2019年4月全国100所名校单元测试示范卷数学（五）函数的综合应用（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）a、b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a，0}，f：x→2x表示把集合M中的元素x，映射到集合N中为2x，则a+b等于（）A．﹣2B．0C．2D．±22．（5分）已知函数f（x）＝则f[f（﹣1）]等于（）A．B．2C．1D．﹣13．（5分）函数y＝（a＞1）的图象大致形状是（）A．B．C．D．4．（5分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x﹣2x+m（m为常数），则f（﹣2）等于（）A．﹣B．﹣1C．1D．35．（5分）记min{a，b}为a，b两个数的较小者，max{a，b}为a，b两个数的较大者，f（x）＝则的值为（）A．min{a，b}B．max{a，b}C．b D．a6．（5分）已知f（x+199）＝4x2+4x+3（x∈R），那么函数f（x）的最小值为（）A．1B．2C．3D．57．（5分）函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数、若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，那么f（x）在[2，3]上是（）A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数8．（5分）已知y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数，它们的定义域均为[﹣π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣，）B．（，π）C．（﹣，）∪（，π）D．（﹣，0）∪（，π）9．（5分）已知函数f（x）＝﹣mx3+nx2的图象在点（﹣1，2）处的切线恰好与直线3x+y＝0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣2，﹣1]D．[﹣2，+∞）10．（5分）已知函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意x∈R，都有f（x+2）＝2f（x）；③当x∈[﹣1，1]时f（x）＝﹣|x|+1．则方程f（x）＝log4|x|在区间[﹣7，7]内的解个数是（）A．10B．9C．8D．1211．（5分）2011年3月发生在日本的9级大地震虽然过去多年了，但它对日本的核电站的破坏却是持续的，其中有一种放射性元素铯137在其衰变过程中，假设近似满足：其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）＝M0，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是﹣10ln2（太贝克/年），则M（60）等于（）A．5太贝克B．72ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克12．（5分）已知函数f（x）＝lnx++ax，x∈（0，+∞）（a为实常数）．若f（x）在[2，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．（﹣∞，0）∪[，+∞]D．（﹣∞，0）∪（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．（5分）函数f（x）＝log0.1|x﹣1|的定义域是．14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）＝1且对任意x∈R都有f（x+3）＝f （x），则f（2014）＝．15．（5分）若lgx+lgy＝0，则2x•2y的最小值是．16．（5分）抛物线y2＝3x与圆x2+y2＝4围成的封闭图形的面积是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）（1）已知f（+1）＝x+2，求f（x），f（x+1），f（x2）；（2）已知2f（x）+f（）＝10x，求f（x）．18．（12分）甲乙两地需修建一条240公里的高速公路，该段高速公路两端的收费站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的收费站之间修路面和等距离修建安全出口．经预算，修建一个安全出口的工程费用为400万元．铺设距离为x公里的相邻两安全出口之间的道路费用为x2+x万元．设余下工程的总费用为y万元．（1）试将y表示成关于x的函数；（2）需要修建多少个安全出口才能使y最小，其最小值为多少万元？19．（12分）设函数y＝f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）＝f（x）+f（y），f（）＝1，且当x＞0时，f（x）＜0．（1）求f（0）的值；（2）判断函数的奇偶性；（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x的取值范围．20．（12分）函数f（x）的图象是[﹣2，2]上连续不断的曲线，且满足2014f（﹣x）＝，且在[0，2]上是增函数，若f（log2m）＜f[log4（m+2）]成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（a+）lnx+﹣x（a＞1）．