ab Fτ
ds
ab maτ
ds
b
a
m
d d
v t
d
s
vb va
mv d v
1 2
m vb2
1 2
m va2
定义质点的动能为：Ek
1 mv2 2
动能定理
质点动能定理:合外力对质点所做的功等于质点 动能的增量。
Aab Ekb Eka Ek
几点注意： a.合力做正功时，质点动能增大；反之，质
点动能减小。
b.动能的量值与参考系有关。
c.动能定理只适用于惯性系。 d.功是一个过程量，而动能是一个状态量。
动能定理
(3)质点系动能定理
多个质点组成的质点系，既要考虑外力，又要 考虑质点间的相互作用力（内力）。
二质点组成的 系统
推 广
多个质点组成 的系统
两个质点在外力及内
力作F用1下如图所示F：2
m1
f1 2
下从a运动到b。
b
a
怎样计算这个力
的功呢？
采用微元分割法
动能定理
第1段近似功： A1 F1 r1
第2段近似功： A2 F2
r2
Δ
r3
Δ
r4
Δ r2
F4
Δ r1
F3
a
F2
F1
Δ ri
b Fi
第i 段近似功：
Δ Ai Fi • ri
总功近似：
Aab Δ Ai Fi • ri
i
i
F
N
F
300
(a)
100
fr
(b)
G
动能定理
解： 木箱所受的力为：拉力F ，方向与斜面成100 角向上；重力G ，方向竖直向下；斜面对木箱的支 持力N ，方向垂直于斜面向上，斜面对木箱的摩擦 力 fr 方向和斜面平行，与木箱运动方向相反， 如图 (b).已知l=3m,每个力所作的功可计算如下。
（1）拉力F 所做的功A1
动能定理
用d当A 表ri示,称0 为时元,可功用。d r表示,称为元位移; Ai
元功： d A F d r
总功：
Aab
lim
r 0
i
Fi ri
b F dr
a
在数学形式上，力的功等于力F 沿路径L
从a到b的线积分。
动能定理
(2)质点动能定理
根据功的积分形式
Aab
ab
F
d r
（3）如改用起重机把木箱吊上汽车，这时所用拉力
F 的大小至少要等于重力 G 。在这个拉力 F
的作用下，木箱移动的竖直距离是 l sin 30o 。因此
拉力所作的最小功为
A Fl sin 30 980 3 0.5J 1.47103 J
动能定理
它等于重力 所作的功，而符号相反。与（1） 中 F 作的功相比较，用了起重机能够少作功。为了 把木箱装上汽车，我们所需要做的最小功等于克服 重力所作的功，其大小为1.47×103J, 这对于斜面或 是利用起重机甚至其他机械都是一样的。机械不能 省功，但能省力。在（1）中拉力 F 多作的功
功率P：力d在A单位F时 间 d内r做的F功，v用P 表示
dt dt
功率是反映力做功快慢的物理量。
在国际单位制中，功的单位是N•m，叫做焦(J)， 功率的单位是J/s ，叫做W(瓦)。
动能定理
2. 能量
能量是反映各种运动形式共性的物理量，各种运 动形式的相互转化用能量来量度。各种运动形式的 相互转化遵循能量的转换和守恒定律。
f21
m2
动能定理
对m1运用质点动能定理：
b1 a1
F1
dr1
b1 a1
f12 dr1
1 2
m1v12b
1 2
m1v12a
对m2运用质点动能定理：
b
2
a2
F2
d
r2
b2
a2
f21d r2
1 2
m2v22b
1 2
m2v22a
F1Biblioteka 2m1f1 2f21
m2
动能定理
作为系统考虑时，得到：
A1 Fl cos10 700 3 0.985J 2.07 103 J
重力 G 所做的功A2
A2 Gl sin30 98030.5J －1.47103 J
动能定理
正压力 N 所做的功A3
A3 Nl cos 90 0 摩擦力 f r 所作的功A4；分析木箱的受力，由
于木箱在垂直于斜面方向上没有运动，根据牛顿第 二定律得
动能定理
例题2-10 装有货物的木箱，重G＝980N，要把它 运上汽车。现将长l＝3m的木板搁在汽车后部，构成一
斜面，然后把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成30o
角，木箱与斜面间的滑动摩擦系数=0.20，绳的拉力
与 斜 面 成 10o 角 ， 大 小 为 700N ， 如 图 (a) 所 示 。 求：（1）木箱所受各力所作的功；（2）合外力对木箱 所作的功；（3）如改用起重机把木箱直接吊上汽车能 不能少做些功？
§2-6 动能定理
1. 功的概念
功是表示力对空间累积效应的物理量。
功是能量变 化的量度。 物体在力 的F作用下发生一无限小的位移
dr
(元位移)时,d此A力对(它F做co的s功 )定d义r为
其中为力与位移的夹角。可以把上式写成两个
矢量的标积
dA F dr
功是标量，没有方向，但有正负。
动能定理
当0</2时，dA>0，力对物体做正功。 当=/2时， dA=0，力对物体不做功。 当/2<时，dA<0，力对物体做负功。
2.07 103 J 1.47 103 J 0.60 103 J
起的是什么作用呢？我们说：第一，为了克服摩擦 力，用去435J的功，它最后转变成热量；第二，余 下的165J的功将使木箱的动能增加。
动能定理
b1
a1
F d
1
r
1
b
2
a2
F 2
d
r 2
b1
a1
f12
d
r1
b2
a2
f 21d r2
1 2
m1v12b
1 2
m2v22b
1 2
m1v12a
1 2
m2v22a
A外 A内 Ekb Eka Ek
质点系动能定理：所有外力与所有内力对质点系 做功之和等于质点系总动能的增量。
推广:上述结论适用多个质点。
N F sin10 G cos 30 0 N＝G cos 30－F sin10 727N
由此可求得摩擦力
fr N 0.20 727N 145N
A4＝frl cos180 145 3J 435J
动能定理
（2）根据合力所作功等于各分力功的代数和，算 出合力所作的功
A A1 A2 A3 A4 165J
只有在能量的转换和守恒定律发现以后，人们才 认识功、动能和势能的真实含义。二十世纪初，爱 因斯坦建立了狭义相对论，得到了“质能关系”， 进一步揭示能量和质量的相当性，对于能量的认识 更深入了一步。
与机械运动对应的的能量是机械能。
动能定理
3. 牛顿第二定律的又一积分形式
(1)变力的功
物体在变力的作用