h
t = 2h = 2s 10
4．如图所示，质量 m 为 0.1kg 的木块，在一个水平面上 和一个倔强系数k 为 20Nm-1 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧
由原长压缩了0.4m。假设木块与水平面间的滑动摩擦系数
µk 为0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率 υ 为多少?
动能定理
−
frx −
1 2
kx2
3.一质点从静止(t＝0)出发，沿半径 R = 3m 的圆周运动，
切向加速度大小保持不变，为 at = 3ms-2。在t时刻，其
总加速度恰与半径成45°角，此时 t ＝_______ ，此时，
质点的速度大小为_______，质点的加速度大小为 ______。
解：切向加速度不变
at
=
dυ dt
= 不变
∆E = 0
MgLsin
α
=
1 2
Mυ02
（1）
过垂程 直二x：方发向炮，。则由沿于x爆方炸向产动生量的守作恒用。力很大，重力px
m
α
υ
Mυ0 = mυ cos α （2）
由式（1）、（2）解出 υ = M
2gL sin α
m cos α
四、证明题
一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度 方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即 dυ = −kυ2
2
3
3
解: υ = (4 + t 2 ) = dx
[C]
dt
dx = (4 + t 2 )dt
x = 4t + 1 t3 + C 3
当t =3s时，质点位于 x = 9m 处 C = 9 − 4× 3 − 1 × 33 = −12 3
故选 [ C ]。
4. 有A、B两辆车在同一直线轨道上同向行驶。A车以υ1匀
质点运动学和动力学 作业解
一、选择题
1.一小球沿斜面向上运动，其运动方程为 S = 5 + 4t − t 2
(SI)， 则小球运动到最高点的时刻是
[B]
(A) t =4s ； (B) t =2s ；(C) t =8s ；(D) t =5s
解:小球达到最高点时速度为零
υ = dS = 4 − 2t = 0
解:两种势能零点如图所示
初态体系总能量为： 弹性势能零点
mgh + mgx 重力势能零点
末态体系总能量为：
机械能守恒
1 kx2 2
mgh + mgx = 1 kx2 2
x = mg + ( mg )2 + 2 mg h
k
k
k
三、计算题
1.一质点从静止开始作直线运动，开始加速度为a ，此后加 速度随时间均匀增加，经过时间τ后，加速度为 2a ，经过 时间 2τ后，加速度为 3a ，···。求经过时间 nτ后，
⇒
υ
=
att
a 45° at
an
=
υ2 R
an
总加速度恰与半径成45°角，说明：an = at
at
=
at2t 2 R
得出：
t ＝ 1s
υ = att = 3×1 = 3m / s a = at2 + an2 = 3 2 = 4.24m / s2
4.质量为 为时间。
0.25kg 的质点，受力
t = 0 时该质点以 υ =
a1= 2a2
a1=
2m2 g 4m1 + m2
T’ m2
m2g
6.如图所示，一斜面倾角为θ，用与斜面
成α角的恒力F将一质量为m 的物体沿斜面
拉升了高度h，物体与斜面间的摩擦系数 为µ，摩擦力在此过程中所作的功Wf ＝ ____。 解: 垂直斜面方向受力分析。
N + F sinα = mg cosθ
摩擦力
f = µN
摩擦力作功 A = − fL = − f h sin θ
A = −µmgh ⋅ ctgθ + µFh sinα sinθ
7. 质量为m的物体，从高出弹簧上端h处由静止自由下落到 竖直放置在地面上的轻弹簧上，弹簧的倔强系数为k，则弹
簧被压缩的最大距离 x =______________________。
S′系上看： A车静止， B车做匀减速运动直线运动，初始速度
为 υ2 - υ1。末速（相碰）为0。 S′系上的匀减速运动直线运动公式
υ′2 −υ0′2 = 2a(x′ − x0′ )
两车不会相撞的最小距离为
υ′2 = (υ2 −υ1)2
2a′ 2a
故选[ C ]
