江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数 学注意事项:1.本试卷共160分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分. 1.设集合A ={x |x >0},B ={x |-2<x <1},则A ∩B =________.2.设复数z 满足(1+i)z =1-3i(其中i 是虚数单位),则z 的实部为________.3.有A ,B ,C 三所学校,学生人数的比例为3∶4∶5,现用分层抽样的方法招募n 名志愿者,若在A 学校恰好选出9名志愿者,那么n =________.4.史上常有赛马论英雄的记载,田忌欲与齐王赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为________.5.执行如图所示的伪代码,则输出x 的值为________.6.已知x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x -y +1≥0,2x -y ≤0,x ≥0,则z =x +y 的取值范围是________.7.在四边形ABCD 中,已知AB →=a +2b ,BC →=-4a -b ,CD →=-5a -3b ,其中a ,b 是不共线的向量,则四边形ABCD 的形状是________.8.以双曲线x 25-y 24=1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________.9.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形,侧面积为6π,则该圆锥的体积等于________.10.设公差不为零的等差数列{a n }满足a 3=7,且a 1-1,a 2-1,a 4-1成等比数列,则a 10=________.11.已知θ是第四象限角,则cos θ=45,那么sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4cos (2θ-6π)的值为________.12.已知直线y =a (x +2)(a >0)与函数y =|cos x |的图象恰有四个公共点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则x 4+1tan x 4=________.13.已知点P 在圆M :(x -a )2+(y -a +2)2=1上,A ,B 为圆C :x 2+(y -4)2=4上两动点,且AB =23,则P A →·PB →的最小值是________.14.在锐角三角形ABC 中,已知2sin 2A +sin 2B =2sin 2C ,则1tan A +1tan B +1tan C的最小值为________.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在△ABC 中,设a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,已知向量m =(a ,sin C -sin B ),n =(b +c ,sin A +sin B ),且m ∥n .(1) 求角C 的大小;(2) 若c =3,求△ABC 周长的取值范围.16.(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD 中,锐角三角形P AD 所在平面垂直于平面P AB ,AB ⊥AD ,AB ⊥BC .(1) 求证:BC ∥平面P AD ;(2) 求证:平面P AD ⊥平面ABCD .(第16题)17.(本小题满分14分)十九大提出对农村要坚持精准扶贫,至2020年底全面脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作,经摸底排查,该村现有贫困农户100家,他们均从事水果种植,2017年底该村平均每户年纯收入为1万元,扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良,提高产量;另一方面,抽出部分农户从事水果包装、销售工作,其人数必须小于种植的人数.从2018年初开始,若该村抽出5x 户(x ∈Z ,1≤x ≤9)从事水果包装、销售.经测算,剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20,而从事包装、销售农户的年纯收入每户平均为⎝⎛⎭⎫3-14x 万元.(参考数据:1.13=1.331,1.153≈1.521,1.23=1.728) (1) 至2020年底,为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元),至少抽出多少户从事包装、销售工作?(2) 至2018年底,该村每户年均纯收入能否达到1.35万元?若能,请求出从事包装、销售的户数;若不能,请说明理由.18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,且过点⎝⎛⎭⎫3,12,点P 在第四象限,A 为左顶点,B 为上顶点,P A 交y 轴于点C ,PB 交x 轴于点D .(1) 求椭圆C 的标准方程; (2) 求△PCD 面积的最大值.(第18题)19.(本小题满分16分)已知函数f(x)=e x -a2x 2-ax(a>0).(1) 当a =1时,求证:对于任意x>0,都有f(x)>0成立;(2) 若y =f(x)恰好在x =x 1和x =x 2两处取得极值,求证:x 1+x 22<ln a.20.(本小题满分16分)设等比数列{a n }的公比为q(q>0,q ≠1),前n 项和为S n ,且2a 1a 3=a 4,数列{b n }的前n 项和T n 满足2T n =n(b n -1),n ∈N *,b 2=1.