§2-3 功 动能 动能定理
一、功的概念
1.恒力的功
等于恒力在位移上的投影与位移的乘积。 F
F
A Fr cos F r
明确几点



r
f静
（1）功是标量，有正负之分
（2）作功与参照系有关
2.变力的功
物体在变力的作 用下从a运动到b。
a
怎样计算这个力 的功呢？ 采用微元分割法
当物体前端在s处停止时，摩擦力做的功为 L m s A F d x f r d x gx d x mg d x 0 L L L L mg ( s L) mg ( s )
2 2
再由动能定理得
即得
L 1 2 mg ( s ) 0 mv0 2 2 L v0 2 g ( s ) 2
2

l G x
所得结果相同，而现在 的解法无疑大为简便。
x
B

例题2-11 传送机通过滑道将长为L，质量为m的柔软 匀质物体以初速v0向右送上水平台面，物体前端在台 面上滑动 S距离后停下来（如图）。已知滑道上的磨 擦可不计，物与台面间的摩擦系数为 μ ，而且 S>L ， 试计算物体的初速度v0。
动能定理:合外力对质点所做的功等于质点动 能的增量。
Aab Ekb Eka Ek
几点注意： a. 合力做正功时，质点动能增大；反之，质 点动能减小。 b.动能的量值与参考系有关。
c.动能定理只适用于惯性系。
d. 功是一个过程量，而动能是一个状态量， 它们之间仅仅是一个等量关系。
例题2-9 装有货物的木箱，重G＝980N，要把它运 上汽车。现将长 l ＝ 3m 的木板搁在汽车后部，构成一斜 面，然后把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成30o角， 木 箱 与 斜 面 间 的 滑 动 摩 擦 系 数 =0.20 ， 绳 的 拉 力 与斜面成10o角，大小为700N，如图所示。
b
（1）dr 位移内力所作的功为：
dA F dr
（2）整个过程变力作功为：
A

(b )
(a)
F dr
dr
a
b
在数学形式上，力的功等于力F 沿路径 L 从a到b的线积分。 F 积分形式：
F
Aa b

b
a
F dr
△r
F-△r图，A=曲线下的面积
直角坐标系： 受力 元位移
F Fx i Fy j Fz k (N)
dr dxi dyj dzk (m)
元功 d A Fx d x Fy d y Fz d z
总功 自然坐标系：
Aab Fx dx Fy dy Fz dz
xa ya za xb yb zb
Aab Ft ds
能量是各种运动形式的一般量度，是物体状 态的单值函数，反映物体做功的本领。
三、动能定理
根据功的积分形式
b
1 1 2 2 mv m va b 2 2 1 2 定义质点的动能为：Ek mv 2
b b Aab a F d r a Fτ d s a maτ d s vb dv b a m d s va mv d v dt
1 Ek mv 2 2
p F v
Aa b

b
a
F dr
E p ( x)
1 2 kx 2
3
G
正压力 FN所做的功A3
A3 FN l cos90 0
摩擦力f所作的功A4 分析木箱的受力，由于木箱在垂直于斜面方向上 没有运动，根据牛顿第二定律得
FN F sin10 G cos30 0
FN＝G cos30 －F sin10 727N 由此可求得摩擦力 f N 145N
A Fl sin 30 1.47 10 J
与（1）中F作的功相比较，用了起重机能够少作功。 我们还发现，虽然F’比F大，但所作的功A’却比A1为 小，这是因为功的大小不完全取决于力的大小，还和 位移的大小及位移与力之间的夹角有关。因此机械不 能省功，但能省力或省时间，正是这些场合，使我们 对功的概念的重要性加深了认识。现在，在（1）中推 力F 所多作的功
sa
sb
F dr (Fe t t F nen ) dset Ft ds
3.合力的功
Aab F dr ( F1 F2 Fn ) dr
a a
n i
b
b
A （1）平均功率 P t
A d A （2） 功率 P lim t 0 t dt
L
v0
解：由于物体是柔软匀质的，在物体完全滑上台面 之前，它对台面的正压力可认为与滑上台面的质量 成正比，所以，它所受台面的摩擦力 fr 是变化的。 本题如果用牛顿定律的瞬时关系求加速度是不太方 便的。我们把变化的摩擦力表示为
O
x
L
s
0 x L,
x L,
m f r gx L fr mg
求：（1）木箱所受各力所作的功；（2）合外力对木箱 所作的功；（3）如改用起重机把木箱直接吊上汽车能不 能少做些功？
F
300
解：木箱所受的力如图所示 （1）拉力F 所做的功A1
FN
F 10°
A1 Fl cos10 2.07 10 J
3
f
30°
重力G所做的功A2
A2 Fl cos （ 180 -60 ） -1.47 10 J
A4＝f l cos180 435J
（2）根据合力所作功等于各分力功的代数和，算 出合力所作的功
A A1 A2 A3 A4 165J
（3）如改用起重机把木箱吊上汽车，这时所用拉力 ' F 至少要等于重力 G 。在这个拉力的作用下， o 木箱移动的竖直距离是 l sin 30 。因此拉力所作的 功为 3
2.07 10 J 1.47 10 J 0.60 10 J
3 3 3
起的是什么作用呢？我们说：第一，为了克服摩 擦力，用去435J的功，它最后转变成热量；第二，余 下的165J的功将使木箱的动能增加。
A Fr cos F r
Aab

b
a
F dr
例题2-10
利用动能定理重做例题1-13。
解：如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的 l l 1 2 功为 2
应用动能定理，因初速度为0，末速度v可求得如下
A (G B)dx ( l x) gdx l g l g 0 0 2
1 2 1 2 1 2 l g l g mv lv 2 2 2 ( 2 l l ) v g
4.功率
A1 A2 An Ai
恒力的功率： p F v
dr dA F F v P dt dt
小笑话 一节物理课上，老师在讲电功。 小明睡得正香，不料老师提问：“电功的单 位是什么？”
小明站起来回答：“电工的单位在发电厂。”
二、能量