5.竖立的圆筒形转笼，半径为R ，绕中心轴OO’转动，物 块A紧靠在圆筒的内壁上，物块与圆筒间的摩擦系数为µ ， 要使物块A不下落，圆筒转动的角速度ω至少应为 [C]
dt
2τ
2
6τ
St =nτ
=
1 an2τ2 (3 + n) 6
2.一质点以相对于斜面的速度 υ′ = 2gy 从其顶端沿斜面下
滑，其中 y 为下滑的高度。斜面倾角为α，在地面上以水
平速度 u 向质点滑下的前方运动。求质点下滑高度为 h
时，它对地面速度的大小和方向。
υ质地 = υ质斜 +υ斜地
h
x方向 υx = υ′x + u = 2gh cosα + u
[A]
质点系: 质点+容器
动能定理:
A外 + A内 = A重 + A摩 = ∆E动
A摩
=
1 2
mυ 2
− mgR
B点受力分析（法向）:
A摩
=
1 2
R( N
- 3mg )
N
−
mg
=
υ2
m
R
故选 [ A ]
二、填空题
1.灯距地面高度为 h1 ，一个人身高为h2 ，在灯下以匀速 率υ沿水平直线行走，如图所示。则他的头顶在地上的影 子M点沿地面移动的速度υM =
=
0−
1 2
mυ2
υ=
2µk gx +
k m
x2
= 5.83ms −1
5.有一门质量 M （含炮弹）的大炮，在一斜面上无摩擦地
由静止开始下滑，当滑下 L 距离时，从炮内沿水平方向射出
一发质量为 m 的炮弹。
求 要使炮车在发射炮弹后的瞬时停止滑动，炮弹的初速度应
为多少？ 解 把炮和弹看成质点系
过M程到一达：2时从的1速–度2为。设υ 0
y
0
2R
∫ ∫ ∫ A = dA = 0 F0 xdx + 0 F0 ydy
A
=
1 2
F0 (2R)2
=
2F0 R2
x
故选 [ B ]
O
9.一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止
开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B点时，它对容器的
正压力数值为N ，则质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其
作的功为
该质点的加速度和走过的距离。
加速度随时间均匀增加 at = a + ct
定c
t
=
τ时，at = τ
at =nτ =
=
a
2a
+
⇒c= a
a
nτ
τ
=
⇒ at = a
a(1 + n)
+
τ
a τ
t
at
=
dυ dt
⇒
dυ = (a +
a τ
t )dt
⇒
υ=
at
+
a t2 2τ
υ = dS ⇒ dS = (at + a t 2 )dt ⇒ S = 1 at 2 + a t 3
的天花板与底板相距 d = 20m，求螺钉从天花板落到底板 所需的时间。（取g = 9.8 m⋅s-2）
分析 相对升降机，螺母作初速为0的落体运动，运动距离20m
解 以升降机为参考系
a物 对 机 = a物 对 地 + a地对机
= 9.8 + 0.2 = 10
匀加速运动
h
=
1 2
a物对机t 2
a机对地
过程中 M 受到两个外力：重 力和支撑力，支撑力垂直运动
M
1 h
L
m
2α
υ
方向，不作功。外力作功为
A外 = P ⋅ L = MgLsin α
A外
=
∆E
=
1 2
Mυ02
}
MgLsin
α
=
1 2
Mυ02
（1）
注意：把炮和弹看成质点系。未包括地球，则重力为外力，无内保守力，无势能。
用机械能守恒分析过程一：把炮和弹和地球看成质点系。过 程中 M 仅受到支撑力一个外力，支撑力垂直运动方向，不 作功。外力作功为 0，无非保守内力，则机械能守恒。
dt t = 2s
2. 一质点作半径为R的匀速率圆周运动，每 t 秒转一圈，则
在 2t 时间间隔内，其平均速度的大小和平均速率的大小分
别为
[B]
(A)
2πR , 0 (B) 0 ,
t
2πR ； (C)
t
2πR
t
, 2πR
t
； (D) 0 ,
0。
解: 质点在 2t 时间间隔内，正好转两圈，回到原点
平均速度的大小为零
冲量 I = − 3mυj
故选 [ B ]
8. 一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力
F = F0 (xi + yj ) 作用在质点上。在该质点从坐标原点运动到
(0，2R)位置过程中，力对它所作的功为