第一章 质点运动学一、选择题［ D ］1、[基础训练3] 一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r ,的端点处，其速度大小为(A) t r d d (B) trd d (C) t r d d (D)22d d d d ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 【答】22, dx dy dx dy v i j v dt dt dt dt ⎛⎫⎛⎫=+∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭［ C ］2、[基础训练6] 一飞机相对空气的速度大小为 200 km/h ，风速为56 km/h ，方向从西向东。

地面雷达站测得飞机速度大小为 192 km/h ，则飞机飞行方向是 (A) 南偏西16.3°；(B) 北偏东16.3°； (C) 向正南或向正北； (D) 西偏北16.3°； (E) 东偏南16.3°．【答】根据三个速率的数值关系，以及伽利略速度变换式=+v v v →→→机地机空气空气地，可以画出三个速度之间的矢量关系，如图所示。

=200km/h, 56/, =192km/h km h v v v →→→=机空气空气地机地，根据余弦定理，222200=56192256192cos θ+-⨯⨯，解得：cos =0θ，所以=2πθ±.［ C ］3、[自测提高1]如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动．(C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动． 【答】如图建坐标系，设船离岸边x 米，222l h x =+，22dl dxlxdt dt=， 22dx l dl x h dl dt x dtx dt +==，0dlv dt=-，220x dx h xv v dt x+==-v →机地v →空气地v →机空气v →空气地v →机空气v →机地θθvxoxlhxMh 1h 2 o x x m2203x x x dv dv v h dx a dt dx dt x==⋅=-，可见，加速度与速度同向，且加速度随时间变化，因此，质点做变加速运动。

［ B ］4、[自测提高2]一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为j bt i at r22+=（其中a 、b 为常量），则该质点作(A) 匀速直线运动． (B) 变速直线运动． (C) 抛物线运动． (D)一般曲线运动．【答】 由j bt i at r22+=知，2x at =，2y bt =，消去t ，得轨迹方程为：by x a=，为直线方程；速度为22drv ati btj dt==+，速度随时间t 变化。

所以质点作变速直线运动。

［ C ］5、[自测提高5] 一物体从某一确定高度以0v的速度水平抛出，已知它落地时的速度为t v，那么它运动的时间是(A) g t 0v v -． (B) g t 20v v - ． (C)()gt 2/1202v v -． (D)()gt22/1202v v- .【答】0x v v =，y v gt =，所以落地时的速率满足2222220t x y v v v v g t =+=+，解得：t=()gt2/1202v v -［ C ］ 6、[自测提高6] 某物体的运动规律为t k t 2d /d v v -=，式中的k 为大于零的常量。

当0=t 时，初速为v 0，则速度v 与时间t 的函数关系是(A) 0221v v +=kt , (B) 0221v v +-=kt , (C) 02121v v +=kt , (D) 02121v v +-=kt 【答】t k t 2d /d v v -=，分离变量并积分，020v tv dv ktdt v =-⎰⎰，得02121v v +=kt .二、填空题7、[基础训练9] 灯距地面高度为h 1，一个人身高为h 2，在灯下以匀速率v 沿水平直线行走，如图所示。

他的头顶在地上的影子M 点沿地面移动的速度为M v =112h vi h h -。

【答】坐标系如图，设人的坐标为x ，头的影子坐标为x M ，人向x 轴正向运动。

由相似三角形的比例关系，得：x 111121212M M M h x dx h h dxv v h h dt h h dt h h ===⋅=---8、[基础训练10] 一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A 点处速度v的大小为v ，其方向与水平方向夹角成30°，则物体在A 点的切向加速度a t = -0.5g ，轨道的曲率半径223 3v g⨯.（重力加速度为g ）【答】如图，将重力加速度分解为切向加速度分量和法向加速度分量，得22sin 300.5, cos 30 cos 30t n v v a g g a g g ρρ=-=-==∴=9、[基础训练13] 在xy 平面内有一运动质点，其运动学方程为jt i t r5sin 105cos 10+=（SI ），则t 时刻其速度=v50sin 550cos 5 (m/s)t i t j -+；其切向加速度的大小a t = 0 ；该质点运动的轨迹是 圆 ．【答】（1）50sin 550cos5 (m/s)drv t i t j dt==-+； （2）速率2250(sin5)(cos5)50 /v t t m s =-+=，切向加速度0t dva dt== （3）10cos5x t =，t y 5sin 10=，联立消去t ，得22100x y +=，所以轨迹为一个圆。

