表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集 中在质心时所具有的势能一样。
刚体在重力场中运动时重力作功为 即重力作功等于刚体重力势能的减少
定轴转动的动能定理
例 题 4-7 如 图 ， 冲 床 上 配 置 一 质 量 为 5000kg 的 飞 轮 ， r1=0.3m, r2=0.2m.今用转速为900rev/min的电动机借皮 带传动来驱动飞轮，已知电动机的传动轴直径为 d=10cm。（1）求飞轮的转动动能。
A M d M d 0 0
对于刚体的运动，因质
点间相对距离不变，故任何
一对内力作功为零。
O
F
d r
drP2.刚体定来自转动的动能定理根据刚体定轴转动定理 M J d
dt
则物体在 d时t 间内转过角位移 d 时 dt
外力矩所做元功为：
dA Md J d d Jd d Jd
dt
dt
总外力矩对刚体所作的功为：
解 先对细棒oA所受的力作 O
一分析；重力 G作用在棒的
中心点C，方向竖直向下； 轴和棒之间没有摩擦力，轴
对棒作用力 通N过o点，在
棒的下摆过程中，此力的方 向和大小是随时改变的。
C
G
v
A
A
定轴转动的动能定理
在棒的下摆过程中，支撑力 不N做功。
棒从水平位置摆到竖直位置过程中，重力所作的 功是
A mgl / 2
60
这样飞轮的转动动能是
Ek
1 2
J2
1 2
325
2 3.14 150 60
2
40055J
（2）在冲断钢片过程中，冲力F所作的功为
A Fd 9.80 104 0.5 103 J
49J
定轴转动的动能定理
这就是飞轮消耗的能量，此后飞轮的能量变为
Ek 40055 49J 40006J
棒在水平位置时的角速度0＝0，下摆到竖直位置
时的角速度为 ，由动能定理得
定轴转动的动能定理
mg l 1 J 2
22
由此得 mgl
J
因 J 1 ml 2 代入上式得
3
3g / l
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度
分别为
vA l 3gl
vC
l
2
1 2
3gl
§4-4 定轴转动的动能定理
1.力矩的功
力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动
而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。
力
F对P
点作功：
O
d A F dr
F d s cos 2
F d s sin
d r
F
dr
P
O
d s r d
力矩的功
因 Fr sin M d A M d
则力 F 对P 点作功可表示为力矩 M 对刚体作功：
由
Ek
1 2
J2
求得此时间的角速度 为
2Ek
J
飞轮的转速变为
n飞
60
2
60
2
2 40006rev / min 325
149.8rev / min 150rev / min
定轴转动的动能定理
例题4-8 一根质量为m、长为 l 的均匀细棒OA（如
图），可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转 动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到 竖直位置时其中点C和端点A的速度。
m 2
(r12
r22 )
1 2
5000 (0.32
0.22 )kg
m2
325kg m2
皮带传动机构中，电动机的传动轴是主动轮， 飞轮是从动轮。两轮的转速与轮的直径成反比，即 飞轮的转速为
n飞
n电d电 d飞
900 10 60
150rev / min
定轴转动的动能定理
由此得飞轮的角速度
2 n飞
A
2 Md
1
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
定轴转动的动能定理
刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对 刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。
3.刚体的重力势能
对于一个不太大的质量为 m的物体，它的重力
势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。
即：
质心高度为：
hc
mi hi m
Ep mghc
（2）若冲床冲断0.5mm厚
的薄钢片需用冲力9.80104 2r1 2r2 N，所消耗的能量全部由飞
轮提供，问冲断钢片后飞轮
的转速变为多大？
d
定轴转动的动能定理
解 （1）为了求飞轮的转动动能，需先求出它的转 动惯量和转速。因飞轮质量大部分分别布在轮缘上， 由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式，得
J