扬州中学高三数学试卷 2018.5.18必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1、已知集合{1,0,2},{21,},A B x x n n Z =-==-∈则A B ⋂= ▲ ．2、已知复数1212,2z i z a i =-=+（其中i 是虚数单位，a R ∈），若12z z ⋅是纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3、从集合{1,2,3}中随机取一个元素，记为a ，从集合{2,3,4}中随机取一个元素，记为b ，则a b ≤的概率为 ▲ ．4、对一批产品的长度（单位:毫米）进行抽样检测，样本容量为400， 右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度 在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25) 和[30,35)的为二等品， 其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．5、运行右面的算法伪代码，输出的结果为S= ▲ ．6、若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>10则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7、正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，3D 为BC 中点，则三棱锥A -B 1DC 1的体积为 ▲ ．8、函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ= ▲ ．9、若函数2()ln()f x x x a x =+为偶函数，则a = ▲ ．10、已知数列{}n a 与2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列（n N *∈），且12a =，则10=a ▲ ． 11、若直线20kx y k --+=与直线230x ky k +--=交于点P ，则OP 长度的最大值为 ▲ ．12、如图，已知4AC BC ==，90ACB ∠=o ，M 为BC 的中点，D 为以AC 为直径的圆上一动点， 则AM DC ⋅u u u r u u u r的最小值是 ▲ ．S 011011(1)Pr int For i From To Step S S i i End ForS ←←++CM13、已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ ，函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数 ()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数b 的取值范围是 ▲ ．14、已知,x y 均为非负实数，且1x y +≤，则22244(1)x y x y ++--的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量(1,2)m =u r ，2(cos2,cos )2An A =r ，且1m n ⋅=u r r.(1)求角A 的大小；(2)若223b c a +==，求sin()π-4B 的值16、如图，四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是线段PC 中点，G 为线段EC 中点． （1）求证：FG//平面PBD ； （2）求证：BD ⊥FG ．17、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左焦点为F ，上顶点为A ，直线AF 与直线023=-+y x 垂直，垂足为B ，且点A 是线段BF 的中点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 分别为椭圆C 的左，右顶点，P 是椭圆C 上位于第一象限的一点， 直线MP 与直线4=x 交于点Q ，且9MP NQ =u u u r u u u rg ，求点P 的坐标.18、中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一，给人以美的享受．如图为一花窗中的一部分，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ． （1）试用x ，y 表示L ；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？19、已知函数2()=x x f x e，（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当240m e <<时，判断函数2(),(0)x xg x m x e=-≥有几个零点，并证明你的结论；（3）设函数21111()+()()22⎡⎤=-----⎢⎥⎣⎦h x x f x x f x cx x x ，若函数()h x 在()0,+∞为增函数，求实数c 的取值范围．20、已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数，且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()H k 数列”.（1）若数列{}n a 为“(1)H 数列”，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）若数列{}n a 为“(2)H 数列”，且2a 为整数，试问：是否存在数列{}n a ，使得211||40nn n a a a -+-≤对任意2n ≥，*n N ∈成立？如果存在，求出这样数列{}n a 的2a 的所有可能值，如果不存在，请说明理由。