(1) 求数列{a n },{b n }的通项公式;(2) 是否存在常数t ,使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n +12t 为等比数列?请说明理由;(3) 设c n =1b n +4,对于任意给定的正整数k (k ≥2),是否存在正整数l ,m (k <l <m ),使得c k ,c l ,c m 成等差数列?若存在,求出l ,m (用k 表示);若不存在,请说明理由.江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项:1.附加题供选修物理的考生使用.2.本试卷共40分,考试时间30分钟.3.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内. 说明:解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 21.(本小题满分10分)选修4-2:矩阵与变换设旋转变换矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0-11 0,若⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 1 2·A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 4c d ,求ad -bc 的值.22.(本小题满分10分)选修4-4: 坐标系与参数方程自极点O 作射线与直线ρcos θ=3相交于点M ,在OM 上取一点P ,使OM·OP =12,若Q 为曲线⎩⎨⎧x =-1+22t ,y =2+22t(t 为参数)上一点,求PQ 的最小值.23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 上的动点M(x ,y)(x>0)到点F(2,0)的距离减去M 到直线x =-1的距离等于1.(1) 求曲线C 的方程;(2) 若直线y =k(x +2)与曲线C 交于A ,B 两点,求证:直线FA 与直线FB 的倾斜角互补.24.(本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1=23,1a n -1=2-a n -1a n -1-1(n ≥2).(1) 求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ,用数学归纳法证明:S n <n +12-ln .江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1.{x|0<x<1}2.-13.364.135.256.[0,3]7.梯形8.y 2=12x9.3π 10.21 11.5214 12.-2 13.19-122 14.13215.(1) 由m ∥n 及m =(a ,sin C -sin B ),n =(b +c ,sin A +sin B ), 得a (sin A +sin B )-(b +c )(sin C -sin B )=0,(2分)由正弦定理,得a ⎝⎛⎭⎫a 2R +b 2R -(b +c )⎝⎛⎭⎫c 2R -b2R =0, 所以a 2+ab -(c 2-b 2)=0,得c 2=a 2+b 2+ab , 由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C , 所以a 2+b 2+ab =a 2+b 2-2ab cos C , 所以ab =-2ab cos C ,(5分)因为ab >0,所以cos C =-12,又因为C ∈(0,π),所以C =2π3.(7分)(2) 在△ABC 中,由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,所以a 2+b 2-2ab cos 2π3=9,即(a +b )2-ab =9,(9分)所以ab =(a +b )2-9≤⎝⎛⎭⎫a +b 22,所以3(a +b )24≤9,即(a +b )2≤12,所以a +b ≤23,(12分)又因为a +b >c ,所以6<a +b +c ≤23+3,即周长l 满足6<l ≤3+23, 所以△ABC 周长的取值范围是(6,3+23].(14分)16.(1) 因为AB ⊥AD ,AB ⊥BC ,且A ,B ,C ,D 共面, 所以AD ∥BC.(3分)(第16题)因为BC ⊄平面PAD ,AD ⊂平面PAD , 所以BC ∥平面PAD.(5分)(2) 如图,过点D 作DH ⊥PA 于点H ,因为△PAD 是锐角三角形,所以H 与A 不重合.(7分)因为平面PAD ⊥平面PAB ,平面PAD ∩平面PAB =PA ,DH ⊂平面PAD , 所以DH ⊥平面PAD.(9分)因为AB ⊂平面PAB ,所以DH ⊥AB.(11分)因为AB ⊥AD ,AD ∩DH =D ,AD ,DH ⊂平面PAD , 所以AB ⊥平面PAD.因为AB ⊂平面ABCD ,所以平面PAD ⊥平面ABCD.(14分)17.(1) 由题意得1×⎝⎛⎭⎫1+x203≥1.6, 因为5x<100-5x ,所以x<10且x ∈Z .(2分)因为y =⎝⎛⎭⎫1+x 203在x ∈[1,9]上单调递增,由数据知,1.153≈1.521<1.6,1.23=1.728>1.6,所以x20≥0.2,得x ≥4.(5分)又x <10且x ∈Z ,故x =4,5,6,7,8,9. 答:至少抽取20户从事包装、销售工作.