d e E dS EdS
4 0 R
S
ds q r
E
q dS 2 4 0 R
1
2.3 电通量和高斯定理
三、高斯定律
(二)证明 出发点：库仑定律和叠加原理 1.通过一个与点电荷q 同 心的球面S的电通量。
e d e
s
S
q
0
q 40 R
2.3 电通量和高斯定理
二、电场强度通量
(二)匀强电场的电通量
1.平面S与E垂直时
e＝ES
2.平面S与E有夹角θ时 引入面积矢量
e＝ES cos e＝E S E en S
S Se n
E

S
en
S
2.3 电通量和高斯定理
二、电场强度通量
例4、求一半径为R，单位长度带电 的无 限长直圆柱带电体的电场。 解：1、对称性分析：
E
+ + +++ +++ +++
+ + +
+ + + + +
+
+++ 结论：电场以中心轴线为对称轴。
例4、求一半径为R，单位长度带电 的无 限长直圆柱带电体的电场。 2、以轴线为中心， 作半径为r(r>R)的圆柱形 高斯面S
2.3 电通量和高斯定理
4.若高斯面内的电荷的电量为零，则通过 高斯面的电通量为零，但高斯面上各点的电场 强度并不一定为零； 5.通过任意闭合曲面的电通量只决定于它 所包围的电荷的代数和，闭合曲面外的电荷对 电通量无贡献。但电荷的空间分布会影响闭合 面上各点处的场强大小和方向； 6.高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为 高斯面。
2.3 电通量和高斯定理
（二）根据场强分布的特点，作适当的 高斯面，要求： ①待求场强的场点应在此高斯面上， ②穿过该高斯面的电通量容易计算。 一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行 或垂直，n与E平行时，E的大小要求处处相 等，使得E能提到积分号外面； （三）计算电通量和高斯面内所包围的 电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。
2.3 电通量和高斯定理
例1 设有一半径为R、均匀带电为Q的薄球壳。 求球壳内部和外部任意点的电场强度。 解：作一球面 高斯面 2 e E dS E dS 4 r E r s s E 根据高斯定理 e q / 0 R Q 当场点在球壳外时
qQ
Q1 Q 2 (A) 2 4 0r
(C)
Q1 Q2 (B) 2 2 4 0R1 4 0R2
(D) 0
4 0r
Q1
2
[D]
2.3 电通量和高斯定理
例2、均匀带电球体的场强。 设有一半径为R、均匀带电为Q 的球体。求球体内部和外部任 意点的电场强度。 解：作一球面 2 e E dS E dS 4 r E
练习. 已知一高斯面所包围的体积内电量代数 和 qi 0 ，则可肯定：
（A）高斯面上各点场强均为零。 （B）穿过高斯面上每一面元的电通量均 为零。
（C）穿过整个高斯面的电通量为零。
（D）以上说法都不对。
[C]
2.3 电通量和高斯定理
四、高斯定律应用举例
高斯定理的一个重要应用，是用来计算 带电体周围电场的电场强度。实际上，只有 在场强分布具有一定的对称性时，才能比较 方便应用高斯定理求出场强。求解的关键是 选取适当的高斯面。
E
练习、在一球面内的圆心点有一点电荷， 求通过此球面的电通量。
e E dS
S
dS
q
+
2
E

q
40 R q dS 2 S 40 R q q 2 4R 2 40 R 0
S
dS
S
练习. 如图所示，一个带电量为 q 的点电荷位
于正立方体的 A 角上，则通过侧面 abcd 的电 场强度通量等于：
解：作如图所示的高斯面
S
o
P

E
e E dS E dS E dS 2ES
s 左 右
2.3 电通量和高斯定理
高斯面所包围的电量为 q S
由高斯定理可知 2 ES S / 0 由此可知，电场强度为
E
2 0
S
o
P
0 电场强度方向离开平面

