习题55-1.如图，一轻绳跨过两个质量为 m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端 分别挂着质量为2m 和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定 滑轮的转动惯量均为 mr 2 / 2，将由两个定滑轮以及质量为 2m 和m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳的力。
解：受力分析如图，可建立方程： 广 2mg T 2 2ma ①T1 mg ma ②J (T 2 T)r J ③ (T T 1)r J ④虹 a r , J mr 2/2 ⑤ 联立，解得：a 1g, T4上，设开始时杆以角速度°绕过中心O 且垂直与桌面的轴转动，试求： （1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。
解：（1）设杆的线密度为: d f dmg gd x,微元摩擦力矩：d M g xd x ,（2）根据转动定律M J J马, t有：0 MdtJddt1 . -mglt 1[2—m l0, . .t_oL4123 g或利用： M t JJ 0,考虑到0, J1 | 2一 ml ,12有：tol。
11 a mg5-2.如图所示，一均匀细杆长为 l ,质量为m ,平放在摩擦系数为的水平桌面一小质元dm dx,有微元摩擦力:考虑对称性, l_ M 2 2有摩擦力矩：gxdx 15-3.如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。
假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动惯量为MR2/2，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。
解：受力分析如图，可建立方程：r mg T ma ①* TR J ②—, 1 ~2 —k a R , J — mR —-③22mg Mmg联立，解得：a ------------ — , T ----------- —,考虑到a四，.•. v dv 「旦—dt,有：vdt 0 0 M 2m M 2m5-4.轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M /4，均匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M /4的重物，如图。
已知滑轮对O 轴的转动惯量J MR2 /4 ,设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？解一：分别对人、滑轮与重物列出动力学方程Mg T1Ma A人T2M4gM 心a B物4T1R T2R J滑轮由约束方程：a A a B R 和J MR2/4,解上述方程组得到a —.2解二：选人、滑轮与重物为系统，设U为人相对绳的速度，V为重物上升的速度，注意到 u 为匀速， 史 0 ,系统对轴的角动量为:dt考虑均质球体一个微元： dm r 2sin drd d 由定义：考虑微元到轴的距离为 rsinJ (rsin )2dm ，有:2 RJ 0(r sin )2r 2sin drd d1 52-r 5R[(1 2cos ) d cos ]2mR 2。
55-6. 一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲 度系数k 40N /m ,当 0时弹簧无形变，细棒的质量 m 5.0kg ,求在 0的位置上细棒至少应具有多大的角速度 ,才能转动到水平位置？解：以图示下方的三角桩为轴，从 0~ 900时，考虑机械能守恒，那么：0时的机械能为：1 .......... 1 1mg 一（重力势我）-（-ml 5（转动动我），2 2 390°时的机械能为：—k x 221L M vR M (u v)R 4 (B 物体) (人)( (M R 2)3M vR M u R 4 2A 物体)v 1 而力矩为：M -MgR .......... ..dL 根据角动量定理 M ——有:dt… 一 3…一M gR 一 M gR , 43 d 3—MgR ——(一MvR MuR) , •■- a 4 dt 25-5.计算质量为 m 半径为R 的均质球体绕其轴线的转动惯量。
解：设球的半径为R,总重量为m ,体密度3m1 12 2 12)2 kx 2 2 3 2一 222 一(x0.5) 1.5 1 ,得: 5-7.如图所示，一质量为 m 、半径为R 的圆盘，可绕。
轴在铅直面转动。
若盘 自静止下落，略去轴承的摩擦，求： (1) 盘到虚线所示的铅直位置时，质心 C 和盘缘A 点的速率；(2) 在虚线位置轴对圆盘的作用力。
解：(1)设虚线位置的C 点为重力势能的零点， ^^£一¥下降过程机械能守恒， .心一y有： mgR 1J 2，而 J 1 mR 2 mR 2 3 mR 222 2(2) Fy mg (重力)mR 2(向心力) 7mg ，方向向上。
35-8.如图所示，长为l 的轻杆，两端各固定质量分别为 m 和2m 的小球，杆可绕 V 2.,, 一 一 水平光滑固定轴 O 在竖直面转动，转轴 O 距两端分别为 一l 和一l .轻杆原来静 3 3止在竖直位置。
今有一质量为m 的小球，以水平速度 v 0与杆下端小球m 作对心1 ........................... .... ........................碰撞，碰后以一v 0的速度返回，试求碰撞后轻杆所狄碍的角速度。
2解：根据角动量守恒，有：C * 2 1 2 ,2l 、2 - ,l 、2mv 0 — l m —v 0 —l m(—)2m (一)3 2 33 3o有：(4l 2 2l 2)2v °l 1v °l 凯*9 93 33^0.2l士 l • , • • 有：mg § -(-ml )根据几何关系： ___ 13.28rad s5-9.一质量均匀分布的圆盘，质量为 M ，半径为R,放在一粗糙水平面上（圆盘 与水平面之间的摩擦系数为 ），圆盘可绕通过其中 心。
的竖直固定光滑轴转动。
开始时，圆盘静止， 一质量为m 的子弹以水平速度 v 垂直于圆盘半径打 入圆盘边缘并嵌在盘边上， 求：（1）子弹击中圆盘后， 盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止 转动。
（圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为1 2 … ................. ....................... .........................—MR 2，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。
）22mv ---------- ; (2m M )R5-10 .有一质量为 m 〔、长为l 的均匀细棒，静止平放 在滑动摩擦系数为 的水平桌面上，它可绕通过其端点 O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。
另有一水平运动 的质量为m 2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端 A 相碰撞，设碰撞时间极短。
已知小滑块在碰撞前后 的速度分别为v 和法，如图所示。
求碰撞后从细棒开 始转动到停止转动的过程所需的时间。
（已知棒绕O 点的转动惯量J1m 1l 2） 3解：（1）利用角动量守恒：mvR 1MR 2 22 mR 得: (2) 选微分dmrdrd ,其中：面密度 M R2，知:grdmRgr 0有: M—2 2 兀rdr R 2-M gRgR(W 22m R4 Mg 2mv---------- 代入，即得:3mv o2 M g解：由碰撞时角动量守恒，考虑到 v 和以方向相反，以逆时针为正向，有:.1.23m 2（V i V 2）m 2v 1l - m （l 2m 2v 2l ,得： -------------------3m 1l又•.•细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：用一细绳与劲度系数 k 200N/m 的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。
求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使 物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时 的位置及最大速率。
解：（1）设弹簧的形变量为 x,下落最大距离为 x max 。
1 2由机械北寸怛：一 kx max mgx max,有：2x max 竺^ 0.49m ；k （2）当物体下落时，由机械能守恒： 1kx 2 1mv 2 - J 22 22考虑到-,古12有：一kx1 2 21 mR 一 2mgx,R 2 22d欲求速度最大值, 将上式两边对x 求导，且令0 ,有dxkx 1(mR 2 J ) 2 — mg ，将—0 代入，有：x 四 0.245(m),2 dx dxk.••当x 0.245m 时物体速度达最大值，有:lm 1—g xd x 0 lm 1 gl ,利用dttdt12 . O ^1d3 ____mgi2m 2(v 1 v 2) ----------------。
m g5-11 .如图所示，滑轮转动惯量为 0.01kg m 2,半径为7cm ；物体的质量为5kg ,mgx 1 kx2v*ax------------ 2 ------ ,代入数值可算出:2(m力5-12 .设电风扇的功率恒定不变为P ,叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度成正比，比例系数的k ,并已知叶片转子的总转动惯量为J。
（1）原来静止的电扇通电后t秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？解：（1）已知M f k ,而动力矩M p ,通电时根据转动定律有：M M f J —f dt代入两边积分有：t dt —一R ，可求得：J-(1 e jt)；0 0 P k 2. k（2）见上式，当t 时，电扇稳定转动时的转速：稳定J P；（3）断开电源时，电扇的转速为0（p ,只有M f作用，那么:k J J,考虑到土土，有：、0d ,dt dt d 0 J 0得：J J 7k 0 k4k 。
5-13.如图所示，物体A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为，细绳的一端系住物体A，另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上，物体与转轮的质量相同。
开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以0绕其转轴转动。
试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度多大？物体A运动后，细绳的力多大？解：（1）细绳刚绷紧的瞬时前后，把物体A和转轮B、绳看成一个系统，系统对转轴圆柱形中心角动量守恒，1 2J 0 J Rmv A，又v A R J -mR2v max 1.31m/s 。
2邱 M；R2MR 2M102R1 3 0(2)物体A 运动后，由牛顿定律：T mg ma (1)对转轮B,由定轴转动定律：TR J , (2)约束关系：a R (3)一…1可求出：T § mg 。
5-14.质量为m 的小孩站在半径为 边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动当小孩突然一相对地面为 v 的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转 的角速度 为多少？5-15 .在半径为R 的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在....... 1 ......... —一，…...…、距转轴为1R 处，人的质量是圆盘质量的 1/10.开始时盘载人对地以角速度o 匀2速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率 v 沿与盘转动相反方向作圆周运 动，如图所示. 已知圆盘对中心轴的转动惯量为；M R 2.求：R-、(1) 圆盘对地的角速度.，'<8/2^7 /(2) 欲使圆盘对地静止，人应沿着】R 圆周对圆盘的速2度v 的大小及方向？解：(1)设当人以速率 v 沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角 速度为，则人对与地固联的转轴的角速度为v 2v 1R R2人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒. 设盘的质量为 M,则人的质量为 M / 10,有:R 、转动惯量为J 的可以自由转动的水平平台 )。