(7分)(2) 假设该村户均纯收入能达到1.35万元,由题意得,不等式1100[5x ⎝⎛⎭⎫3-14x +⎝⎛⎭⎫1+x 20(100-5x )]≥1.35有正整数解,(8分)化简整理得3x 2-30x +70≤0,(10分)所以-153≤x -5≤153.(11分)因为3<15<4,且x ∈Z ,所以-1≤x -5≤1,即4≤x ≤6. (13分)答:至2018年底,该村户均纯收入能达到1万3千5百元,此时从事包装、销售的农户数为20户,25户,30户.(14分)18.(1) 由题意得⎩⎨⎧3a 2+14b2=1,c a =32,a 2=b 2+c 2,得a 2=4,b 2=1,(4分) 故椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(5分)(2) 由题意设l AP :y =k(x +2),-12<k<0,所以C(0,2k),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x +2),x 24+y 2=1,消去y 得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-4=0,所以x A x P =16k 2-41+4k 2,由x A =-2得x P =2-8k 21+4k 2,故y P =k(x P +2)=4k1+4k 2, 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-8k 21+4k 2,4k 1+4k 2,(8分)设D(x 0,0),因为B(0,1),P ,B ,D 三点共线,所以k BD =k PB ,故1-x 0=4k1+4k 2-12-8k 21+4k 2,解得x D =2(1+2k )1-2k,得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1+2k )1-2k ,0,(10分)所以S △PCD =S △PAD -S △CAD =12×AD ×|y P -y C |=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(1+2k )1-2k +2⎪⎪⎪⎪4k 1+4k 2-2k =4|k (1+2k )|1+4k 2,(12分)因为-12<k<0,所以S △PCD =-8k 2-4k 1+4k 2=-2+2×1-2k 1+4k 2,令t =1-2k ,1<t<2,所以2k =1-t ,所以g(t)=-2+2t 1+(1-t )2=-2+2t t 2-2t +2=-2+2t +2t-2≤-2+222-2=2-1,(14分)当且仅当t =2时取等号,此时k =1-22,所以△PCD 面积的最大值为2-1.(16分)19.(1) 由f(x)=e x -12x 2-x ,则f′(x)=e x -x -1,令g(x)=f′(x),则g′(x)=e x -1,(3分)当x>0时,g′(x)>0,则f′(x)在(0,+∞)上单调递增, 故f′(x)>f′(0)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,(5分) 进而f(x)>f(0)=1>0,即对任意x>0,都有f(x)>0.(6分) (2) f′(x)=e x -ax -a ,因为x 1,x 2为f(x)的两个极值点,所以⎩⎨⎧f′(x 1)=0,f′(x 2)=0,即⎩⎨⎧e x 1-ax 1-a =0,e x 2-ax 2-a =0.两式相减,得a =e x 1-e x 2x 1-x 2,(8分)则所证不等式等价于x 1+x 22<ln e x 1-e x 2x 1-x 2,即e x 1+x22<e x 1-e x 2x 1-x 2,(10分)不妨设x 1>x 2,两边同时除以e x 2可得:e x 1-x22<e x 1-x 2-1x 1-x 2,(12分)令t =x 1-x 2,t>0,所证不等式只需证明: e t 2<e t -1t⇔t e t 2-e t +1<0.(14分)设φ(t)=t e t 2-e t+1,则φ′(t)=-e t 2·⎣⎡⎦⎤e t2-⎝⎛⎭⎫t 2+1,因为e x ≥x +1,令x =t 2,可得e t2-⎝⎛⎭⎫t 2+1≥0,所以φ′(t)≤0,所以φ(t)在(0,+∞)上单调递减,φ(t)<φ(0)=0, 所以x 1+x 22<ln a .(16分)20.(1) 因为2a 1a 3=a 4,所以2a 1·a 1q 2=a 1q 3,所以a 1=q 2,所以a n =q 2q n -1=12q n .(2分)因为2T n =n(b n -1),n ∈N *,①所以2T n +1=(n +1)(b n +1-1),n ∈N ,②②-①,得2T n +1-2T n =(n +1)b n +1-nb n -(n +1)+n ,n ∈N *, 所以2b n +1=(n +1)b n +1-nb n -(n +1)+n , 所以(n -1)b n +1=nb n +1,n ∈N *,③(4分) 所以nb n +2=(n +1)b n +1+1,n ∈N ,④④-③得nb n +2-(n -1)b n +1=(n +1)b n +1-nb n ,n ∈N *, 所以nb n +2+nb n =2nb n +1,n ∈N *,所以b n +2+b n =2b n +1,所以b n +2-b n +1=b n +1-b n ,所以{b n }为等差数列. 因为n =1时b 1=-1,又b 2=1, 所以公差为2,所以b n =2n -3.(6分)(2) 由(1)得S n =q 2(1-q n )1-q ,所以S n +12t =q2(1-q n )1-q+12t =q n +t 2(q -1)+q 2(1-q )+12t ,要使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n +12t 为等比数列,则通项必须满足指数型函数,即q 2(1-q )+12t =0,解得t =q -1q .