设子弹受的平均阻力为 fr （即看作常数） , 而子弹相对砂箱的位移即为l ，
所以，

fr
l
1 2
MV 2

1 mv 2 2
1 2
mv
2 0

fr
l


1 2
MV 2

1 2
mv 2
1 2
mv
2 0
将V代入， 可得
V

m M
(v0
v)
fr
NNvv不不垂垂直直于于vrvr12,，AANN

0 0
一对正压力的功恒为零！
一对滑动摩擦力之功恒小于零！
ff vv
讨论 一个物体在地面上滑行， 受摩擦 f 作用，经过距离 s 停了下来。
在地面系看：摩擦力 f 作负功，A = -f s 物体动能减少，动能转化为热能，温度升高。
在物体参考系看：摩擦力 f 不作功，A=0.
第4章 动能定理 功能原理
4. 动能定理 功能原理
• 4.1 动能定理 • 4.2 保守力和非保守力 势能 • 4.3 功能原理和机械能守恒 • 4.4 三种宇宙速度 • 4.5 能量守恒定律
研究力在空间的积累效应。
注意: 1. 提高对 “功、动能、动能定理、势能 、 2. 搞功清能规原律理的、内机容械、能来守源恒、定对律象”、的成理立解条。件。 3. 搞清它们与参考系的关系。
则
fx


d dx

1 2
kx2


kx
例 . 由万有引力势能求万有引力。
E p万
GmM r

f r万
d GmM dr r



GmM r2
例 . 由双原子分子势能曲线 知分子力的大致情况
Ep
斜率 < 0
r > r0 ： 斜率 > 0 ， fr < 0,
O
r0
斜率 > 0 趋向势能小处，是引力。
r
r < r0 ： 斜率 < 0 ， fr > 0, 趋向势能小处，是斥力。
斜率 = 0 r = r0 ： 斜率 = 0 ， fr = 0。
r
是平衡位置，不受力。
4.3 功能原理与机械能守恒定律
质点系动能定理：A外 A内 Ek 2 EK1
A外 A内保 A内非 Ek 2 Ek1

(B)
v f2

d
rv21
(A)
(B)
(或
v f1

d
rv12
)
(A)
１.一对力的功等于其中一个质点受的力沿着它相对 于另一质点移动的路径所作的功。
２.由于一对力的功只与“相对路径”有关，所以与
参考系的选取无关。
一对力的功,可认为一个质点静止,例如，重力做功
3.
AAB对
B A
v f2
重力
f

mg（或恒力）
常见的非保守力（耗散力）：
摩擦力 爆炸力
4.2.2 势能和势能曲线
一对保守力的功只与系统的始末相对位形 有关, 说明系统存在一种只与相对位形有关的能 量。
一对保守力的功（过程量）都可以写成两 个状态量之差,这两个状态量称为系统的势能,
表示 E p A12 Ep1 Ep2 Ep2 Ep1 Δ Ep
系统：砂箱和子弹 水平外力为零， 水平动量守恒，
设子弹射出时砂箱的速度为V，如图，
设V Ml
v0
v
m
x
则有
MV mv mv 0
m
V M ( v0 v ) （＞0）
由动能定理：
A外 + A内 = Ek2 - Ek1 现在外力的功为零； 内力的功 就是一对阻力的功，
我们以砂箱为参照系来计算这一对阻力的功：
A12对

2 1
GMm
r2
v f

d
rv
rˆ
f m rˆ

2 1

GMm r2
rˆ

d
r

2
r2
M
dr
r1
r
f
m
1
dr
rˆ
A12对
2 1

GMm r2
rˆ

d
rv
r2 GMm

dr
r1
r2
GMm GMm
( ) ( )
r1
r2
一对万有引力的功“与质点的始末位置有关, 与路径无关，这种性质的力称为保守力”。
对弹性势能:通常选弹簧自然长度时的
势能为零, 则
Ep弹

1 2
kx2
说明：
1. 势能属于有相互作用的系统。 因为它是与一对保守力的功联系在一起的。
重力势能为 mgh，好象只与一个物体的质
量有关，其实这是以地球为参考系的缘故。 2. 势能的差值不依赖于参考系的选择。
因为一对保守力的功不依赖于参考系的选择。
Q A内保 EP1 EP2
A外 A内非 （Ek 2 Ep2） (Ek1 Ep1)
E2 E1
A外 A内非 E2 E1
（矛盾？） f 到底作不作功？ 若 f 不作功，热能从何而来?
这个问题从一对摩擦力之功来分析就无矛盾:
v

f
f
A ss
B
地面系： 物体系：
A对
A '对
v f

sv


fs
v f

sv


f
s
fs f s A对 A '对
两者相等,而且都是负值。(动能转化为热能！)
(<0)
注意 功的数值依赖于参考系的选择。
例如，上题中，在桌面参照系 f 作负功; 在小球参照系弹性力对小球 f 并不作功！
保守力的另一定义（重要性质）：一质点相对
于另一质点沿闭合路径运动一周时，它们之间
的保守力做的功必然是零。
2
若 f 是保守力，必有
L1

f dr 0
f
dr
L2
d rv21,
或
d rv21
d rv21
0
v f2
(相对位置不变)，
时，A对 0
例、一对静摩擦力的功是多大？

一对静摩擦力的功恒为零！
v
无论大物体怎么运动，这一对力 的功总是零，没有相对运动。
例、小物体下滑大物体后退，一对正压力的
功是多大？
v2
1 2
N
v12
N
v1
f保l d l d Ep

l m d l f保l

f保 l


d Ep dl
(Ep在 l 方向上变化率的负值 )
一般 E p E p ( x , y , z )
则
f保 x


Ep x
,
f保 y


Ep y
,
f保z


Ep z
f保 x


Ep x
,
f保 y
m 的物体从 a 到 b，求重力的功。
b r rb
r
rr
Ap mg d r (mgj).(d xi d yj) a
yab
a
mg d y mg( ya yb )
o
ya
例2. 一人从10m深的井中提水，起始 时桶和水共重10kg，由于水桶漏水， 每升高1m要漏去0.2kg的水。求将水

1 l
1

2
m
v02

v2

1 2
m2 M
v0

v
2


讨论：1. 量纲对
2. 特例对（当 M 0时）
4.2 保守力与非保守力 势能
一对万有引力的功：以 M为参考系的原点,
计算起来就非常方便，
M

r1
r
1
r2

2 只要算一个力的功 即可。
dr
dr


rˆ d rf
r2
f2
d r2
m2
A2
y
一对力的元功
x0
d
A对


fvf12ddrv(1r2fvr21)drv2

f2
v f2
d
(d
r21
rv2
d rv1)
初位形（A）: m1----A1，m2----A2 末位形（B）: m1----B1，m2----B2
说明:
AAB对
L
M m1
2 1
f dr f dr f dr
1 L1
2L2
2 2
f dr f dr 0
1 L1
1 L 2
常见的保守力:


万有引力
弹力 f

f f (r )rˆ ( 或有心力）

kx（或位置的单值函数）
例如： • 功的计算是否依赖参考系？ • 如何理解重力势能属于“物体与地球”系统？ • 某一惯性系中机械能守恒，是否在 其它惯性系也守恒？
4.1 动能定理
4.1.1 功和功率
功: 力和它所作用的质元（质点）的位移的点积。
对微小过程，可当成恒力、直线运动
F