（l）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a∈[3，+∞）时，曲线y＝f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2）），使得曲线y＝f（x）在点P，Q处的切线互相平行，求证：x1+x2＞．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax（a∈R）．（1）求f（x）的极值；（2）若f（x）≥x+b恒成立，求（a+1）b的最大值．2019年4月全国100所名校单元测试示范卷数学（五）函数的综合应用（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）a、b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a，0}，f：x→2x表示把集合M中的元素x，映射到集合N中为2x，则a+b等于（）A．﹣2B．0C．2D．±2【解答】解：由于M中元素1能对应a，能对应0，所以＝0，a＝2，所以b＝0，a＝2，因此a+b＝2．故选：C．2．（5分）已知函数f（x）＝则f[f（﹣1）]等于（）A．B．2C．1D．﹣1【解答】解：函数f（x）＝，则f[f（﹣1）]＝f[﹣（﹣1）3）]＝f（1）＝＝2．故选：B．3．（5分）函数y＝（a＞1）的图象大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：当x＞0时，y＝a x，因为a＞1，所以是增函数，排除C、D，当x＜0时，y＝﹣a x，是减函数，所以排除A．故选：B．4．（5分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x﹣2x+m（m为常数），则f（﹣2）等于（）A．﹣B．﹣1C．1D．3【解答】解：根据已知条件，f（0）＝0；∴1+m＝0；∴m＝﹣1；∴x≥0时，f（x）＝2x﹣2x﹣1；∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣（4﹣4﹣1）＝1．故选：C．5．（5分）记min{a，b}为a，b两个数的较小者，max{a，b}为a，b两个数的较大者，f（x）＝则的值为（）A．min{a，b}B．max{a，b}C．b D．a【解答】解：若a＞b，则a﹣b＞0，∴f（a﹣b）＝1．∴原式＝＝b．若a＜b，a﹣b＜0，∴f（a﹣b）＝﹣1．∴原式＝＝a．所以＝min{a，b}．故选：A．6．（5分）已知f（x+199）＝4x2+4x+3（x∈R），那么函数f（x）的最小值为（）A．1B．2C．3D．5【解答】解：求f（x）的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y＝f（x+199）与y＝f（x），其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，由y＝4x2+4x+3＝4（x+）2+2，所以f（x）的最小值即f（x+199）的最小值是2．故选：B．7．（5分）函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数、若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，那么f（x）在[2，3]上是（）A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数【解答】解：∵偶函数f（x）在[﹣1，0]上是减函数，∴f（x）在[0，1]上是增函数．由周期为2知该函数在[2，3]上为增函数．故选：A．8．（5分）已知y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数，它们的定义域均为[﹣π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣，）B．（，π）C．（﹣，）∪（，π）D．（﹣，0）∪（，π）【解答】解：＜0⇒f（x）与g（x）在同一区间内符号相反，由图可知当x∈（0，π）时，两者异号的区间为（，π），又f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，∴它们在[﹣π，0]上的图象大致为如图所示，可知其异号的区间为（﹣，0），∴＜0的解集为（﹣，0）∪（，π）．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）＝﹣mx3+nx2的图象在点（﹣1，2）处的切线恰好与直线3x+y＝0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣2，﹣1]D．[﹣2，+∞）【解答】解：∵f（x）＝﹣mx3+nx2，∴f′（x）＝﹣3mx2+2nx，∴f′（﹣1）＝﹣3m﹣2n，∵函数f（x）＝﹣mx3+nx2的图象在点（﹣1，2）处的切线恰好与直线3x+y＝0平行，∴，解得m＝﹣1，n＝3，∴f′（x）＝3x2+6x，令f′（x）＝3x2+6x≤0，解得﹣2≤x≤0，∴函数f（x）在[﹣2，0]上单调递减，∵f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，∴，解得﹣2≤t≤﹣1．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意x∈R，都有f（x+2）＝2f（x）；③当x∈[﹣1，1]时f（x）＝﹣|x|+1．则方程f（x）＝log4|x|在区间[﹣7，7]内的解个数是（）A．10B．9C．8D．