推理与证明一、推理1.推理：前提、结论2.合情推理：合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推岀该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。
简言Z,归纳推理是市部分到整体、rh个别到一般的推理(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是山特殊到特殊的推理。
3.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。
重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明题型1用归纳推理发现规律1、观察：77 + ^5 <2A/H； V55 + V165 < 2VH: j3"+J19 + V^v2VH；….对于任意正实数a,b,试写出使丽+v&<2vn成立的一个条件可以是 ___________________________________ .点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故ci + b = 222、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的婕筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图o有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以/(«)表示第〃帕图的蜂巢总数.则/(4) = --- ; f (〃) = •【解题思路】找出/(〃)—.f(n — 1)的关系式［解析］/(1) = 1,/(2) = 14- 6,/(3) = 14- 6 4-12,・•・ /'(4) = 1 + 6 + 12 + 18 = 37 /. /(n) = 1 + 6 + 12 + 18 + —F 6(/7 -1) = 3n2 - 3〃+1【名师指引】处理“递推型”问题的方法Z—是寻找相邻两组数据的关系题型2用类比推理猜想新的命题［例］已知正三角形内切圆的半径是高的丄，把这个结论推广到空间止四血体，类似的结论是________ •3【解题思路】从方法的类比入手［解析］原问题的解法为等而积法，即5=丄必=3乂丄妙二>厂=丄/7 ,类比问题的解法应为等体积法，2 2 3V =-Sh = 4x-Sr=>r = -h即止四血体的内切球的半径是高一3 34 4【名师指引】(1)不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比(2)类比推理常见的情形有：平而向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等二.直接证明与间接证明三种证明方法：综合法、分析法、反证法反证法：它是一种间接的证明方法•川这种方法证明一个命题的一般步骤:(1)假设命题的结论不成立；(2)根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止(3)断言假设不成立(4)肯定原命题的结论成立重难点：在药数、三角变换、不等式、立休几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题考点1综合法在锐角三角形ABC屮，求证：sin A + sin B + sinC > cos A + cosB + cosC7T TT［解析］••• \ABC为锐角三角形，:.A + B>-:.A>--B 92 2TT 7T•・• y = sinx 在(0,—)上是增函数，sin A > sin( ---------- B) = cosB2 2同理可得sin B > cosC , sinC > cos A/. sin A + sin B + sin C > cos A + cos B + cos C考点2分析法已知a > b > 0,求证4ci -4b < y/a-b［解析］要证需-丽< y/a-b ,只需证(V^-V^)2 v Qa -bi1即a+ h- 2^［ab < a- b ,只需证方即v\:. b <a显然b<a成立，因此需-丽v Qa - b成立【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证…只需证---”，而不是“因为-一所以一-”考点3反证法已知y(x)= ^+Az2(a>i),证明方程/(x) = 0没有负数根X + 1【解题思路】“止难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，町从范围方面寻找孑盾［解析］假设x0是/U) = 0的负数根，则心V 0且心工—1且八=一迢匚2x()+ l0 < i7Xo < 1 => 0 < < 1, W-W- < X o < 2,这与x()<0才厉，兀o + l 2故方程/(%) = 0没有负数根【名师指引】否定性命题从正而突破往往比较困难，故用反证法比较多三、数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：⑴证明当n二nO时命题成立；(2)假设当n二k伙e N+，且* "())时命题成立，证明门二k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小丁"0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.考点1数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的认识［例1］已知n是止偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k (k>2A为偶数)时命题为真，，则还需证明()A.n=k+l时命题成立B. n=k+2时命题成立C. n=2k+2时命题成立D. n=2 (k+2)时命题成立［解析］因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2,故选B【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察儿个方面：(1) n的范围以及递推的起点(2)观察首末两项的次数(或其它），确定n=k 时命题的形式f （k ） （3）从/伙+ 1）和/伙）的差异，寻找由k 到k+1递推中，左边要加（乘）上的 式子考点2数学归纳法的应川题型1：用数学归纳法证明数学命题用数学归纳法证明不等式Vb2 + VT3 +…+ Jn （n + \） <-（n + l ）2v 2 ［解析］（1）当n 二1吋，左二"，右二2,不等式成立（2）假设当n 二k 时等式成立，即VT^ + VT^ + ・・・ + jR@ +1） V*伙+ 1）2则 J1 • 2 + 丿2 • 3 + …+ Jk （k +1） + J 伙 + l ）（k + 2） < q （k +1）2 + J 伙 +1）伙 + 2）...扣 +1）2 + J （k +1）伙 + 2）-伙；2）~ =』（k +1）伙 + 2）-伙+ 1）；' + 2）< 0 ••・VT^+vr3+・・.+j£（R+i ）+j （£+i ）（k+2）<*［（p+i ）+i ］2/.当n=k+l 时，不等式也成立综合（1） （2）,等式对所有正整数都成立【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2） 归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（3） 由k 推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面 习题1、 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。
（A ）假设三内角都不大于60度； （B ）假设三内角都人于60度;（0假设三内角至多有一个大于60度； （D ）假设三内角至多有两个大于60度。
2、在十进制ip 2004 = 4x10°+0x10*+0X 102 + 2X 103,那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （） A. 29 B. 254 C. 602 D. 2004］_°卄23、 -------------------------------------------- 利用数学归纳法证明"l+a+a 2+-+a n+1=, （aHl, nGN ） ”时，在验证n 二1成立时，左边应该是 ----- （） \-a数）时命题为真,则还需要用归纳假设再证 (A)l (B)l+a (C) 1 +a+a" (D) 1 +a+a"+a 34、用数学归纳法证明“ 0 + 1）（〃+ 2）…⑺+ “）= 2" 1-2••…（2刃一1）”（〃wN+）时,从= k 到斤=£ + 1”时,左边应增添的式子是 A. 2k+ 1 B. 2（2k + 1） 5、已知刀为正偶数，用数学归纳法证明( )2k+ 1 •T+T 2P + 2k + 11 1 1 1 —|— ■ • • — -------234 n-1=2(丄 + n + 2 n + 4 +•・・+£)吋,若已假设n = k 伙2 2为偶A. n = k + \吋等式成立B.n = k + 2时等式成立C.n = 2k + 2时等式成立D.n = 2伙+ 2）时等式成立6、否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解7、否定“自然数已、b、c中恰有一•个偶数”时的正确反设为（）A. a、b、c都是奇数B.已、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C. &、b、c都是偶数D.臼、b、c中至少有两个偶数8、已知：a+ b+ c>0, ab+ bc+ ca>0,白比>0.求证：白〉0,方>0, c>0.9^已知a, b, ce (0, 1).求证：(1—日)0, (1 —Z?) c, (1 —c) a不能同时大于*・10、（1）用数学归纳法证明：n3+5n能被6整除;（2）求证！？+（〃 +if+（〃 + 2）3 （/?EN*）能被9 整除11、若 a, b, c 均为实数，口a=x2-2y + J, b=y2-2z + |, c = z2-2x + ^,求证:a, b, c中至少有一个大于0。
】2、用数学归纳法证明:1 +出+ ”・・ +启"13、用数学归纳法证明下述不等式：—-—H --- ---- 1 --- ——••• + — > —(H G N* ,且H > 2).n +1 it + 272 + 3 3n 10。