10、[自测提高9]一质点从静止出发，沿半径R=3m 的圆周运动。

切向加速度a t =23m s 保持不变，当总加速度与半径成45角时，所经过的时间t= 1s ，在上述时间内质点经过的路程为 1.5m 。

【答】总加速度与半径成45角，分解，得：3/n t a a m s ==；2n v a R =→333/n v Ra m s ==⨯=； t v a t =→1t v t s a ==；211.52t s a t m ==11、[自测提高13] 一质点在Oxy 平面内运动．运动学方程为=x 2 t 和=y 19-2 t 2 (SI)，则在第2秒内质点的平均速度大小v =6.32 m/s ，2秒末的瞬时速度大小=2v 8.25m/s. 【答】（1）t 1 = 1s 时，m y m x 17,211==；t 2 = 2s ，m y m x 11,422==212121212 /; 6 /x y x x y y v m s v m s t t t t --====---；平均速度大小22 6.32 (/)x y v v v m s =+=。

gn ata 0v30°A（2）2秒末：2222 /; 48 /x y t s t s t sdx dyv m s v t m s dt dt =======-=-；速度大小为2228.25 (/)x y v v v m s =+=12、[自测提高14 ]小船从岸边A 点出发渡河，如果它保持与河岸垂直向前划，则经过时间t 1到达对岸下游C 点；如果小船以同样速率划行，但垂直河岸横渡到正对岸B 点，则需与A 、B 两点联成的直线成α角逆流划行，经过时间t 2到达B 点．若B 、C 两点间距为S ，则(1) 此河宽度l =22221 t St t -；(2) α =()112 cos / t t -或222112sin t t t -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦-。

【答】设小船速度为v ，水流速度为u ，如图。

（1）保持与河岸垂直向前划时，1 l vt =……①； 1S ut =……②；（2）成α角逆流划行时，()2cos l v t α=……③； sin u v α=……④.联立①和③得：()()11212cos /, cos /t t t t αα-=∴=；联立②和④，可求出()()112212sin 1cos 1S t S t uv t t αα===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，再代入①得：22221t S l t t=-.三、计算题13、[基础训练17] 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为-=a ky ，式中k 为常量，y 是以平衡位置为原点所测得的坐标。

假定振动的物体在坐标y 0处的速度为v 0，试求速度v 与坐标y 的函数关系式。

解：yt y y t a d d d d d d d d v v v v ===又 -=a ky ∴ -k =y v d v / d y⎰⎰+=-=-C ky y ky 222121 , d d v v v 已知 =y y 0 ，=v v 0 ，则 20202121ky C --=v)(220202y y k -+=v vBSC l(1)垂直前划 (2) 成α角逆流划vv uuαA A14、[基础训练18 ] 一物体以初速度0v 、仰角α 由地面抛出，并落回到与抛出处同一水平面上。

求地面上方该抛体运动轨道的最大曲率半径与最小曲率半径。

解：如图，以θ 表示物体在运动轨道上任意点P 处其速度与水平方向的夹角，则有αθcos cos 0v v =, θα22202cos cos v v =又因θcos g a n =，且2n v a ρ=，故该点θαρ3222cos cos g a n v v== 因为αθ≤，故θα=时，曲率最大： ()αρcos /20max g v = ， 0θ=时，曲率最小：g /cos 22min αρv =15、[基础训练19] 质点沿半径为R 的圆周运动，加速度与速度的夹角ϕ保持不变，求该质点的速度随时间而变化的规律，已知初速为0v 。

解：tan ,n t a a ϕ= 将t dv a dt=，2n v a R =代入，得2tan dv v dt R ϕ=， 分离变量并积分：002000tan 11, tan tan tan vtv v R dv dt tv v R v v R R v t ϕϕϕϕ=-+=∴=-⎰⎰16、[自测提高15 ] 质点P 在水平面内沿一半径为R =2 m 的圆轨道转动。

转动的角速度 ω 与时间t 的函数关系为2kt =ω (k 为常量)。

已知s t 2=时，质点P 的速度值为32 m/s 。

试求1=t s 时，质点P 的速度与加速度的大小。

解：根据已知条件s t 2=时，v=32 m/s ，确定常量k ：()222/rad 4//sRtt k ===v ω所以 24t =ω, 24Rt R ==ωvs t 1=时， v = 4Rt 2 = 8 m/s2s /168/m Rt dt d a t ===v 22s /32/m R a n ==v()8.352/122=+=n t a a a m/s 2四、附加题17、[ 自测提高16 ] 一飞机相对于空气以恒定速率v 沿正方形轨道飞行，在无风天气其运动周期为T ；若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来，风速为)1(<<=k k V v 。