12【解答】解：令﹣3≤x≤﹣1则﹣1≤x+2≤1，∵f（x+2）＝2f（x），∴f（x）＝（1﹣|x+2|）（﹣3≤x≤﹣1）①令﹣5≤x≤﹣3则﹣1≤x+4≤1，f（x+4）＝1﹣|x+4|，又f（x+4）＝2f（x+2）＝4f（x），∴f（x）＝（1﹣|x+4|）（﹣5≤x≤﹣3）②则﹣7≤x≤﹣5时，f（x）＝（1﹣|x+6|）③当1≤x≤3时，﹣1≤x﹣2≤1，f（x﹣2）＝1﹣|x﹣2|又f（x﹣2）＝f（x），即f（x）＝2（1﹣|x﹣2|），同理3≤x≤5时，f（x）＝4（1﹣|x﹣4|）④当5≤x≤7时，f（x）＝8（1﹣|x﹣6|）⑤如图所示f（x）的图象，再画出y＝log4|x|的图象，观察得出交点数为8，即方程f（x）＝log4|x|在区间[﹣7，7]内的解个数是8．故选：C．11．（5分）2011年3月发生在日本的9级大地震虽然过去多年了，但它对日本的核电站的破坏却是持续的，其中有一种放射性元素铯137在其衰变过程中，假设近似满足：其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）＝M0，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是﹣10ln2（太贝克/年），则M（60）等于（）A．5太贝克B．72ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克【解答】解：因为M（t）＝M0，其中M0为t＝0时铯137的含量．铯137含量的变化率为M'（t）＝﹣M0ln2，所以当t＝30时，M'（30）＝﹣M0ln2＝﹣ln2＝﹣10ln2，所以M0＝600，可解得M（60）＝150．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝lnx++ax，x∈（0，+∞）（a为实常数）．若f（x）在[2，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．（﹣∞，0）∪[，+∞]D．（﹣∞，0）∪（，+∞）【解答】解：f′（x）＝﹣+a＝，当a≥0时，ax2+x﹣1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求．当a＜0时，令g（x）＝ax2+x﹣1，g（x）在[2，+∞）上只能恒小于零，故△＝1+4a≤0或解得a≤﹣，∴a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．（5分）函数f（x）＝log0.1|x﹣1|的定义域是{x|x∈R且x≠1}．【解答】解：∵|x﹣1|＞0，∴x∈R且x≠1．故答案为：{x|x∈R且x≠1}．14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）＝1且对任意x∈R都有f（x+3）＝f （x），则f（2014）＝1．【解答】解：由f（x+3）＝f（x）知，f（x）是以周期为3的周期函数．所以f（2014）＝f（671×3+1）＝f（1）＝f（3﹣2）＝f（﹣2）由于f（x）是定义在R上的偶函数，则有f（﹣2）＝f（2）＝1．故答案为：1．15．（5分）若lgx+lgy＝0，则2x•2y的最小值是4．【解答】解：∵lgx+lgy＝0，∴lgxy＝0，∴x＞0，y＞0，xy＝1，∴x+y＝2，∴2x•2y＝2x+y≥22＝4．当且仅当x＝y＝时取等号，∴2x•2y的最小值为4．故答案为：4．16．（5分）抛物线y2＝3x与圆x2+y2＝4围成的封闭图形的面积是π+．【解答】解：得或，如图，则抛物线y2＝3x与AB围成的图形面积是S＝2dx＝2×＝，因为A的坐标是A（1，），所以∠AOx＝，劣弧AB与弦AB围成的面积是π•22﹣×2＝π﹣，所以抛物线与圆围成的封闭图形面积是+π﹣＝π+．故答案为：π+．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）（1）已知f（+1）＝x+2，求f（x），f（x+1），f（x2）；（2）已知2f（x）+f（）＝10x，求f（x）．【解答】解：（1）设t＝+1≥1，则＝t﹣1（t≥1），即x＝（t﹣1）2，∴f（t）＝（t﹣1）2+2（t﹣1）＝t2﹣1（t≥1），∴f（x）＝x2﹣1（x≥1），∴f（x+1）＝（x+1）2﹣1＝x2+2x（x≥0），∴f（x2）＝x4﹣1（x≤﹣1或x≥1）．（2）由2f（x）+f（）＝10x，用代换x可得2f（）+f（x）＝1，两式联立消去f（）可得f（x）＝×10x﹣×118．（12分）甲乙两地需修建一条240公里的高速公路，该段高速公路两端的收费站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的收费站之间修路面和等距离修建安全出口．经预算，修建一个安全出口的工程费用为400万元．铺设距离为x公里的相邻两安全出口之间的道路费用为x2+x万元．设余下工程的总费用为y万元．（1）试将y表示成关于x的函数；（2）需要修建多少个安全出口才能使y最小，其最小值为多少万元？【解答】解：（1）设需要修建k个增压站，则（k+1）x＝240，即k＝﹣1．所以y＝400k+（k+1）（x2+x）＝．因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x≤240．故y与x的函数关系是y＝（0＜x≤240）．（2）y＝≥．当且仅当，即x＝20时取等号．此时，．故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9440万元．19．（12分）设函数y＝f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）＝f（x）+f（y），f（）＝1，且当x＞0时，f（x）＜0．