专题——推理与证明
【知识概要】
本章知识网络：
一.考纲目标
掌握合情推理与演绎推理；熟练的运用综合法和分析法、反证法证题；信息转化、逻辑分析；数学归纳法；数学归纳法的证明思路；初始值的确定. 二.知识梳理
1．合情推理包括归纳推理和类比推理． 2．归纳推理
(1)概念：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)． (2)特点：归纳是从特殊到一般的过程． (3) 归纳推理的思维过程大致如图：
3．类比推理
(1)概念：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)． (2) 4．演绎推理
(1)概念：根据一般性原理(或逻辑规则)导出特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理． (2)特征：当前提为真时，结论必然为真． (3)“三段论”是演绎推理的一般模式：
推理与证明
推理 证明
合情推理 演绎推理 归纳
类比 综合法 分析法 反证法
直接证明 间接证明 数学归纳法
M——P （M是P）①
S——M （S是M）②
S——P （S是P）③
其中：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
5．直接证明
(1)综合法
①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所
要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法（也叫由因导果法）．
②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q
(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．
(2)分析法
①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法（也叫执果索因法）．
②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.
6．间接证明
（1）反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
（2）反证法的一般步骤是：反设——推理——矛盾——原命题成立。

（3）常见的“结论词”与“反议词”如下表：
原结论词反议词原结论词反议词
至少有一个一个也没有对所有的x都成立存在某个x不成立
至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立
至少有n个至多有n－1个p或q¬ p且¬ q
至多有n个至少有n＋1个p且q¬ p或¬ q
7. 数学归纳法
（1）数学归纳法的基本形式：
设P(n)是关于自然数n的命题，若
1°P(n0)成立(奠基)
2°假设P(k)成立(k ≥n 0)，可以推出P(k +1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n 0的自然数n 都成立
（2）数学归纳法的应用：
常用数学归纳法证明 恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等
三．考点逐个突破 1.归纳推理 [例1] 已知f (x)＝
2
)1(1++ax bx (x ≠－a
1
，a > 0)，且f(1)＝lo g 162，f(－2)＝1. (1)求函数f(x)的表达式；
(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝[1－f(1)][1－f(2)]…[1－f(n)]，试求x 1，x 2，x 3，x 4； (3)猜想{x n }的通项． 2.类比推理
[例2] 已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则 AG
GD ＝
2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则 AO
OM ＝
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 3.演绎推理
[例3] 已知函数f (x )＝－
a a x ＋a
(a > 0且a ≠1)．
(1)证明函数y ＝f(x)的图像关于点(12，－1
2)对称；
(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值． 4.综合法
[例4] 已知x ＋y ＋z ＝1，求证：x 2＋y 2＋z 2
≥13.
5.分析法
[例5] 已知m>0，a ，b ∈R ，求证：(a ＋mb 1＋m )2≤a 2
＋mb
2
1＋m .
6.反证法：
[例6] 设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{a n }的集合：①a n ＋a n ＋2
2≤a n ＋1；②a n ≤M.其中n ∈
N *
，M 是与n 无关的常数．
(1)设数列{b n}的通项为b n＝5n－2n，且{b n}∈W，求M的取值范围；
(2)设数列{c n}的各项均为正整数，且{c n}∈W，证明：c n≤c n＋1. 7.数学归纳法：
[例7] 例4. 已知点P n(a n，b n)满足a n＋1＝a n·b n＋1，b n＋1＝b n
1－4a2n
(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．
(1)求过点P1，P2的直线l的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点P n都在(1)中的直线l上．。