最新高中数学《复数》经典考题分类解析
复数的代数运算年年必考，其题目活而不难，主要考查学生灵活运用知识的能力，复数的几何意义也是考查的一个重点。
落实考查特点有利于抓住复习中的关键：（1）复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、复数的模、复数的相等、共轭复数的概念。
（2）复数代数形式基本运算的技能与技巧，特别是
i ±1的计算，注意转化思想的训练，善于将复数向实数转化。
（3）复数的几何意义，
1、复数的概念以及运算
例1i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++=L ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，）
解：原式＝i －2－3i ＋4＋5i －6－7i ＋8＝4－4i
点评：复数是高中数学的重要内容，是解决数学问题的重要工具，本题考查了复数的概念以及复数的引入原则，主要考查i 12-=的实际应用问题。
例2若a
为实数，
=，则a 等于（ ） A
． B
． C
． D
．-解析：由已知得：等式左边＝i a a i ai 3
223223)21)(2(-++=-+ 由复数相等的充要条件知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+23
220322a a ，所以a
＝
点评：本题考查了复数的基本运算以及复数相等的概念。
例3若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ）
A ．2
B ．12
C ．12-
D ．2-
解析：(1)(2)bi i ++＝i b b )12()2(++-，因为(1)(2)bi i ++是纯虚数，因此
⎩⎨⎧≠+=-0
1202b b 所以b ＝2。
点评：本题考查的复数的乘法运算问题，通过该运算考查了纯虚数的概念。
2、复数的几何意义
复数与复平面上的点，及复平面上从原点出发的向量建立了一一对应关系，这样使得
复数问题可以借助几何图形的性质解决，反之，一些解析几何问题、平面几何问题也可以借助于复数的运算加以解决。
例4若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：复数的实部a ＝)4sin(2sin cos π
θθθ+=+，虚部b ＝
)4sin(2cos sin πθθθ-=-，因为4
543πθπ<<，所以 ππθπππθπ<-<<+<42,234，所以0)4sin(<+πθ，0)4
sin(>-πθ，即a<0，b>0，所以复数对应的点在第二象限。
点评：本题以复数的三角形式作为命题背景，考查了复数的三角形式运算以及三角函数的恒等变化，以及复数的几何意义。
复数与复平面内的点的对应关系经常出现在考题中，关键是把复数化简成bi a +的形式，并且准确的判断出a 、b 的符号是求解问题的关键。
3、复数的开放性的考查
例4．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可）
解析：因为24z bz -＝i b ab ab b a )42()4(222-+--是实数，所以有 0422=-b ab ，因为0≠b ，所以b a 2=，所以答案可以填写（2，1）或（2，4）、（3，6）等等。
点评：本题考查复数的概念但是题目新颖具有开放性，这种考查分式应该引起我们的关注。
4、考查复数方程问题
复数方程问题是高考考查一个重点，从近几年考题看，解决这类问题主要是复数问题实数化，设出复数z ＝x ＋yi 形式，利用复数相等的定义转化为关于实数x ，y 的方程组求解。
例5、设x 、y 为实数，且
i
i y i x 315211-=-+-，则x +y =___. 解：由i i y i x 315211-=-+-知，5(1)(12)(13)2510x y i i i +++=+，即 5(1)2(12)5(13)x i y i i +++=+，即(525)(5415)0x y x y i +-++-=，故 5250,54150.x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得1,5.
x y =-⎧⎨=⎩4x y +=。
点评：本题考查了复数的化简、乘法、除法以及复数相等。
例6、（2006年上海春卷）已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=w w
z ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程. [解法一] i 2i 21i 34,i 34)i 21(-=++=
∴+=+w w Θ， i 3|i |i 25+=-+-=∴z .
若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，则必有共轭虚根i 3-=z .
10,6=⋅=+z z z z Θ，
∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x .
[解法二] 设i
b a w +=R)(∈b a 、 b a b a 2i 2i 34i +-=-+，
得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴ ⎩
⎨⎧-==,1,2b a i 2-=∴w ， 以下解法同[解法一].
点评：从以上解法看出，方法1运用整体思想求解，比方法2用基本方法要简单。
由于数学思想方法是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁。
可见掌握几种思想方法，有利于问题的解决。