（1）求f（0）的值；（2）判断函数的奇偶性；（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x的取值范围．【解答】解：（1）令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0），∴f（0）＝0（2）令y＝﹣x，得f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）是R上的奇函数（3）f（x）是R上的减函数，证明如下：任取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2﹣x1＞0∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）＜0∴f（x1）＞f（x2）故f（x）是R上的减函数，令x＝y＝，∴f（）＝f（）+f（）＝2，∵f（x）+f（2+x）＜2，∴f（2+2x）＜f（），∴2+2x＞，解得x＞，故x的取值范围为（，+∞）20．（12分）函数f（x）的图象是[﹣2，2]上连续不断的曲线，且满足2014f（﹣x）＝，且在[0，2]上是增函数，若f（log2m）＜f[log4（m+2）]成立，求实数m的取值范围．【解答】解：∵2014f（﹣x）＝，即2014f（﹣x）＝2014﹣f（x），可得f（﹣x）＝﹣f （x）；又因为函数的定义域[﹣2，2]关于原点对称，所以函数f（x）为奇函数；由奇函数的性质可知，函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的；而已知函数f（x）在[0，2]上是单调递增的，所以函数f（x）在[﹣2，0]上也是单调递增的；故由f（log2m）＜f[log4（m+2）]，可得；由﹣2≤log2m≤2，解得≤m≤4；由﹣2≤log4（m+2）≤2，解得≤m+2≤16，即﹣≤m≤14；由log2m＜log4（m+2），得log4m2＜log4（m+2），解得0＜m＜2；得0＜m＜2；综上所述，m的取值范围为[，2）．21．（12分）已知函数f（x）＝（a+）lnx+﹣x（a＞1）．（l）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a∈[3，+∞）时，曲线y＝f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2）），使得曲线y＝f（x）在点P，Q处的切线互相平行，求证：x1+x2＞．【解答】解：（1）由已知，得x＞0，＝﹣．由f′（x）＝0，得．因为a＞1，所以0，且a．所以在区间（0，）上，f′（x）＜0；在区间（，1）上，f′（x）＞0．故f（x）在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增．证明：（2）由题意可得，当a∈[3，+∞）时，f′（x1）＝f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）．即＝，所以a+＝，a∈[3，+∞）．因为x1，x2＞0，且x1≠x2，所以恒成立，所以，又x1+x2＞0，所以，整理得，令g（a）＝，因为a∈[3，+∞），所以a+单调递增，g（a）单调递减，所以g（a）在[3，+∞）上的最大值为g（3）＝，所以．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax（a∈R）．（1）求f（x）的极值；（2）若f（x）≥x+b恒成立，求（a+1）b的最大值．【解答】解：（1）由题意可得f'（x）＝e x﹣a，显然，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）不存在极值．当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞lna，当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，所以x＝lna时，函数f（x）取得极小值，f（lna）＝a﹣alna.4分（2）f（x）≥x+b恒成立，即e x﹣ax≥x+b，得e x﹣（a+1）x≥b．（i）若a+1＜0，对任意实数b，x＜0时，因为e x＜1，所以e x﹣（a+1）x＜1﹣（a+1）x，令1﹣（a+1）x＜b，得x＜，因此，a+1＜0，f（x）≥x+b不恒成立．（ii）若a+1＝0，则（a+1）b＝0．（iii）若a+1＞0，设g（x）＝e x﹣（a+1）x，则g'（x）＝e x﹣（a+1），当x∈（﹣∞，ln（a+1））时，g'（x）＜0，当x∈（ln（a+1），+∞）时，g'（x）＞0，从而g（x）在（﹣∞，ln（a+1））上单调递减，在（ln（a+1），+∞）上单调递增，故g（x）有最小值，g（ln（a+1））＝a+1﹣（a+1）ln（a+1），所以f（x）≥x+b恒成立等价于b≤a+1﹣（a+1）ln（a+1），因此（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），10分设h（a）＝（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），则h'（a）＝（a+1）（1﹣2ln（a+1）），所以h（a）在（﹣1，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，故h（a）在a＝﹣1处取得最大值h（﹣1）＝，从而h（a）≤，即（a+1）b≤，所以（a+1）b的最大值是.12分．。