(9分)此时S n +1+12t S n +12t =q n +22(q -1)q n +12(q -1)=q , 所以存在t =q -1q ,使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n +12t 为等比数列.(10分)(3) c n =1b n +4=12n +1,设对于任意给定的正整数k (k ≥2),存在正整数l ,m (k <l <m ),使得c k ,c l ,c m 成等差数列,所以2c l =c k +c m ,所以22l +1=12k +1+12m +1.所以12m +1=22l +1-12k +1=4k -2l +1(2l +1)(2k +1).所以m =2kl -k +2l4k -2l +1=(-4k +2l -1)(k +1)+(2k +1)24k -2l +1=-k -1+(2k +1)24k -2l +1.所以m +k +1=(2k +1)24k -2l +1.因为给定正整数k (k ≥2),所以4k -2l +1能整除(2k +1)2且4k -2l +1>0, 所以4k -2l +1=1或2k +1或(2k +1)2.(14分)若4k -2l +1=1,则l =2k ,m =4k 2+3k ,此时m -l =4k 2+k >0,满足(k <l <m ); 若4k -2l +1=2k +1,则k =l ,矛盾(舍去);若4k -2l +1=(2k +1)2,则l =2k 2,此时m +k =0(舍去).综上,任意给定的正整数k (k ≥2),存在正整数l =2k ,m =4k 2+3k ,使得c k ,c l ,c m 成等差数列.(16分)江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21.因为A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤0-110,所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤0-110=⎣⎢⎡⎦⎥⎤34c d ,得⎩⎪⎨⎪⎧b =3,-a =4,2=c ,-1=d ,(6分)即a =-4,b =3,c =2,d =-1,(8分)所以ad -bc =(-4)×(-1)-2×3=-2.(10分)22.以极点O 为直角坐标原点,以极轴为x 轴的正半轴,建立直角坐标系,设P(ρ,θ),M(ρ′,θ),因为OM·OP =12,所以ρρ′=12.因为ρ′cos θ=3,所以12ρcos θ=3,即ρ=4cos θ,(3分)化为直角坐标方程为x 2+y 2-4x =0, 即(x -2)2+y 2=4.(5分)由⎩⎨⎧x =-1+22t ,y =2+22t(t 为参数)得普通方程为x -y +3=0,(7分)所以PQ 的最小值为圆上的点到直线距离的最小值,即PQ min =d -r =|2-0+3|2-2=522-2.(10分)23.(1) 由题意得(x -2)2+y 2-|x +1|=1,(2分) 即(x -2)2+y 2=|x +1|+1. 因为x>0,所以x +1>0,所以(x -2)2+y 2=x +2,两边平方,整理得曲线C 的方程为y 2=8x.(4分)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立⎩⎨⎧y 2=8x ,y =kx +2,得k 2x 2+(4k 2-8)x +4k 2=0,所以x 1x 2=4.(6分)由k FA +k FB =y 1x 1-2+y 2x 2-2=k (x 1+2)x 1-2+k (x 2+2)x 2-2=k (x 1+2)(x 2-2)+k (x 1-2)(x 2+2)(x 1-2)(x 2-2)=2k (x 1x 2-4)(x 1-2)(x 2-2).(8分) 将x 1x 2=4代入,得k FA +k FB =0,所以直线FA 和直线FB 的倾斜角互补.(10分)24.(1) 因为n ≥2,由1a n -1=2-a n -1a n -1-1,得1a n -1=1-a n -1a n -1-1+1a n -1-1, 所以1a n -1-1a n -1-1=-1,(1分)所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n -1是首项为-3,公差为-1的等差数列,且1a n -1=-n -2,所以a n =n +1n +2.(3分)(2) 下面用数学归纳法证明:S n <n -ln⎣⎡⎦⎤n +32+12. ①当n =1时,左边=S 1=a 1=23,右边=32-ln 2,因为e 3>16⇔3lne >4ln 2⇔ln 2<34,32-ln 2>32-34=34>23, 所以命题成立;(5分)②假设当n =k(k ≥1,k ∈N *)时成立,即S k <k -ln k +32+12,则当n =k +1,S k +1=S k +a k +1<k -ln k +32+12+k +2k +3,要证S k +1<(k +1)-ln (k +1)+32+12,只要证k -ln k +32+12+k +2k +3<(k +1)-ln (k +1)+32+12,只要证ln k +4k +3<1k +3,即证ln ⎝⎛⎭⎫1+1k +3<1k +3.(8分) 考查函数F (x )=ln(1+x )-x (x >0),因为x >0,所以F ′(x )=11+x -1=-x 1+x<0,所以函数F (x )在(0,+∞)上为减函数, 所以F (x )<F (0)=0,即ln(1+x )<x ,所以ln ⎝⎛⎭⎫1+1k +3<1k +3,也就是说,当n =k +1时命题也成立. 综上所述,S n <n -ln n +32+12.(10分)。