值是（）A．B．C．D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】先求出圆x2+y2+4x﹣2y+=0的圆心C（﹣2，1），半径r=，再求出圆心C（﹣2，1）到直线3x+4y=0的距离d，则圆x2+y2+4x﹣2y+=0上的点到直线3x+4y=0的距离的最大值为r+d．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣2y+=0的圆心C（﹣2，1），半径r==，∴圆心C（﹣2，1）到直线3x+4y=0的距离d==，∴圆x2+y2+4x﹣2y+=0上的点到直线3x+4y=0的距离的最大值：d max==．故选：C．16．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（）A．4a B．2（a﹣c）C．2（a+c）D．以上答案均有可能【考点】K5：椭圆的应用．【分析】（1）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c）；（2）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a+c）；（3）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a．【解答】解：（1）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c），则选B；（2）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a+c），则选C；（3）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a，则选A．由于三种情况均有可能，故选D．三、解答题（共42分）．17．已知定圆C1：（x+1）2+y2=36及定圆C2：（x﹣1）2+y2=4，动圆P与C1内切，与C2外切，求动圆圆心P的轨迹方程．【考点】K3：椭圆的标准方程．【分析】由题意分别表示出|PF1|=6﹣r，|PF2|=2+r，|PF1|+|PF2|=8＞2，可知P 的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆，即可求得P的轨迹方程．【解答】解：设所求点P（x，y），F1（﹣1，0），F2（1，0），动圆半径为r，由题易得|PF1|=6﹣r，|PF2|=2+r，∴|PF1|+|PF2|=8＞2，由点P到两定点F1，F2距离之和为定长8，且大于|F1F2|=2c=2，满足椭圆定义，∴轨迹方程：．动圆圆心P的轨迹方程．18．△ABC中，顶点B（3，4），C（5，2），AC边所在直线方程为x﹣4y+3=0，AB边上的高所在直线方程为2x+3y﹣16=0．（1）求AB边所在直线的方程；（2）求AC边的中线所在直线的方程．【考点】IK：待定系数法求直线方程．【分析】（1）据题意，AB边所在直线的方程为3（x﹣3）﹣2（y﹣4）=0，即可得出（2）联立，解得A（1，1），可得AC的中点D，可得AC边的中线所在直线的方程．【解答】解：（1）据题意，AB边所在直线的方程为3（x﹣3）﹣2（y﹣4）=0，即3x﹣2y﹣1=0（2）联立⇒A（1，1）AC的中点，则AC边的中线所在直线的方程为x=3．19．如图，某处立交桥为一段圆弧AB．已知地面上线段AB=40米，O为AB中点．桥上距离地面最高点P，且OP高5米．工程师在OB中点C处发现他的正上方桥体有裂缝．需临时找根直立柱，立于C处，用于支撑桥体．求直立柱的高度．（精确到0.01米）．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】建立平面直角坐标系，利用勾股定理求出圆的半径，写出圆的方程，利用圆的方程求直立柱的高度即可．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设圆的半径为r，在Rt△O1OA中：OA=20，OO1=r﹣5，O1A=r；∴r2=202+（r﹣5）2，解得r=42.5；∴圆的方程为x2+（y+37.5）2=42.52；令x=10，求得y=3.81（米），即所求直立柱的高度为3.81米．20．已知直线l：y=x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交于A，B不同两点．（1）求m的取值范围；（2）设以AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）由，得：2x2+2（m+1）x+m2+4m﹣4=0，由此利用根的判别式能求出m的取值范围．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由于以AB为直径的圆为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，若它经过原点，则x1x2+y1y2=0，由此能求出直线l的方程．【解答】解：（1）由，得：2x2+2（m+1）x+m2+4m﹣4=0，∵直线l：y=x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交于A，B不同两点，∴△=4（m+1）2﹣8（4m﹣4）＞0，解得，∴m的取值范围是（﹣3﹣3，﹣3+3）．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，由于以AB为直径的圆为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，若它经过原点，则x1x2+y1y2=0，∴2x1x2+m（x1+x2）+m2=0，∴+m×+m2=0解得m=﹣4或m=1．直线l的方程为x﹣y﹣4=0或x﹣y+1=0．21．在平面直角坐标系中，已知椭圆两焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），椭圆C上的点到右焦点距离最小值为3﹣2．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为﹣2的直线交曲线C于E、F两点，求线段EF的中点N的轨迹方程；（3）设经过点F1（﹣2，0）的直线与曲线C相交所得的弦为线段PQ，求△PQO的面积的最大值（O是坐标原点）．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由c=2，a﹣c=3﹣2．a=3，b2=a2﹣c2=1即可求得椭圆方程；（2）方法一：设直线方程为y=﹣2x+t，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，消去t，即可求得轨迹方程，代入椭圆方程，即可求得x的取值范围；方法二：利用设而不求法，将E和F坐标代入椭圆方程，作差，根据中点坐标公式，即可求得即可求得轨迹方程，代入椭圆方程，即可求得x的取值范围；（3）设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，根据函数的单调性即可求得△PQO的面积的最大值．【解答】解：（1）椭圆的焦点为，c=2，由a﹣c=3﹣2．a=3，则b2=a2﹣c2=1故曲线C的方程为．（2）方法1：设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y），设直线方程为y=﹣2x+t，，﹣4tx+t2﹣1=0，，∴x﹣18y=0，，则x2=±，则﹣＜x＜，∴线段EF的中点N的轨迹方程是：x﹣18y=0，﹣＜x＜，方法2：设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y．∵A、B在曲线C上，∴，．将以上两式相减得：（x1﹣x2）（x1+x2）+9（y1﹣y2）（y2+y2）=0，即=﹣，则﹣2=﹣，∴线段EF的中点N的轨迹方程：x﹣18y=0，﹣＜x＜；（3）设直线PQ的方程是：my=x+2，x=my﹣2，代入得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，则，令t=m2+9≥9，，当t=16，即时，∴，△PQO的面积的最大值为．2017年6月2日。