E
0 电场强度方向指向平面
2.下列几个说法中哪一个是正确的？ [C]
（A）电场中某点场强的方向，就是将点 电荷放在该点所受电场力的方向。 （B）在以点电荷为中心的球面上，由该 点电荷所产生的场强处处相同。 （C）场强方向可由 E=F/q 定出，其中 q 为试验电荷的电量，q可正、可负，F为试验电 荷所受的电场力。 （ D ）以上说法都不正确。
E dS ( Ei ) dS ( Ei dS )
q2
0 0 dq E dS

qi
q
0
q1 qi
i
连续分布
2.3 电通量和高斯定理
(三)关于高斯定理的说明
1.高斯定理是反映静电场性质（有源性） 的一条基本定理； 2.高斯定理是在库仑定律的基础上得出 的，但它的应用范围比库仑定律更为广泛； 3.高斯定理中的电场强度是封闭曲面内 和曲面外的电荷共同产生的，并非只有曲面 内的电荷确定；
2.3 电通量和高斯定理
一、电场线
(五)关于电场线的几点说明
1.电场线是人为画出的，在实际电场中 并不存在； 2.电场线可以形象地、直观地表现电场 的总体情况; 3.电场线图形可以用实验演示出来。
2.3 电通量和高斯定理
二、电场强度通量
(一)定义 把垂直通过电场中某一面的电场线的条 数叫做通过这一面元的电场强度通量。
S q S
电场线
2.3 电通量和高斯定理
三、高斯定律
(二)证明 出发点：库仑定律和叠加原理 3.通过不包围点电荷的任意闭合曲面的 电通量为零。 S 由于电场线的连续性可知， 穿入与穿出任一闭合曲面的电通 量应该相等。所以当闭合曲面无 q 电荷时，电通量为零。
2.3 电通量和高斯定理
4.多个点电荷的电通量等于它们单独 存在时的电通量的代数和 利用场强叠加原理可证
+ + +++ S 上 +++
E dS E dS
S
S侧
E 2rl
E
1
ˆ r 20 r
0
l
l
+++ +++ S下
S侧
例4、求一半径为R，单位长度带电 的无 限长直圆柱带电体的电场。
3、以轴线为中心， 作半径为r(r<R)的圆柱形 高斯面S + + +++ S上 +++
(三)非均匀电场的电通量 d e E dS 微元dS
dS

n
E
e E dS
s
S
对封闭曲面
e E dS
s
2.3 电通量和高斯定理
二、电场强度通量
(四)方向的规定 闭合曲面外法线方向(自内向外) 为正。
en en

en

E＝ Q 4 0 r 2
均匀带电球壳
高斯面
当场点在球壳内时
q0
E＝0
2.3 电通量和高斯定理
Q
R
E
r
结果表明：均匀带电球壳外的电场强度分布象 球面上的电荷都集中在球心时所形成的点电荷在该 区的电场强度分布一样。
拓展. 两个同心的均匀带电球面，内球面 半径为 R1、带电量 Q1，外球面半径为 R2、带 电量 Q2，则在内球面里面、距离球心为 r处的 P 点的场强大小 E 为：
s s
r
R Q
E
均匀带电球体
根据高斯定理 e q / 0
2.3 电通量和高斯定理
当场点在球体外时 当场点在球体内时
q
qQ
Q 4 3 R 3 4 3 Qr 3 r 3 3 R
E＝
Q 4 0 r 2
Qr E＝ 4 0 R 3
Q
r
R Q
E
E
均匀带电球体
R
r
2.3 电通量和高斯定理
S
h
O
r
E
p

其中上、下底面的电场强度方向与面平行， 电通量为零。
2.3 电通量和高斯定理
e E dS E dS＝E 2rh
侧面 侧面
S
此闭合面包含的电荷总量
q
i
h
e E 2rh
1
0
h
h
O
r
E
p
E 2 0 r

其方向沿求场点到直导线的垂线方向。正负 由电荷的符号决定。
（A）q /60 ;
（C）q /240 ;
d
（B）q /120 ；
a
（D）q /360 .
A
q
[C]
b
c
2.3 电通量和高斯定理
三、高斯定律
高斯（Carl Friedrich Gauss 1777~1855） 德国数学家、天文学家和物 理学家。高斯在数学上的建树颇 丰，有“数学王子”美称。他与 另一位德国物理学家W.E.韦伯制 成第一台有线电报机和建立了地 磁观测台。高斯还创立了电磁量 的绝对单位制。