x2+4y2=2
因为 ∆>0 所以，方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解….
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
AB
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2(x1 x2)2
2
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
知识点2：弦长公式 可推广到任意二次曲线
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
两个交点 相交
△=0
方程组有一解
一个交点 相切
△ 0 方程组无解
无交点
相离
知识点1.直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
解得k1=25，k2 =-25 由图可知k 25.
题型一：直线与椭圆的位置关系
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距y离是多少?
直线m为：4x 5y 25 0
x 直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 o
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
3
3
当- 6 k< 6 时没有交点
3
3
练习2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线
交点情况满足( D )
x2 y2 1 94
通法
直线与椭圆的位置关系
种类: 相相离切交((没一二有个个交交点点)) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax By C 0
由方程组
x
2
a2
y2 b2
1
mx2 nx p 0(m 0)
△=n2 4mp
△ 0 方程组有两解
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
焦点 顶点 离心率
(c,0)、(c,0) (a,0) (0,b)
e c 0 e 1
a
(0,c)、(0,c) (b,0) (0,a)
回忆：直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与圆相离无公共点．
m 0,5k 2 1 m恒成立， 1- m 0m 1,且m 5
例1：直线y=kx+1与椭圆 x2 y2 1
5m
求m的取值范围。
恒有公共点,
解法二直线y kx1恒过定点（0,1）， 且与椭圆总有公共点， 定点必在椭圆上或或者椭圆内 0 1 1,m 1且m 5
m
题型一：直线与椭圆的位置关系
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距y离是多少?
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
求 △F1 AB 的面积. 分析:先画图熟悉题意,
弦长公式：
| AB |
1 k 2 | xA xB |
1
1 k2
|
yA
yB
|
当直线斜率不存在时,则 AB y1 y2 .
题型二：弦长公式
例3：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
解 :由椭圆方程知 : a2 4,b2 1, c2 3. 右焦点F ( 3, 0). 直线l方程为: y x 3.
通法
题型一：直线与椭圆的位置关系
例1：直线y=kx+1与椭圆 x2 y2 1
5m
求m的取值范围。
恒有公共点,
解法一：
y kx 1
解
:
x2
5
y2 m
1
(m 5k 2 )x2 10kx 5 5m 0
△ （10k）2 4(m 5k 2（) 5 5m） 0 m2 (5k 2 1)m 0
专题1 直线与椭圆的位置关系
一定个框义，四个点|M，F1注|+意|M光F2滑|=2和a圆(2扁a>，|F莫1F忘2|)对称要体现
y
图形
方程 范围
y M
F1 M
F1 O
F2
x
O
x
F2
x2 y2 a2 b2 1
a b 0
x2 b2
y2 a2
1
a b 0
|x| a |y|b
|x| b |y| a
且d 40 25 15 41 42 52 41
dmax
思考：最大的距离是多少？
40 25 42 52
65 41
41
练习3已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位置关系。
2
解：联立方程组
y x1 2
消去y
由韦达定理
x1 x1
x2 x2
4
5 1
5
5x2 4x 1 0 ----- (1)
A.没有公共点 B.一个公共点
C.两个公共点 D.有公共点
题型一：直线与椭圆的位置关系
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40
42 52
41
尝试遇到困难怎么办?
l
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
且 x
例 2:已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆 25 9
y x 3
x2 4
y2
1
消y得：5x2 8 3x 8 0 设A(x1, y1), B(x2 , y2 )
x1
x2
83 5
,
x1
x2
8 5
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2
8 (x1 x2 )2 4x1 x2 5
题型二：弦长公式
例焦4点:已，知过点F2F作1 、倾F斜2 分角别为是4 椭的圆直线2x2交椭1y2圆于1 的A左、、B 两右点，