扬州中学高三数学试卷 2018.5.18附加题21A ．选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE=AC ，DE 交AB 于点F ．求证：△PDF ∽△POC ．21B ．选修4-2：矩阵与变换已知矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的特征值及其相应的特征向量．21C ．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P的直角坐标。

21D ．选修4-5：不等式选讲设a ，b ，c ，d都是正数，且x y =xy ≥22、甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是23，乙班三名同学答对的概率分别是221,,332，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响．（1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件A ，求事件A 发生的概率； （2）用X 表示甲班总得分，求随机变量X 的概率分布和数学期望．23、已知函数()()0sin =axf x e bx ，设()n f x 为()1n f x -的导数，*n N ∈．（1）求()1f x ，()2f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论．扬州中学高三数学试卷参考答案 2018.5.18 1.{－1} ； 2. －4； 3.89； 4.100； 5. 1011； 6. y ＝±3x ； 7. 1； 8. 56πϕ=； 9.1； 10. 20；11. 1；12. ； 13. 7,24⎛⎫⎪⎝⎭； 14. 2[,4]314.解：因为,0x y ≥，所以2222()()2x y x y x y +≤+≤+ ，令t x y =+，则01t ≤≤ ．22222244(1)4(1)5214x y x y t t t t ++--≤+-=-+≤．当0xy=且1t =，即0,1x y ==或1,0x y ==时取等号；另一方面，222222244(1)2(1)3213x y x y t t t t ++--≥+-=-+≥当16x y ==时取等号．所以222244(1)[,4]3x y x y ++--∈．15.解：(1)由题意得222cos22cos 2cos 1cos 12cos cos 2Am n A A A A A ⋅=+=-++=+u r r又因为1m n ⋅=u r r ，所以22cos cos 1A A +=，解得1cos 2A =或cos 1A =- 0,3A A ππ<<∴=Q ……7分(2)在ABC ∆中，由余弦定理得22222122b c bc b c bc =+-⋅=+-①又b c +=b c =，代入①整理得230c -+=，解得c =，∴b =于是a b c === 即ABC △为等边三角形，B 3π∴=πππ∴-=-==L sin()sin()434B ……14分16．证明：（Ⅰ）连结PE ，因为G.、F 为EC 和PC 的中点，∴⊂⊄∴，平面，平面PBD PE PBD ,//FG PE FG //FG PE ， ……3分又FG ⊄平面PBD ，PE ⊂平面PBD ，所以FG 平面PBD ……7分（II ）因为菱形ABCD ，所以BD AC ⊥，又PA ⊥面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥， 因为PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，且PA AC A ⋂=，BD ∴⊥平面PAC ， FG ⊂Q 平面PAC ，BD ⊥FG ……14分17. 解（1）22142x y += （过程略） ……6分 （2）方法1：“点参”设00()P x y ，，则直线MP 的方程为00(2)+2y y x x =+，所以006(4,)+2y Q x 所以22000000062(+2)6(+2)(2)+2+2y x y MP NQ x y x x +==u u u r u u u r g g ，， ……8分 由00()P x y ，在椭圆上得2200122y x =-，所以2000820+2x x MP NQ x -++=u u u r u u u r g ……10分所以20008209+2x x x -++=，解得01x =或02x =-（舍），所以(1,2P ……14分 方法2：“k 参”设直线MP 的方程为(2),(0)y k x k =+>，由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(12)8840k x k x k +++-= 因为2M x =-，所以222412P k x k-=+，所以222244(,),1212k k P k k -++ ……10分 又(4,6)Q k ，所以2244(,),(2,6)1212kMP NQ k k k ==++u u u r u u u r ，所以22248912k MP NQ k +==+u u u r u u u r g ，解得216k =，故6k =，所以(1,2P ……14分 18.解：（1）水平方向每根支条长为302152x m x -==-cm ，竖直方向每根支条长为261322y y n -==-cm2=cm ．所以L 2(15)4(13)822yx =-+-+=822()x y ++cm ． ……6分（2）由题意得11302xy =，即260y x =，由152,132,2x y--⎧⎪⎨⎪⎩≥≥得1301311x ≤≤． ……8分所以260822()L x x=++．令260t x x=+，其导函数2260()10t x x'=-<，（1301311x ≤≤）， 故260t x x=+在130[,13]11上单调递减，故372[33,]11t ∈． ……10分所以822L t =+，其中定义域372[33,]11t ∈ ……12分求导得()1)0L t '=->，所以822L t =+在372[33,]11t ∈上为增函数，故当33t =，即13,20x y ==时L有最小值16+答：做这样一个窗芯至少需要16+长的条形木料． ……16分19.解：（1）222(2)()()⋅-⋅-'==x x x xx e x e x x f x e e ，所以单调增区间0,2，单调减区间为,0-∞、2,+∞ ………4分（2）函数2(),(0)x xg x m x e=-≥有2个零点。